Кинематика материальной точки. Основные характеристики движения. Нормальное и тангенциальное ускорения.

Кинематика материальной точки. Основные характеристики движения. Нормальное и тангенциальное ускорения.

Кинематика точки — раздел кинематики, изучающий математическое описание движения материальных точек. Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение.

Движение любого объекта в кинематике изучают по отношению к некоторой системеотсчета, включающей: тело отсчета, систему измерения положения тела в пространстве (систему координат) и Прибор для измерения времени (Часы).

Положение точки определяется набором обобщенныхкоординат — упорядоченным набором числовых величин, полностью описывающих положение тела. В самом простом случае это координаты точки (радиус-вектора) в выбранной системе координат.

Материальная точка – это тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Является ли тело материальной точкой, зависит не от размеров тела, а от условий задачи.

Движением в механике называется изменение взаимного расположения тел. Движение происходит как в пространстве, так и во времени, поэтому для описания движения необходимо также определять время. Совокупность неподвижных друг относительно друга тел, по отношении к которым рассматривается движение, и отсчитывающего время устройства называется системой отсчёта. Всякое движение твёрдого тела можно разложить на 2 вида: поступательное и вращательное. Поступательным называется движение, при котором любая прямая, связанная с движущимся телом, остаётся параллельной самой себе. При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Ось вращения может быть и вне тела. Для того чтобы иметь возможность описывать движение количественно систему отсчёта связывают с системой координат.

Материальная точка при своём движении описывает некоторую линию, называемую траекторией. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное, криволинейное и движение по окружности.

Радиус-вектор — вектор, определяющий положение материальной точки в пространстве. Геометрически изображается вектором, проведенным из начала координат к материальной точке. Зависимость радиус-вектора от времени называется законом движения.

Траектория – это воображаемая линия, описываемая концом радиус-вектора в процессе движения. Иными словами, траектория — это линия вдоль которой движется материальная точка. При этом закон движения выступает как уравнение, задающее траекторию параметрически. Длину участка траектории между начальным и конечным моментами времени часто называют пройденным расстоянием или длиной пути и обозначают буквой S. При таком описании движения S выступает в качестве обобщенной координаты, а законы движения в этом случае записывается в виде и аналогичны соответствующим законам для координат. Например закон равноускоренного криволинейного движения может быть записан в виде: , где – модуль начальной скорости, а о – тангенциальное ускорение.

Момент силы, действующей на материальную точку, относительно оси вращения.

а) Пусть материальная точка массы m вращается относительно оси ОО ΄. Обозначим r - радиус-вектор, проведенный от оси вращения до точки приложения силы F (Рисунок 10).

Рисунок 10. Вращение материальной точки

Моментом силы F относительно оси вращения называется вектор M, равный векторному произведению радиус-вектора на вектор силы M = [ r∙ F] и направленный по оси вращения в сторону, определяемую по правилу правого буравчика

Модуль вектора момента силы равен M = F ∙ r ∙ sinα, где α - угол между векторами r и F.

Момент импульса.

Моментом импульса материальной точки относительно оси вращения называется вектор L, равный векторному произведению радиуса-вектора r на вектор импульса P: L = [ r∙P] = [ r∙ m v ],

где m, v - соответственно масса и вектор скорости точки. Направление L определяется по правилу правого буравчика. Модуль вектора L = mv∙ r∙ sinα, где α - угол между векторами r и v.

Законы сохранения.

Законы сохранения — фундаментальные физические законы, согласно которым при определённых условиях некоторые измеримые физические величины, характеризующие замкнутую физическую систему, не изменяются с течением времени.

Закон сохранения энергии — фундаментальный закон природы, установленный эмпирически и заключающийся в том, что энергия изолированной (замкнутой) физической системы сохраняется с течением времени. Другими словами, энергия не может возникнуть из ничего и не может исчезнуть в никуда, она может только переходить из одной формы в другую.

Закон сохранения импульса (Закон сохранения количества движения) утверждает, что сумма импульсов всех тел (или частиц) замкнутой системы есть величина постоянная.

Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил. В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона.

Закон сохранения момента импульса (закон сохранения углового момента) — векторная сумма всех моментов импульса относительно любой оси для замкнутой системы остается постоянной в случае равновесия системы. В соответствии с этим, момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной точки не изменяется со временем.

Условие плавания тел

Поведение тела, находящегося в жидкости или газе, зависит от соотношения между модулями силы тяжести и силы Архимеда , которые действуют на это тело. Возможны следующие три случая:

— тело тонет;

— тело плавает в жидкости или газе;

— тело всплывает до тех пор, пока не начнет плавать.

Другая формулировка (где — плотность тела, — плотность среды, в которую оно погружено):

· — тело тонет;

· — тело плавает в жидкости или газе;

· — тело всплывает до тех пор, пока не начнет плавать.

Уравнение Бернулли.

Закон Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости: , здесь — плотность жидкости, — скорость потока, — высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости, — давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости, — ускорение свободного падения. Константа в правой части обычно называется напором, или полным давлением, а также интегралом Бернулли. Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости.

Согласно закону Бернулли полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока. Полное давление состоит из весового (ρ gh), статического (p) и динамического давлений.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю, то есть таких жидкостей, которые не прилипают к поверхности трубы. На самом деле экспериментально установлено, что скорость жидкости на поверхности твердого тела почти всегда в точности равна нулю (кроме случаев отрыва струй при некоторых редких условиях). Закон Бернулли можно применить к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда.

Для сжимаемого идеального газа , (постоянна вдоль линии тока или линии вихря) где — Адиабатическая постоянная газа, p — давление газа в точке, ρ — плотность газа в точке, v — скорость течения газа, g — ускорение свободного падения, h — высота относительно начала координат. При движении в неоднородном поле gh заменяется на потенциал гравитационного поля.

Силы вязкого трения.

В предыдущих лекциях мы рассматривали движение жидкости и газа в пренебрежении силами вязкого трения. Между тем, эти силы, действующие между частицами движущейся жидкости, могут кардинальным образом повлиять как на распределение скоростей в потоке жидкости, так и на обтекание жидкостью тел, помещенных в движущийся поток.
Еще Ньютон установил опытным путем, что при скольжении друг относительно друга двух параллельных плоскостей, пространство между которыми заполнено жидкостью, силы вязкого трения препятствуют этому скольжению (рис. 4.1). Так, при движении со скоростью v верхней плоскости с площадью S относительно нижней, возникает сила вязкого трения, направленная против движения и равная

(4.1)

Эта сила пропорциональна площади S и изменению скорости на единицу длины в поперечном направлении v/h (градиенту скорости в направлении перпендикулярном движению) и зависит также от вязкости жидкости .

Рис. 4.1.

Формула (4.1) справедлива, если расстояние h между пластинами значительно меньше их линейных размеров . Важно отметить, что частицы жидкости, прилегающие к верхней пластине, движутся вместе с нею со скоростью v (увлекаются пластиной). Напротив, частицы жидкости вблизи нижней (неподвижной) пластины находятся в покое (прилипают к пластине). Если мысленно разбить жидкость на параллельные плоские слои, движущиеся равномерно, то нетрудно понять, что каждый вышележащий слой увлекает за собой нижний соседний слой с силой . В свою очередь, этот нижний слой тормозит движение верхнего слоя с силой, численно равной . На каждый слой действует сверху и снизу две равные, но противоположные силы. Скорость слоев нарастает линейно с их высотой (рис. 4.2), а сила трения передается от одному слоя к другому. Как результат, усилие , приложенной к верхней пластине, передается на нижнюю пластину. Коэффициент вязкости среды определяется экспериментально, например, по скорости ее истечения через трубку известных размеров. (см. ниже). Как показывает опыт с нагреванием, вязкость жидкости уменьшается, а газов - увеличивается. Объяснение такого разного поведения коэффициента вязкости будет дано в курсе "Молекулярная физика".

Рис. 4.2.

 

Волны. Уравнение волны.

Волна — изменение состояния среды (возмущение), распространяющееся в этой среде и переносящее с собой энергию. Другими словами: «…волнами или волной называют изменяющееся со временем пространственное чередование максимумов и минимумов любой физической величины, например, плотности вещества, напряжённости электрического поля, температуры».

Перенос энергии — принципиальное отличие волн от колебаний, в которых происходят лишь «местные» преобразования энергии. Волны же, как правило, способны удаляться на значительные расстояния от места своего возникновения (по этой причине волны иногда называют «колебанием, оторвавшимся от излучателя»).

Математическое описание волн основывается на представлении о них, как о пространственно распространяющихся колебаниях, и в общем виде записывается:

где u — отклонение от некоего среднего положения в точке r во время t.

Более определённый вид уравнения зависит от типа волны.

Гармоническая волна

Изменение колеблющейся величины u для гармонически распространяющейся волны в начале координат описывается формулой:

или

где A — амплитуда, t — время, а T — период волны.

В любой другой точке, расположенной на расстоянии r от начала координат в направлении распространения волны, изменение u происходит с опозданием на время t ₁:

где c — скорость распространения волны в данной среде.

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точки как функцию ее координат (x, y, z) и времени t.

Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом.

Уравнение плоской волны

Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.

Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: . Пусть колебание точек, лежащих в плоскости , имеет вид (при начальной фазе )

(5.2.2)

Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время .

Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости , т.е.

,

(5.2.3)

– это уравнение плоской волны.

Таким образом, x есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания . Это будет, если энергия волны не поглощается средой.

Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z.

В общем виде уравнение плоской волны записывается так:

, или .

(5.2.4)

Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны.

Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид:

.

Уравнение волны можно записать и в другом виде.

Введем волновое число , или в векторной форме:

,

(5.2.5)

где – волновой вектор, – нормаль к волновой поверхности.

Так как , то . Отсюда . Тогда уравнение плоской волны запишется так:

.

(5.2.6)

Уравнение сферической волны

В случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической.

Предположим, что фаза колебаний источника равна w t (т.е. ). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут иметь фазу . Амплитуда колебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону . Следовательно, уравнение сферической волны:

, или ,

(5.2.7)

где А равна амплитуде на расстоянии от источника равном единице.

Уравнение (5.2.7) неприменимо для малых r, т.к. при , амплитуда стремится к бесконечности. То, что амплитуда колебаний , следует из рассмотрения энергии, переносимой волной.

Бегущими волнами называются волны, ко­торые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии в волнах количественно характеризуется вектором плотности по­тока энергии. Этот вектор для упругих волн называется вектором Умова (по име­ни русского ученого Н. А. Умова (1846— 1915), решившего задачу о движении энергии в среде). Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, пере­носимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распро­странения волны.

Для вывода уравнения бегущей во­лны — зависимости смещения колеблю­щейся частицы от координат и времени — рассмотрим плоскую волну, предполагая, что колебания носят гармонический ха­рактер, а ось х совпадает с направлением распространения волны (рис. 220). В дан­ном случае волновые поверхности перпен­дикулярны оси х, а так как все точки волновой поверхности колеблются одина­ково, то смещение x будет зависеть только от х и t, т. е. x=x (х, t).

На рис. 220 рассмотрим некоторую частицу среды В, находящуюся от источ­ника колебаний О на расстоянии х. Если колебания точек, лежащих в плоскости х= 0, описываются функцией x(0, t)=А coswt, то частица среды В колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источ­ника на т, так как для прохождения во­лной расстояния х требуется время t= x/v, где v — скорость распространения волны. Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид

x(x,t)=Acosw(t-x/v), (154.1)

откуда следует, что x (х, t) является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (154.1) есть уравнение бегу­щей волны. Если плоская волна распро­страняется в противоположном направлении, то x(х, t)=A cosw(t+x/v).

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль поло­жительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

x(x,t)=Acos[w(t -х/v)+j₀], (154.2)

где А= const — амплитуда волны, w — циклическая частота волны, j₀ — началь­ная фаза колебаний, определяемая в об­щем случае выбором начал отсчета х и t, [w (t-x /v)+j₀]— фаза плоской волны.

Для характеристики волн использует­ся волновое число

k=2p/l=2p/vT=w/v. (154.3) Учитывая (154.3), уравнению (154.2) можно придать вид

x(x,t)=A cos(wt-kх+j₀). (154.4)

Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (154.4) только знаком чле­на kx.

Основываясь на формуле Эйлера (140.7), уравнение плоской волны можно записать в виде x(x,t)=Ae^i(wt-kx+j0), где физический смысл имеет лишь дей­ствительная часть. Предположим, что при волновом про­цессе фаза постоянна, т. е. w(t-x/v)+j₀=const. (154.5) Продифференцировав выражение (154.5) и сократив на w, получим dt -(1/v) dx=0, откуда dx/dt=v.

Следовательно, скорость v распространения волны в уравнении есть не что иное, как скорость перемещения фазы во­лны, и ее называют фазовой скоростью.

Повторяя ход рассуждений для плоской волны, можно доказать, что урав­нение сферической волны — волны, волновые поверхности которой имеют вид кон­центрических сфер, записывается как

x(r,t)=A₀/rcos(wt-kr+j₀), (154.7)

где r — расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В случае сферической волны даже в среде, не по­глощающей энергию, амплитуда колеба­ний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1 /r. Уравнение (154.7) справедливо лишь для r, значи­тельно превышающих размеры источника (тогда источник колебаний можно считать точечным).

Из выражения (154.3) вытекает, что фазовая скорость

v=w/k. (154.8)

Если фазовая скорость волн в среде за­висит от их частоты, то это явление на­зывают дисперсией волн, а среда, в кото­рой наблюдается дисперсия волн, называ­ется диспергирующей средой.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описы­вается волновым уравнением — диффе­ренциальным уравнением в частных про­изводных

где v — фазовая скорость, D= д ²/ д x² + д ²/ д y² + д ²/ д z² — оператор Лапласа. Решением уравнения (154.9) является урав­нение любой волны. Соответствующей под­становкой можно убедиться, что уравне­нию (154.9) удовлетворяют, в частности, плоская волна (см. (154.2)) и сфериче­ская волна (см. (154.7)). Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид

Кинематика материальной точки. Основные характеристики движения. Нормальное и тангенциальное ускорения.

Кинематика точки — раздел кинематики, изучающий математическое описание движения материальных точек. Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение.

Движение любого объекта в кинематике изучают по отношению к некоторой системеотсчета, включающей: тело отсчета, систему измерения положения тела в пространстве (систему координат) и Прибор для измерения времени (Часы).

Положение точки определяется набором обобщенныхкоординат — упорядоченным набором числовых величин, полностью описывающих положение тела. В самом простом случае это координаты точки (радиус-вектора) в выбранной системе координат.

Материальная точка – это тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Является ли тело материальной точкой, зависит не от размеров тела, а от условий задачи.

Движением в механике называется изменение взаимного расположения тел. Движение происходит как в пространстве, так и во времени, поэтому для описания движения необходимо также определять время. Совокупность неподвижных друг относительно друга тел, по отношении к которым рассматривается движение, и отсчитывающего время устройства называется системой отсчёта. Всякое движение твёрдого тела можно разложить на 2 вида: поступательное и вращательное. Поступательным называется движение, при котором любая прямая, связанная с движущимся телом, остаётся параллельной самой себе. При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Ось вращения может быть и вне тела. Для того чтобы иметь возможность описывать движение количественно систему отсчёта связывают с системой координат.

Материальная точка при своём движении описывает некоторую линию, называемую траекторией. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное, криволинейное и движение по окружности.

Радиус-вектор — вектор, определяющий положение материальной точки в пространстве. Геометрически изображается вектором, проведенным из начала координат к материальной точке. Зависимость радиус-вектора от времени называется законом движения.

Траектория – это воображаемая линия, описываемая концом радиус-вектора в процессе движения. Иными словами, траектория — это линия вдоль которой движется материальная точка. При этом закон движения выступает как уравнение, задающее траекторию параметрически. Длину участка траектории между начальным и конечным моментами времени часто называют пройденным расстоянием или длиной пути и обозначают буквой S. При таком описании движения S выступает в качестве обобщенной координаты, а законы движения в этом случае записывается в виде и аналогичны соответствующим законам для координат. Например закон равноускоренного криволинейного движения может быть записан в виде: , где – модуль начальной скорости, а о – тангенциальное ускорение.