Задача 6. Построение уравнения регрессии

Постройте уравнения регрессии Y(X), Z(X), Z(X) графическим способом.

Y(X):

Решение:

Линия регрессии представлена на графиках в Задании 5.

На линии регрессии выбираем две точки, ближе к краям диапазона значений.

Уравнение регрессии имеет вид .

 

Составляем систему уравнений ‑ два уравнения с двумя неизвестными:

 

; ;

 

Уравнение регрессии

 

Z(X):

; ;

Уравнение регрессии

 

Z(Y):

; ;

 

Уравнение регрессии

Задача 7. Вычисление линейных коэффициентов

Корреляции

 

Вычислите линейные коэффициенты корреляции , и . Сделайте вывод о тесноте линейной связи между признаками.

Решение:

Линейный коэффициент корреляции вычисляется следующим образом:

 

 

Вычислим коэффициент rxy:

 

 

Вычислим коэффициент rxz:

 

 

 

Вычислим коэффициент ryz:

 

 

При < 0,3 связь считается слабой, при 0,3 < < 0,7 – средней, при > 0,7 ‑ сильной, или тесной.

 

 

Задача 8. Проверка существенности коэффициентов

Корреляции

После определения коэффициентов корреляции , и . необходимо проверить их существенность с помощью T-критерия Стьюдента.

Решение:

 

Величина t -критерия имеет вид

где r – выборочный коэффициент корреляции; n – объем выборки.

 

Проверим существенность коэффициента корреляции rxy:

 

 

 

0,408<2,306, значит гипотеза о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю подтверждается с уровнем значимости 5 %. Аналогично .

 

11,28>2,306, значит гипотеза о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю опровергается с уровнем значимости 5 %.

 

 

Задача 9. Вычисление параметров

Теоретического уравнения регрессии

С помощью метода наименьших квадратов (МНК) постройте уравнения регрессии Y(X), Z(Y), Z(X). Нанесите линии регрессии на корреляционное поле.

Решение:

 

Преобразуя полученные уравнения, получаем систему нормальных уравнений МНК для прямой:

 

Решая систему, получаем оценки неизвестных коэффициентов a и b:

 

 

1) Найдем уравнение регрессии Y(x):

 

 

Отсюда, линейное уравнение парной регрессии и имеет следующий вид:

,

 

2) Найдем уравнение регрессии Z(x):

 

Отсюда, линейное уравнение парной регрессии и имеет следующий вид:

,

 

3) Найдем уравнение регрессии Z(y):

 

Отсюда, линейное уравнение парной регрессии и имеет следующий вид:

 

 

Задача 10. Нахождение средней и предельной ошибки выборки

Найдите среднюю и предельную ошибки выборки X, Y, Z. Постройте доверительные интервалы для генеральной средней с вероятностью р = 90 %; 95 %; 99,7 %.

Решение:

Рассчитаем по Х:

Разница между выборочным средним и генеральным средним называется предельной ошибкой выборки:

 

 

Составим вспомогательную таблицу:

Табл.16

xi
9..13,8		11,4	22,8	259,9
13,8..18,2		16,2	16,2	262,4
18,2..23,4
23,4..28,2		25,8		3328,2
28,2..33		30,6	30,6	936,36
S		-	219,6	5227,9

 

Найдем выборочную среднюю:

 

Найдем дисперсию:

 

 

Определим среднюю ошибку выборки (μ):

 

где ‑ дисперсия

Коэффициент доверия t определяется по таблице значений интегральной функции Лапласа при заданной доверительной вероятности:

 

 

P(t)	0,683	0,9	0,950	0,954	0,990	0,997
t	1,00	1,64	1,96	2,00	2,58	3,00

 

 

1) р = 90 %:

 

2) р = 95 %:

3) р = 99,7 %:

 

 

Рассчитаем по У:

 

Ход решения такой же, как и при расчетах по Х.

 

Y:

Табл.17

yi
-83..-72		-77,5	-232,5	18018,75
-72..-61		-66,5	-133	8844,5
-61..-50		-55,5	-111	6160,5
-50..-39		-44,5	-133,5	5940,75
Σ		-	-610	38964,5

P(t)	0,683	0,9	0,950	0,954	0,990	0,997
t	1,00	1,64	1,96	2,00	2,58	3,00

 

 

1)р = 90 %:

 

2)р = 95 %:

3)р = 99,7 %:

 

Рассчитаем по Z:

 

Ход решения такой же, как и при расчетах по Х.

 

Z:

Табл.18

zi
-68..-55,75		-61,86	-123,72	7653,32
-55,75..-43,5		-49,63	-49,63	2463,14
-43,5..-31,25		-37,38	-186,9	6986,32
-31,25..-19		-25,13	-50,26	1263,03
S		-	-410,51	18365,81

P(t)	0,683	0,9	0,950	0,954	0,990	0,997
t	1,00	1,64	1,96	2,00	2,58	3,00

 

 

1)р = 90 %:

 

2)р = 95 %:

3)р = 99,7 %:

Задача 11. Сглаживание ряда динамики

Решение:

3-членная скользящая средняя простая находится по формуле:

4-членная скользящая средняя простая находится по формуле:

 

 

5-членная скользящая средняя взвешенная находится по формуле:

 

,

 

Взвешенная скользящая средняя определяется как средняя арифметическая взвешенная:

 

где ‑ скользящая средняя; y_t ‑ уровни динамического ряда, участвующие в расчете за интервал n; f_i ‑ веса.

 

Веса для уровней ряда при сглаживании могут быть взяты как коэффициенты бинома Ньютона:

Интервал сглаживания (n)	Коэффициенты (f)	Сумма весов
	1 2 1
	1 4 6 4 1
	1 6 15 20 15 6 1

 

 

Результаты запишем в таблицу:

 

Табл.19

 

Месяцы	Фактический уровень,	Сглаженные уровни
Простая скользящая средняя	Взвешенная скользящая средняя
3-членная	5-членная	3-членная	5-членная
		-	-	-	-
		53,3	-	58,75	-
		52,3	61,2		49,69
		53,7	63,4		58,38
		75,7		76,5
			78,6		80,25
		82,3	84,6	82,5	83,125
		87,7	78,4	86,5	84,19
			-	81,25	-
		-	-	-	-
			431,2	566,5	427,635

 

Нецентрированные скользящие средние:

; ; и т.д.

 

Центрированные средние:

; и т.д.

 

Табл.20

Месяцы	Фактический уровень,	Четырехчленная скользящая средняя
Нецентрированная	Центрированная
		-	-
		56,75	72,5
		60,5
		77,5
		81,5
		77,75
		-	72,5
		-	-