Ламинарное и турбулентное течение жидкости. Число Рейнольдса.

Число Рейнолдса также определяет относительную роль инерции и вязкости: при больших числах Рейнольдса более важна роль инерции, при малых – вязкости.Силы вязкости, возникающие в потоке, обратно пропорциональны квадрату характерного поперечного размера потока и пропорциональны скорости. Давления р₁ и р₂ по разные стороны изогнутой трубки тока будут разные. Возникающий градиент давления связан с ускореним частиц жидкости уравнением:

r(dv/dt)@–grad p

Для частицы: F _и–grad p+mD v =0 Þ силы вязкости значительно меньше сил инерции. В общем слкчае силы инерции обратно пропорциональны поперечному размеру потока и пропорциональны квадрату скорости. Re=rvh/m – число Рейнольдса, характеризующее отношение сил инерции к силам вязкости. Re>1 Þ жидкость можно рассмартивать как невязкую.

Ламинарным называется такое течение жидкости, когда её частицы двигаются вдоль траекторий параллельных стенам трубы. Особенностью ламинарного течения является его регулярность. Ламинарное течение может изменится только вследствии посторонних воздействий. При больших скоростях ламинарное течение становится неустойчивым и переходит в турбулентное. Турбулентное – это течение, гидродинамические характеристики, которого изменяются быстро и нерегулярно – флуктируют. При ламинарном течении силы вязкости сглаживают боковые движения жидкости, возникающие вследствие флуктуаций и неровностей стенок трубы. При недостаточной вязкости случайные боковые движения жидкости усиливаются, способствуя тем самым возникновению турбулентности. Переход от ламинарного течения к турбулентному происходит при некотором числе Рейнольдса, получившем название критического: (Re)_КР=(rvR/m)_кр. Значение (Re)_КР сильно зависит от формы входной части трубы. При установившемся турбулентном течении скорость в данной точке случайным образом меняется современем, однако средняя скорость v направлена вдоль оси трубы. Она остается постоянной по сечению трубы, и только в очень тонком пограничном слое спадает до нуля у ее стенок. Для турбулентного течения жидкости по трубе p₁–p₂=kr<v²> l /R, где к – безразмерный гидравлический коэффициент. Для ламинарного течения: p₁–p₂=8m<v> l /R². Повышение скорости прокачки жидкости по трубам при турбулентном течении потребует значительно большнго увеличения перепада давлений, чем при ламинарном. Формулы можнообъединить в одну, если принять, что безразмерный гидравлический коэффициент в зависит от числа Рейнольдса: k=k₀+(8/Re). Тогда при Re>Re_кр коэффициент k@k₀, и течение турбулентное. Напротив, при Re<1 k»8/Re, и первая формула переходит в0 2-ую. На рис. (4.12) изображен график зависимости перепада давления в трубах от скорости течения. При свободном ламинарном течении жидкости (в отсутствие направляющих поверхностей) развиваются неустойчивости, и ламинарное течение переходит в турбулентное. На рис. 4.13. представлено изображение струи жидкости (число Рейнольдса Re = 250).

Течение вязкой жидкости. Уравнение Навье-Стокса.

Для анализа течения вязкой жидкости в правую часть уравнения движения r(dv/dt)=F–drad p необходимо добавить силу вязкого трения, приложенную к единице объема жидкости. Для простоты ограничимся рассмотрением течения жидкости в направлении оси x, при это единственная компонента скорости vx будет зависеть от поперечной координаты y (рис. 4.3). На верхнюю грань dxdz кубика dxdydz (ось z перпендикулярна плоскости чертежа) в соответствии с F=(mSv/h) в направлении оси x действует увлекающая сила: , а на нижнюю грань тормозящая: . Равнодействующая сил вязкого трения, приложенная к выделенному кубику, равна F_t=F’_tx+F”_tx, a сила, приложенная к единичному объему, составит . В общем случае сила вязкого трения, вообще говоря, имеет три компоненты: f_t={f_tx, f_ty, f_tz}, где f_tx=mDv_x, f_ty=mDv_y, f_tz=mDv_z, где
D= — оператор Лапласа, для сокращения записи. Если теперь компоненты силы трения подставить в правые части уравнений:

 

для соответствующих компонент скоростей, то мы получим систему уравнений гидродинамики вязкой жидкости. Эти три уравнения могут быть записаны в виде одного векторного уравнения Навье-Стокса:

Течение вязкой жидкости по трубе. Формула Пуазейля. Если мы подсоединим тонкую горизонтальную стеклянную трубу с впаянными в нее вертикальными манометрическими трубками при помощи резинового шланга к водопроводному крану (рис. 4.6). При небольшой скорости течения хорошо видно понижение уровня воды в манометрических трубках в направлении течения (h 1 >h 2 >h 3). Это, в свою очередь, указывает на наличие градиента давления вдоль оси трубки — статическое давление в жидкости уменьшается по потоку. При равномерном прямолинейном течении жидкости силы давления уравновешиваются силами вязкости. Уравнение Навье-Стокса для этого случая запишется в виде:

-grad p+mDv=0. (4.12)

Распределение скоростей в поперечном сечении потока вязкой жидкости можно наблюдать при ее вытекании из вертикальной трубки через узкое отверстие (рис. 4.7). Если, например, при закрытом кране К налить вначале неподкрашенный глицерин, а затем сверху осторожно добавить подкрашенный, то в состоянии равновесия граница раздела Г будет горизонтальной. Если кран К открыть, то граница примет форму, похожую на параболоид вращения. Приравняем нулю сумму сил вязкости и давления, действующих на цилиндрический объем жидкости радиуса r и длиной dx (рис. 4.8):

(p(x) – p(x+dx))pr²+m2prdx(dv/dr)=0 (4.13)

Отметим, что равнодействующая сил давления направлена по потоку (вдоль оси x), а сила вязкого трения, приложенная к боковой поверхности выделенного цилиндра — против потока, поскольку dv/dr<0. Произведя сокращение и разделив (4.13) на dx, получаем:

–(dp/dx)+2mdv/(rdr)=0 (4.14)

Величина градиента давления dx/dp в (4.14) не зависит от радиуса r, т.к. давление p=p(x) и в поперечном сечении x=const не меняется. Это позволяет проинтегрировать (4.14):

(4.15)

Поток вектора скорости через поперечное сечение трубы, или объем жидкости, протекающей через сечение в единицу времени (на практике употребляют термин «расход жидкости») оказывается равным: .

Для практических целей расход жидкости определяют по формуле Пуазейля:

Здесь расход воды N_v пропорционален разности давлений p₁– p₂ на концах трубы длиной l.