Построение уравнения регрессии в стандартизованном масштабе.

b₁,b₂-коэффициенты регрессии, абсолютные показатели силы связи.

По абсолютным показателям силы связи нельзя сравнивать факторы, т.е.делать вывод, какой фактор более сильно влияет на результат. Для этой цели используются относительные показатели силы связи или стандартизированные коэффициенты регрессии(бета коэффициенты).

Представим наше уравнение в натуральном масштабе, т.е. с натуральными измерителями. Для этого нужно выразить в стандартных,единых измерителях- сигма(стандартное отклонение):

 

 

Запишем уравнение в стандартизированном виде:

 

 

К этому уравнению можно применить МНК. Можно записать систему уравнений.

ryx1=β1+β2rx2x1+β3rx3x1+βprxpx1

ryx2= β2rx2x1+β2+β3rx3x2+βprxpx2

ryxp= β2rxpx1+β3rxpx2+βprx3xp+βp

 

Связь множественной регрессии b со стандартизованными коэф β описывается соотношением

 

 

По бетта коэффициентам можно сравнивать факторы по силе влияния их на результат.

Параметр а определяется как а=ӯ-b1Х1ср-b2X2ср-…-bpXpср

Средние коэф эластичности

Частные коэф эластичности Эухj=bj(xj / ŷxj*x1,x2, ….,xj-1,xj+1,…xp)

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает ндекс множественной корреляции

или в стандартизованном виде:

 

Значение индекса лежит в пределах от 0 до 1 и д/б больше или равно максимальному парному индексу корреляции (ryxj)

 

Абсолютные и относительные показатели силы связи в модели множественной регрессии.

Абсолютные - показывают, на сколько единиц в среднем изменяется результативный признак при изменении рассматриваемого факторного признака на одну единицу при условии, что остальные факторы зафиксированы на среднем уровне и не меняются.(b-параметры в уравнении)

Относительны е:

· частные коэф эластичности;

показывают, на сколько процентов в среднем меняется результативный признак при изменении рассматриваемого факторного признака на один процент при условии, что остальные факторы зафиксированы на среднем уровне и не меняются.

Параметры в степенной модели являются частными коэффициентами эластичности.

· стандартизованные коэффициенты регрессии .

Множественный коэффициент корреляции и коэффициент детерминации.

Коэффициент множественной детерминации (R²) показывает долю вариации результативного признака, за счет вариации включенных в модель факторов. Используется для сравнения моделей, это важнейший показатель качества модели.:

 

Для сравнения модели с разным набором факторов и полученных на основе различного числа наблюдений используют скорректированный коэффициент детерминации.

 

Коэффициент (индекс) множественной корреляции (R) – корень квадратный из коэффициента множественной детерминации :

 

22. Показатели частной корреляции. Основаны на соотношении сокращения остаточной вариации за счет дополнительно включенного в модель фактора к остаточной вариации до включения в модель соответствующего фактора

 

Рассмотренные показатели можно также использовать для сравнения факторов, т.е. Можно ранжировать факторы(т.е.2ой фактор более тесно связан).

Частные коэффициенты могут быть использованы в процедуре отсева факторов при построении модели.

Рассмотренные выше показатели являются коэф-ми корреляции первого порядка,т.е.они характризуют связь между двумя факторами при закреплении одного фактора (yx1. x2). Однако можно построить коэф-ты 2го и более порядка (yx1. x2x3, yx1. x2x3x4).

Оценка значимости уравнения регрессии и его параметров

Проверка достоверности всего уравнения:

 

Таблица дисперсионного анализа

Источник вариации	df	Сумма квадратов отклонений SS	Дисперсия на 1 степень свободы MS	F - критерий
Регрессия				2,18
Остаток			7,33
Итого			Х

 

Оценка достоверности параметров

,

где - случайная ошибка коэффициента условно чистой регрессии

 

Уравнение значимо, если оно достоверно по F-критерию и значимы все его параметры. Можно построить доверительный интервал для оценивания параметров.

-tтаб* =< =< + tтаб*

 

Частные F-критерии

По уравнению множественно регрессии оценивается значимость не только модели в целом, но и значимость дополнительного включения в модель соответствующего фактора.

Необходимость такой оценки связана с тем, что не каждый фактор, входящий в модель может существенно увеличить факторную вариацию. Кроме того в виду корреляции между факторами, значимость одного и того же фактора может быть различной в зависимости от последовательности включения в модель этого фактора.

Мерой для оценки целесообразности включения фактора в модель служит частный F-критерий. Частный F-критерий строится на сравнении пироста факторной дисперсии (на 1 степень свободы), обусловленный влиянием дополнительно включенного в модель фактора к остаточной дисперсии на 1 ст свободы по регрессионной модели.

 

SSe(1)остаточная сумма квадратов для модели без фактора x_j

SSe(2) - остаточная сумма квадратов для модели с фактором x_j

- прирост степеней свободы (=1 при добавлении 1 фактора)

 

Если Fфакт> Fтаб, то С вероятностью 0,95 можно утверждать, что включения фактора x1 после x2 целесообразно.

Fj= tb(j)^2

Можно построить частные таблицы дисперсионного анализа:

Источник вариации	df	Сумма квадратов отклонений SS	Дисперсия на 1 степень свободы MS	F-критерий
Регрессия со всеми факторами				0,96
В том числе с фактором x2
Регрессия, обусловленная включением в модель фактора x1 после x2		32-25=7
Остаток			7,33
Итого			-