Краткий курс лекций и практических

ЮЖНО-ЯКУТСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ

Краткий курс лекций и практических

Заданий по предмету

«Численные методы».

учебно-методические материалы для самостоятельной работы студентов

гуманитарных и технических специальностей

Г.

Данные учебно-методические материалы предназначены для самостоятельной подготовки студентов гуманитарных и технических специальностей по следующим вопросам численных методов: приближенное решение уравнений, интерполирование функций, приближенные вычисления определенных интегралов, приближенное решение дифференциальных уравнений. Пособие представляет обобщенное изложение материала по предмету и включает в себя теоретические сведения, типовые задачи с подробными решениями и упражнения, выполнение которых будет способствовать усвоению теоретических положений численных методов и приобретению практических навыков использования различных методов и формул приближенных вычислений.

Составители:

 

Яковенко Л. В., преподаватель математических дисциплин АУ РС(Я) ЮЯТК

 

 

Рецензент:

 

Утверждено:

 

 

Содержание

Глава I.	Приближенное решение уравнений.........................................................................
§1.	Отделение корней уравнений.......................................................................................
§2.	Правило пропорциональных частей (метод хорд).....................................................
§3.	Метод касательных (Ньютона).....................................................................................
§4.	Комбинированное применение методов хорд и касательных...................................
§5.	Метод итераций............................................................................................................
	Упражнения....................................................................................................................
Глава II.	Интерполирование функций.....................................................................................
§1.	Интерполяционный полином Лагранжа......................................................................
§2.	Интерполяционная формула Ньютона........................................................................
	Упражнения....................................................................................................................
Глава III.	Приближенные вычисления определенных интегралов.....................................
§1.	Метод прямоугольников...............................................................................................
§2.	Метод трапеций.............................................................................................................
§3.	Метод парабол (Метод Симпсона)..............................................................................
	Упражнения....................................................................................................................
Глава IV.	Приближенное решение дифференциальных уравнений....................................
§1.	Метод Эйлера.................................................................................................................
§2.	Метод Рунге – Кутта.....................................................................................................
	Упражнения....................................................................................................................
Литература...........................................................................................................................................

 

 

ГЛАВА 1

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ.

Отделение корней уравнения.

Корнем уравнения

f (x) = 0 (1)

называется такое значение х = х₀ при котором уравнение (1) превращается в тождество:

f (x₀ ) = 0

Корень уравнения геометрически представляет собой абсциссу точки пересечения, касания или другой общей точки графика функции у = f(x) и оси ОХ (рис.1.1).

 

Отделить корень уравнения – значит найти такой конечный промежуток, внутри которого имеется единственный корень данного уравнения.

Отделение корней

Графический метод отделения корней.

Отделение корней уравнения (1) можно выполнить графически, построив график функции у = f(x), по которому можно судить о том, в каких промежутках находится точка пересечения его с осью ОХ. В некоторых случаях целесообразно представить уравнение f(x)=0 в виде:

f₁(x) = f₂(x) (2)

с таким расчетом, чтобы графики функций у = f₁(x) и у = f₂(x) строились по возможности проще. Корень уравнения (2) представляет собой абсциссу точки пересечения графиков у = f₁(x) и у = f₂(x). Таким способом можно найти, например, корни уравнения х³ + px + q = 0; это будут точки пересечения кубической параболы у = х³ и прямой у = - px – q.

Решение.

Имеем f(x) = х³ + х² -11, =3х²+2х = 6х+2. В указанном промежутке >0, поэтому за первое приближение в способе касательных берем х₀=2, так как f(2)=1 >0;

Искомый корень принадлежит промежутку (1,9; 1,94).

f(1,9)= -0,531, f(1,94) =0,065,

Следовательно,

Так как значения х₂₁ и х₂₂ , вычисленные с точностью до 0,001, совпали, то приближенным значением корня будет 1,936.

Метод итераций.

Если каким нибудь способом получено приближенное значение х₀ корня уравнения, то уточнение приближения можно осуществить методом итераций (методом последовательных приближений).

Пусть задано уравнение f(x) = 0, представим его в виде , где <1 всюду на отрезке [a; b], содержащем единственный корень . Исходя из некоторого начального значения можно построить последовательность: , , ....... ...

Пределом последовательности х₁, х₂, х₃,..... х_п .... является единственный корень уравнения f(x) = 0 на отрезке [a; b].

Пример 1.5:

Способом итераций найти приближенное значение корня уравнения 2 – lgx – x = 0 с точностью до 0.001

Решение.

Найдем интервал изоляции действительного корня уравнения.

Представим уравнение в виде:

lgx = – x + 2

Построим графики функций у = lgx и у = – x + 2. Точка М пересечения графиков имеет абсциссу в промежутке [1; 2]. Пусть х₀ = 1. Запишем исходное уравнение в виде х = 2 – lgx.

= 2 – lgx,

в промежутке [1; 2], следовательно, способ итераций применим.

Найдем приближения:

Таким образом, искомый корень с точностью до 0,001 равен 1,755

Упражнения.

Отделить корни уравнения графически и методом исследования отрезков.

1. х³ – 12х + 1 = 0. (Ответ: (-4;-3), (0;1),(3;4))
2. х³ + 2х - 7 = 0. (Ответ: (1;2))
3. х³ – 9х² + 18х - 1 = 0. (Ответ: (0;1), (2;3),(6;7))

Решить способом хорд и касательных с точностью до 0,01 следующие уравнения:

1. х⁴ + 3х - 20 = 0. (Ответ: 1,94)
2. х³ - 2х - 5 = 0. (Ответ: 2,09)
3. х⁴ - 3х + 1 = 0. (Ответ: 0,33; 1,30)
4. х³ + 3х + 5 = 0. (Ответ: -1,15)

Применив комбинированный способ хорд и касательных решить уравнение.

1. х⁴ + 5х - 7 = 0. (Ответ: 1,11)

Решить способом итераций с точностью до 0,01 следующие уравнения.

1. х³ - 12х + 5 = 0. (Ответ: 0,42)
2. х⁴ - 2х² - 4х - 7 = 0. (Ответ: 3,62)

 

ГЛАВА II.

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ.

Пример 2.1

Составить полином Лагранжа, удовлетворяющий таблице1 значений

Таблица 1

х
у

Решение.

Вспомогательная функция

Вычислим последовательно при данных значениях х_i:

-сначала найдем производную

= (х - 2)(х - 3)(х - 4)+(х - 1)(х - 3)(х - 4)+(х - 1)(х - 2)(х - 4)+(х - 1)(х - 2)(х - 3);

-затем вычислим : , , , .

Тогда по формуле (1)

=

= х + 1

Таким образом, в данном случае в качестве интерполяционного полинома найдена линейная функция f (x) = х + 1.

Упражнения.

1. Используя интерполяционную формулу Лагранжа, найти уравнение параболы проходящей через точки (2; 0), (4; 3), (6; 5), (8; 4), (10; 1).

(Ответ: у = (х⁴ - 26х³ + 220х² – 664х + 640))

1. Даны точки (0; 3), (2; 1), (3; 5), (4; 7). Используя интерполяционную формулу Лагранжа, составить уравнение функции, принимающей указанные значения при заданных значениях аргумента.

(Ответ: у = (- 2х³ -15х² + 25х -9))

1. Используя интерполяционную формулу Лагранжа, построить функцию, принимающую значения заданные таблицей.

х
у	-7

(Ответ: у = (х³ -13х² + 69х -92))

1. Используя интерполяционную формулу Лагранжа, построить функцию, график которой проходит через точки (2; 3), (4; 7), (5; 9), (10; 19).

(Ответ: у =2х - 1)

1. Даны десятичные логарифмы чисел:

lg 2,0 = 0,30103, lg 2,1 = 0,32222, lg 2,2 = 0,34242,

lg 2,3 = 0,36173, lg 2,4 = 0,38021, lg 2,5 = 0,39794.

Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона, найти lg 2,03.

(Ответ: lg 2,03 = 0,30750)

1. Найти интерполяционный полином Ньютона для функции y = f (x), если известныее значения f (1) = 6, f (3) = 24, f (4) =45.

(Ответ: у = 4х² - 7х+ 9)

1. Найти интерполяционный полином Ньютона для функции f(x)= 2^x и ее значениям в точках х₀ = -1, х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 2, х₄ = 3 ивычислить f(-0,5) и f(2,5).

(Ответ: у =8 + 4(х - 3) + (х – 3)(х - 2)+ (х – 3)(х - 2)(х – 1) + (х – 3)(х - 2)(х – 1)х, f(-0,5)= 0,700, f(2,5)= 5,658.)

1. Составить интерполяционную формулу Ньютона по данным таблицы

х
у

(Ответ: у = х³ + х² + х + 1)

ГЛАВА III.

Метод прямоугольников.

Пусть на отрезке [a; b], где a < b, задана непрерывная функция f(x). Требуется вычислить интеграл , численно равный площади соответствующей криволинейной трапеции. Разобьем основание этой трапеции на п равных частей длины . тогда x_i = x₀+hi. В середине каждого такого отрезка построим ординату графика функции у = f(x). Приняв эту ординату за высоту построим прямоугольник с площадью

. Тогда сумма площадей всех п прямоугольников (при достаточно большом п) дает площадь приближенно равную площади трапеции, т.е.

т.е.

- формула прямоугольников (1)

Абсолютная погрешность метода определяется неравенством:

(2)

где (3)

Пример 3.1: Вычислить интеграл при п = 4, используя метод прямоугольников.

Решение.

=

=

т.к. и :

 

где

, ,

Следовательно:

-по формуле прямоугольников

Пример 3.2:

Зная, что погрешность метода прямоугольников при вычислении интеграла составляет 0,125, определить число разбиений п.

Решение. Используя формулу (2) получим

Умножим правую и левую части неравенства на дробь , тогда .

т.е или

Метод трапеций.

Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольников: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.

Пусть на отрезке [a; b], где a < b, задана непрерывная функция f(x). Требуется вычислить интеграл , численно равный площади соответствующей криволинейной трапеции. Разобьем основание этой трапеции на п равных частей длины . тогда x_i = x₀+hi, y_i = f (x_i).

Так как площадь криволинейной трапеции приблизительно равна сумме площадей трапеций S_i, высота каждой из которых равна h, то:

Абсолютная погрешность метода (аналогично методу прямоугольников) составляет:

где (4)

тогда - формула трапеций. (5)

Пример 3.3: Вычислить интеграл при п = 4, используя метод трапеций.

Решение. По формуле трапеций:

, т.к. , , то

,

,

,

,

.

Тогда , , , , .

 

Найдем погрешность:

где

, ,

Следовательно

-по формуле трапеций

§3. Метод парабол (Метод Симпсона).

Если заменить график функции на каждом отрезке не отрезками прямых, как в методах прямоугольников и трапеций, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного значения интеграла .

Предварительно найдем вспомогательную площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой y = ax² + bx + c, прямыми x = -h, x = h и отрезком [ -h; h ].

Пусть парабола проходит через точки М₁ (-h; у₀),

М₂ (0; у₁) и М₃ (h; у₂).

(6)

тогда полученная площадь:

(7)

Выразим полученное значение через у_0, у₁ и у₂. Используя формулы (6) получим c = y₁, . Подставляя полученные значения в (7) получим:

- формула Симпсона для рис 3.3 (8)

Вывод формулы парабол (Симпсона).

Пусть дана криволинейная трапеция, ограниченная функциями y = f (x), x = a, x = b, y = 0.

1. Разобьем отрезок [a; b] на 2п равных частей. Получим отрезки длиной (9)
2. В точках деления вычислим значения функции

y = f (x): у₀, у₁, у₂,......, у_2п-2, у_2п-1, у_2п.

1. Заменим каждую пару соседних криволинейных трапеций параболическими трапециями с основаниями, равными 2h.

 

 

На отрезке [ x₀; x₂ ] парабола проходит через точки (х₀; у₀), (х₁; у₁), (х₂; у₂).

Используя формулу (8) получим

Аналогично на отрезке [ x₂; x₄ ]: и т. д. до

Следовательно:

=

Учитывая погрешность вычислений и , получим формулу Симпсона

(10)

Абсолютная погрешность метода оценивается соотношением:

где (11)

Пример 3.4:

Вычислить интеграл , используя метод парабол при п = 4.

Решение.

Количество разбиений 2п = 8, , f (x)= x³

Составим таблицу:

х	y0 , y8	учетное	унечетное
x0 =0	y0 = f(0) = 0^3= 0
x8 = 2	y8 = f(2) = 2^3 = 8

 

Рассмотрим погрешность метода:

= 0 (Доказать самостоятельно).

 

По формуле Симпсона получаем:

=

Точное решение: =

Упражнения.

1. По формуле прямоугольников вычислить , разбив интервал интегрирования на 10 частей. Оценить погрешность.

(Ответ: )

1. По формуле трапеций вычислить , разбив интервал интегрирования на 10 частей. Оценить погрешность.

(Ответ: )

1. По формуле Симпсона вычислить , с точностью до 0,001

(Ответ: )

1. По формуле Симпсона вычислить , с точностью до 0,0001

(Ответ: п = 10, )

1. По формуле Симпсона вычислить , с точностью до 0,01

(Ответ: п = 5, )

1. По формуле Симпсона вычислить , с точностью до 0,01

(Ответ: п = 4, )

1. По формуле трапеций вычислить , с точностью до 0,01

(Ответ: п = 4, )

1. По формуле трапеций вычислить , с точностью до 0,01

(Ответ: п = 6, )

 

ГЛАВА IV.

Метод Эйлера.

Пусть требуется решить задачу Коши: найти решение дифференциального уравнения

(1)

удовлетворяющее начальному условию у(х₀) = у₀.

При численном решении дифференциального уравнения (1) задача ставится следующим образом: в точках х_к, х₀, х₁, х₂,...., х_п найти приближения для значений точного решения у(х_к)

Разность называется шагом сетки. Во многих случаях величину принимают постоянной. Пусть = h, тогда

x_k = x₀ +kh где (2)

Метод Эйлера основан на непосредственной замене производной разностным отношением по приближенной формуле

, где (3)

Приближенное значение у_к в точке x_k = x₀ +kh вычисляется по формуле:

- формула Эйлера (4)

Пример 4.1: Методом Эйлера найти значения решения уравнения , для которого у(1) = 1, в пяти точках отрезка [ 1; 1,5 ], приняв h = 0,1.

Решение. По формуле (2) находим точки х₀ = 1, х₁ = 1,1, х₂ = 1,2, х₃ = 1,3, х₄ = 1,4, х₅ = 1,5. Значения искомой функции у = у(х), удовлетворяющей условиям данной задачи Коши, вычисляем по формуле (4). Результаты вычислений занесем в таблицу.

k	xk	yk	2xk	f(xk , yk) = 2xk - yk	hf(xk , yk) = 0,1(2xk - yk)	yk+1 = yk + hf(xk , yk)
	1,0	1,0000	2,0	1,0000	0,1000	1,1000
	1,1	1,1000	2,2	1,1000	0,1100	1,2100
	1,2	1,2100	2,4	1,1900	0,1190	1,3290
	1,3	1,3290	2,6	1,2710	0,1271	1,4561
	1,4	1,4561	2,8	1,3439	0,1344	1,5905
	1,5	1,5905	3,0	1,4095	0,1410	1,7315

§2. Метод Рунге – Кутта. (Один из наиболее употребляемых методов повышенной точности).

Пусть функция у определяется дифференциальным уравнением с начальным условием у(х₀) = у₀. При численном интегрировании такого уравнения по методу Рунге – Кутта определяются четыре числа:

(5)

Если положить , то можно доказать, что

. (6)

Получаем следующую схему вычислений:

 

x	y	ki	Δy
x0	y0	k1
		k2
		k3
x0 + h	y0 + k3	k4
x1	y1 = y0 + Δy0	k1
		k2
		k3
x1 + h	y1 + k3	k4
x2	y2 = y1 + Δy1	k1
		k2
		k3
x2 + h	y2 + k3	k4
..............	.............	..............	...............

Пример 4.2:

Составь таблицу значений функции у, определяемой уравнением , при начальном условии у(0) = 1, 0 ≤ х ≤ 1 при h = 0,2.

Решение.

Используя формулы (5) найдем числа:

Отсюда

Таким образом у₁ = 1 + 0,1832 = 1,1832 при х = 0,2. По этой же схеме находим у₂ и т.д. процесс вычисления ведем по схеме:

x	y	ki	Δy
x0 = 0	y0 =1	k1 = 0,2	= 0,1832
= 0,1	=1,1	k2 = 0,1838
=0,1	1,0918	k3 = 0,1817
x0 + h = 0,2	y0 + k3 = 1,1817	k4 = 0,1686
x1 = 0,2	y1 = y0 + Δy0 = 1,1832	k1 = 0,1690	= 0,1584
= 0,3	= 1,2677	k2 = 0,1589
= 0,3	= 1,2626	k3 = 0,1575
x1 + h = 0,4	y1 + k3 = 1,3407	k4 = 0,1488
x2	y2 = y1 + Δy1=1,3416	k1
..............	.............	..............	...............

Упражнения.

1. Найти, используя метод Эйлера, значения функции у, определяемой дифференциальным уравнением , при начальном условии у(0) = 1, принимая h = 0,1. Ограничиваясь отысканием первых четырех значений у.

х	0	0,1	0,2	0,3	0,4
у	1	1,1	1,18	1,25	1,31

Ответ:

 

2. Найти по методу Эйлера четыре значения функции у, определяемой уравнением , при начальном условии у(0) = 1, принимая h = 0,1.

х	0	0,1	0,2	0,3	0,4
у	1	1,1	1,22	1,36	1,52

Ответ:

 

 

3. Найти по методу Эйлера три значения функции у, определяемой уравнением , при начальном условии у(0) = 1, принимая h = 0,1.

х	0	0,1	0,2	0,3
у	1	1,2	1,45	1,78

Ответ:

 

 

4. Найти по методу Эйлера четыре значения функции у, определяемой уравнением , при начальном условии у(0) = 0, принимая h = 0,1.

х	0,1	0,2	0,3	0,4
у	0	0,001	0,005	0,014

Ответ:

 

 

5. Найти, используя метод Эйлера, значения функции у, определяемой дифференциальным уравнением , при начальном условии у(2) = 4, принимая h = 0,1. Ограничиваясь отысканием первых четырех значений у.

х	0	0,1	0,2	0,3	0,4
у	1	1,1	1,18	1,25	1,31

Ответ:

 

 

6. Найти методом Эйлера численной решение уравнения на отрезке [0; 1], при начальном условии у(0) = 1, принимая h = 0,2

х	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
у	1	1,1	1,18	1,24	1,27	1,27

Ответ:

 

 

7. По методу Рунге – Кутта проинтегрировать уравнение на промежутке [1; 2], при начальном условии у(1) = 0, принимая h = 0,1. В первых пяти точках.

Ответ:

х	0	0,1	0,2	0,3	0,4
у	-0,1158	-0,1501	-0,1925	-0,2397	-0,2944

 

8. По методу Рунге – Кутта проинтегрировать уравнение на промежутке [0; 1], при начальном условии у(0) = 1, принимая h = 0,1. Вычисление вести с тремя верными знаками.

Ответ:

х	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
у	-1	-0,975	-0,949	-0,921	-0,888	-0,842	-0,802	-0,744	-0,675	-0,593	-0,495

 

9. По методу Рунге – Кутта проинтегрировать уравнение на промежутке [0; 1], при начальном условии у(0) = 1, принимая h = 0,1. Вычисление вести с двумя верными знаками.

Ответ:

х	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
у	1	1,05	1,12	1,20	1,29	1,39	1,50	1,62	1,75	1,89	2,03

 

 

 

Литература.