Расчет и измерение скорости шара, скатывающегося по наклонному желобу

 

 

Цель работы: Рассчитать конечную скорость шара, скатывающегося с на­клонного желоба. Результат расчета проверить экспериментально.

 

Оборудование: штатив; длинный желоб с углом раствора 90°; шар радиусом R, меньшим ширины l одной стороны желоба; линейка измерительная; секундомер.

 

Теоретические основы работы

 

Для шара, скатывающегося с наклонного желоба высотой h, на основании закона сохранения энергии можно записать:

 

 

(1)

 

где т — масса шара, v и ω — линейная и угловая скорости шара в данный момент времени, — момент инерции шара от­носительно оси, проходящей через центр масс (т — масса, R — радиус шара).

 

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности тела во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции относительно некоторой оси равен сумме произведений элементарных масс на квадрат расстояний до этой оси. Моменты инерций однородных тел простейшей формы легко выражаются через массу и геометрические характеристики.

Второй закон Ньютона для вращательного движения имеет вид:

 

,

 

где L – момент импульса тела, величина равная произведению момента инерции тела на угловую скорость , M – момент сил

 

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей

 

Тело	Положение оси a	Момент инерции Ja
Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) радиуса R и массы m	Ось цилиндра
Сплошной цилиндр (диск) радиуса R и массы m	Ось цилиндра
Конус радиуса R и массы m	Ось конуса
Шар радиуса R и массы m	Ось проходит через центр шара
Тонкостенная сфера радиуса R и массы m	Ось проходит через центр сферы
Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его середину
Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец

 

 

Так как шар катится по желобу прямоугольного сечения, его угловую скорость следует вычислять по фор­муле (рис. 1).

Из рисунка видно, что при ,

 

, т.е. рис.1

Следовательно, первое равенство можно записать в виде:

 

Откуда

 

 

Поскольку скорость шара в любой момент времени пропорцио­нальна корню квадратному из высоты h, движение шара — равно­ускоренное.

 

Порядок выполнения работы

 

1. С помощью уровня или шара установите горизонтальность поверхности стола.

2. С помощью штатива установите желоб в наклонном положе­нии (рис. 2). Измерьте высоту h наклонного желоба.

3. Рассчитайте теоретическую скорость скатывания шара с же­лоба по формуле:

 

 

4. Измерьте длину l желоба и время t скатывания с него шара.

5. Рассчитайте скорость шара в конце желоба по формуле:

 

 

6. Повторите опыт при разных значениях высоты h наклонного желоба и сделайте вывод об оптимальных условиях выполнения работы.

7. Результаты измерений и расчетов занесите в отчетную таблицу.

 

Отчетная таблица

 

№ опыта	h, м	vт, м/с	м/с	l, м	t, с	vэ, м/с	м/с

 

 

8. Рассчитайте погрешности измерений v_T и v_э иубедитесь в до­стоверности измерений.

 

 

Рис. 2

 

 

Контрольные вопросы

 

1. Сформулируйте закон сохранения полной механической энергии.

2. Назовите условия при которых выполняется закон сохранения полной механической энергии.

3. Дайте определение момента инерции.

4. Почему при скатывании шара по желобу нельзя использо­вать формулу , где R — радиус шара?

5. Как доказать, что движение шара по желобу равноуско­ренное?

6. Чем объясняются различия в значениях v _т и v_э, полученных в данной работе?

7. При каких углах наклона желоба погрешности измерений минимальны?

8. Какую роль играет трение в данном опыте?

9. Колесо катилось по столу со скоростью 0,6 м/с. Достигнув края стола стало падать. Определить скорость краевой точки через 0,02 с от начала падения (в этот момент её линейная скорость вращения направлена вертикально вниз).

10.Автомобиль движется со скоростью 10 м/с. Определить скорость относительно Земли точек A, B, C, лежащих на его ободе.

11.Два тела одновременно начинают движение по окружности из одной точки в одном направлении. Период обращения первого тела равен 3 с, второго 4 с. Через какой промежуток времени первое тело догонит второе?

12.Секундная стрелка в 2 раза короче минутной. Во сколько раз линейная скорость конца секундной стрелки больше линейной скорости минутной стрелки?

 

Творческий практикум

Для точек земной поверхности на широте Санкт-Петербурга (60°) определите линейную скорость и ускорение, испытываемое ими вследствие суточного вращения Земли (рис. 33). Радиус Земли считайте равным 6370 км.

 

Лабораторная работа № 2

 

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ
НА МАШИНЕ АТВУДА

 

Цель работы: Изучить равнопеременное и равномерное прямолинейные движения в поле земного тяготения. Определить ускорение свободного падения.

 

Оборудование: машина Атвуда.

 

Теоретические основы работы

Механическим движением называется происходящее со временем перемещение тел или их частей относительно других тел (тел отсчета). Любое механическое движение рассматривается в определенной системе отсчета, состоящей из тела отсчета, связанной с ним системы пространственных координат и часов.

Материальной точкой называется тело, размеры которого много меньше масштаба движения. Положение материальной точки в пространстве характеризует ее радиус-вектор , проведенный из начала координат к этой точке. При движении материальной точки по траектории ее радиус-вектор меняется. Мерой изменения радиуса-вектора со временем является физическая величина - скорость , а мерой изменения скорости со временем - ускорение . Мерой действия одного тела на другое является физическая величина - сила . Основные законы динамики материальных точек - это законы Ньютона. В частности, второй закон Ньютона, математическая запись которого имеет вид:

, (1)

называют основным уравнением динамики.

Эскиз машины Атвуда показан на рис.2. Два груза массами М соединены нитью, перекинутой через неподвижный блок. Если на один из грузов положить перегрузок массой m, то система приходит в ускоренное движение. Каждый из грузов натягивает участок нити, который, стараясь сократиться, действует на груз силой натяжения , а на блок - силой . Тогда на каждый груз действует сила тяжести и сила натяжения нити . Основное уравнение динамики для груза с перегрузком имеет вид:

, (2)

а для другого груза:

. (3)

Основное уравнение динамики вращательного движения неподвижного блока имеет вид:

, (4)

где - алгебраическая сумма моментов сил, действующих на блок, относительно оси вращения; I - момент инерции блока; e - угловое ускорение.

Если вращение по часовой стрелке считать положительным, то, согласно рис.2, получим

, (4¢)

где R - радиус блока; М_тр - момент силы трения.

Будет считать, что нить невесомая, нерастяжимая и не скользит по блоку. Из условия невесомости нити следует:

, т.е. ; . (5)

Из условия нерастяжимости нити следуют равенства модулей перемещений, скоростей и ускорений грузов и нити:

. (6)

Наконец, в отсутствие скольжения нити по блоку ускорение грузов и нити а равно модулю тангенциального ускорения точек обода блока:

или . (7)

Проецируя уравнения (2) и (3) на ось У, направленную вертикально вверх, получим с учетом формул (5), (6) и (7) систему уравнений, к которой присоединим уравнение (4¢):

 

(8)

Умножая первое из уравнений (8) на -1 и складывая все уравнения (8), получим

. (9)

В данной лабораторной установке момент сил трения настолько мал, что выполняется неравенство

<< . (10)

Кроме того, в лабораторной установке величина момента инерции I блока такова, что справедливо другое неравенство:

<< . (11)

Пренебрегая малыми величинами, из уравнения (9) получим ускорение а системы грузов под действием перегрузка массой m:

, (12)

а модули сил натяжения нити Т₁ и Т₂ по обе стороны блока равны:

. (13)

Можно сказать, что равенство (13) выполняется при двух предположениях (10) и (11).

Равноускоренное движение системы грузов вдоль оси У описывается уравнениями движения произвольной точки системы:

,

,

где у₁, v₁ - начальные параметры.

Исключая из этих уравнений время t при условии v₁ = 0, получим

. (14)

Система грузов перемещается на величину , двигаясь равноускоренно под действием перегрузка массой m с ускорением, которое определяется формулой (12).

В точке с координатой у₂ и скоростью v₂ перегрузок подхватывается столиком и система грузов движется равномерно, перемещаясь на величину L₂ за время t, измеряемое миллисекундомером экспериментальной установки. Подставляя в равенство (14) формулу , получим

. (15)

При изменении L₂ меняется время t, измеряемое секундомером, но ускорение а должно оставаться неизменным. Уравнение (15) проверяется экспериментально в упражнении №1.

 

 

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

 

К основанию 1 экспериментальной установки (см.рис.3), которая стоит на регулируемых ножках 2, прикреплены миллисекундомер 3 и вертикальная стойка 4. К стойке крепятся три кронштейна, из которых два неподвижные - нижний 5 и верхний 6. А средний кронштейн 7 может перемещаться вдоль стойки. На кронштейне 7 находятся первый фотоэлектрический датчик 8 и столик 9 для снятия перегрузка. На нижнем кронштейне 5 установлен второй фотоэлектрический датчик 10 и амортизаторы 11. Все кронштейны содержат прорезь для определения положения кронштейна на вертикальной шкале 12. На верхнем конце стойки находится неподвижный блок 13. Для наблюдения ускоренного движения грузов на правый груз 15 помещают перегрузок 16 и поднимают их в такое положение, в котором нижнее основание груза совпадает с чертой на верхнем кронштейне. После начинается ускоренное движение грузов и перегрузка до того момента, когда столик 9 подхватит перегрузок. Одновременно фотоэлектрический датчик 8 включает миллисекундомер, измеряющий время равномерного движения грузов до тех пор, пока груз 15 не ударится об амортизатор II и не вызовет срабатывание датчика 10, выключающего миллисекундомер. Итак, во время равноускоренного движения грузы проходят расстояние L₁ (см.рис.2) и приобретают скорость v₂, с которой, двигаясь равномерно, проходят расстояние L₂ за время t, измеренное миллисекундомером. Для подготовки прибора к следующему измерению нажимают кнопку "СБРОС".

 

Порядок выполнения работы