Определение плотности твердых тел, имеющих правильную геометрическую форму

Приборы и принадлежности: исследуемые тела, штангенциркуль или микрометр, технические весы с разновесами.

Плотностью вещества ρ называется физическая величина, измеряемая отношением массы вещества к его объему, т.е.

где m – масса вещества, V – его объем.

Для определения ρ надо знать эти две величины. Масса твердого тела находится при помощи рычажных весов. Объем тела правильной геометрической формы вычисляется по формулам геометрии. Измерение линейных размеров тела производится при помощи штангенциркуля или микрометра.

Рассмотрим два примера.

1. Тело имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Пусть a, b, c – длины его ребер. Тогда объем параллелепипеда будет равен V=a·d·c. Измерение линейных размеров тела производится с помощью штангенциркуля, точность которого 0,05 мм. Масса тела находится на технических весах, точность которых определяется наименьшим разновесом, который используется при взвешивании (обычно Δ m =10 мг=0,01 г).

№ п/п	а, мм	| Δ a |, мм	b, мм	|Δ b |, мм	с, мм	|Δ с |, мм	m, г	Δ m, г
Ср

Пусть линейные размеры тела определяются по три раза в разных местах, а масса – один раз. Как следует из теории погрешностей, при небольшом числе измерений можно ограничиться нахождением средней арифметической абсолютной ошибки измерений и соответствующей ей относительной ошибки. Данные измерений рекомендуется записать в таблицу:

Расчет ρ_ср производится по средним значениям измеряемых величин, т.е. по формуле

Все вычисления необходимо проводить в одной системе единиц: в ед.СИ (кг, м) или в системе СГС (г, см).

Оценим теперь погрешности измерений. В нашем случае проще сначала вычислить относительную ошибку измерений, а затем уже абсолютную. Тогда, пользуясь табл.1, находим

Откуда .

После вычисления ошибок необходимо сопоставить приборные ошибки и расчетную среднюю абсолютную ошибку результата. Результат эксперимента следует записать в виде г/см³.

2. Тело имеет форму цилиндра, диаметр которого равен d, а высота Н. Тогда объем тела равен Измерение линейных размеров цилиндра производится с помощью микрометра, точность которого 0,01 мм. Масса цилиндра определяется на технических весах с точностью 0,01 г. Пусть масса тела определяется один раз, а размеры не менее пяти раз. Для такого количества измерений, как следует из теории погрешностей, целесообразнее вычислить средние квадратичные ошибки измерений σ. Данные измерений записываются в таблицу:

№ п/п	d, мм	|Δ d |, мм	(Δ d)^2, мм	Н, мм	|Δ Н |, мм	(Δ Н)^2, мм	m, г	Δ m, г
Ср

Расчет ρ_ср производится по средним значениям измеряемых величин по формуле

Средние квадратичные ошибки σ_d и σ_Н находятся по формуле (18)(следующим образом). В данном примере, как и в предыдущем, удобнее сначала вычислить относительную ошибку результата. Пользуясь табл.2, находим

Отсюда средняя квадратичная погрешность измерения плотности

Окончательный результат вычисления плотности тела записывается в виде ρ =(ρ _ср± σ_ρ) г/см³.

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Колебательным движением (колебанием) называется процесс, при котором система, многократно отклоняясь от своего состояния равновесия, каждый раз вновь возвращается к нему. Если этот процесс совершается через равные промежутки времени, то колебание называется периодическим.

Несмотря на большое разнообразие колебательных процессов как по физической природе, так и по степени сложности, все они совершаются по некоторым общим закономерностям и могут быть сведены к совокупности простейших периодических колебаний, называемых гармоническими, которые совершаются по закону синуса (или косинуса).

Предположим, что они описываются законом

(1)

Здесь x - смещение (отклонение) колеблющейся системы от положения

равновесия;

А - амплитуда, т.е. максимальное смещение от положения равновесия, - фаза колебаний. Физический смысл фазы в том, что она определяет смещение х в данный момент времени,

φ_о - начальная фаза колебания (при t=0);

t - время колебаний;

ω - круговая частота (или угловая скорость) колебаний. ω связана с

частотой колебания и периодом колебания Т: , (2)

Т - период - время одного полного колебания.

Если в уравнении (1) положить начальную фазу φ_о =0, то график зависимости смещения х от времени или график гармонического колебания будет иметь вид, представленный на рис.1.

Систему, закон движения которой имеет вид (1), называют одномерным классическим гармоническим осциллятором.

Хорошо известным примером гармонического осциллятора является тело (шарик), подвешенное на упругой пружине. По закону Гука при растяжении или сжатии пружины возникает противодействующая сила, пропорциональная растяжению или сжатию х, т.е. тело будет совершать гармонические колебания под действием силы упругости пружины F=-kx. Однако гармонические колебания возникают под действием не только упругих, но и других сил, по природе не упругих, но для которых остается справедливым закон F=-kx. Такие силы получили название квазиупругих.

Как известно, движение системы под действием силы описывается II-м законом Ньютона: ma =F, где a - ускорение колеблющейся системы Для гармонических колебаний F=-kx. Тогда второй закон Ньютона будет иметь вид неполного дифференциального уравнения второго порядка

, (3)

или уравнение движения классического осциллятора, где .

Решением данного уравнения (3) является выражение (1), что нетрудно проверить, дифференцируя дважды (1) по времени и подставляя в уравнение (3). При этом получим, что (4)

Для упрощения записи в дальнейшем можно положить начальную фазу нулю (φ_о=0), тогда уравнение (1) будет иметь вид (1^΄)

Скорость гармонически колеблющегося тела можно найти, дифференцируя по времени уравнение (1^΄):

или . (5)

Видно, что скорость при гармонических колебаниях тоже изменяется по гармоническому закону, но опережает смещение по фазе на (по времени на Т/4).

Ускорение тела при гармонических колебаниях равно: , или

(6)

Сравнение этого выражения (6) с (1) показывает, что ускорение и смещение находятся в противофазе (рис.2). Это означает, что в тот момент, когда смещение достигает наибольшего положительного значения, ускорение достигает наибольшего по величине отрицательного значения, и наоборот.

Кинетическая энергия осциллятора при гармоническом колебании с учетом (4) и (5) имеет вид:

Потенциальная энергия: , а так как "k" связано с собственной частотой колебания осциллятора (), то

Полная энергия гармонического осциллятора в процессе колебаний не меняется. Действительно:

Из последнего выражения видно, что полная механическая энергия осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды и не зависит от времени. Кинетическая и потенциальная энергии изменяются по гармоническому закону, как и , но когда одна из них увеличивается, другая уменьшается. Это означает, что процесс колебаний связан с периодическим переходом энергии из потенциальной в кинетическую и обратно.

Рассмотрим некоторые из классических гармонических осцилляторов.

Математический маятник

Математическим маятником называют систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешен шарик, масса шарика сосредоточена в одной точке (рис.3). В положении равновесия на шарик действуют две силы: сила тяжести P=mg и сила натяжения нити N - равные по величине и направленные в противоположные стороны.

Если маятник отклонить от положения равновесия на небольшой угол α, то он начнет совершать колебания в вертикальной плоскости под действием составляющей силы тяжести P_t, которую называют тангенциальной составляющей (нормальная составляющая силы тяжести P_n будет уравновешиваться силой натяжения нити N).

Из рис.3 видно, что тангенциальная составляющая силы тяжести .

Знак минус показывает, что сила, вызывающая колебательное движение, направлена в сторону уменьшения угла α. Если угол α мал, то синус можно заменить самим углом, тогда .

С другой стороны, из рис.3 видно, что угол α можно записать через длину дуги x и радиус ℓ: α = x/ℓ, т.е. сила, возвращающая маятник в положение равновесия, является квазиупругой: , где - коэффициент квазиупругой силы. Второй закон Ньютона в этом случае будет иметь следующий вид: . (7)

С учетом (4), можно записать, что , откуда . (8)

Период колебаний математического маятника при малых углах отклонения

не зависит от амплитуды колебания и от его массы, а определяется длиной маятника и ускорением свободного падения g.

Физический маятник

Физическим маятником называется абсолютно твердое тело, которое может совершать колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси О, перпендикулярной плоскости рисунка и не проходящей через его центр тяжести.

На рис.4 изображено сечение физического маятника плоскостью, перпендикулярной к его оси вращения О и проходящей через его центр тяжести С.

Запишем в общем виде уравнение движения маятника, т.е. основное уравнение динамики вращательного движения

M = Jβ, (9)

где J - момент инерции маятника относительно горизонтальной оси О, β - угловое ускорение, М - момент внешних сил. В нашем случае момент внешних сил обусловлен действием силы тяжести. Очевидно, что на каждый элемент массы Δ m_i маятника действует сила тяжести Δ m_ig, создающая определенный момент

относительно оси О. Сумма моментов этих сил равна моменту равнодействующей сил тяжести, которая приложена к центру тяжести маятника (точка С).

Докажем, что маятник, выведенный из положения равновесия на малый угол φ, будет совершать гармонические колебания. Для этого равнодействующую сил тяжести P=mg разложим на две составляющие, одна из которых P₂ уравновешивается реакцией опоры, а под действием другой составляющей P₁=Psinφ маятник приходит в движение. Обозначим расстояние от точки подвеса О до центра тяжести С через a. Тогда уравнение движения маятника (9) запишется в виде

Jβ=-P₁·a=-P·a·sinφ. (10)

Знак минус показывает, что сила P₁ направлена к положению равновесия и приводит к уменьшению угла отклонения φ. Так как , а для малых углов φ можно принять sinφ≈φ, то уравнение (10) будет иметь вид:

, или . (11)

Частным решением этого дифференциального уравнения является уравнение

, где . Исходя из полученного выражения для ω, находим выражение для периода колебаний физического маятника

. (12)

Величина называется приведенной длиной физического маятника, это есть длина эквивалентного математического маятника, имеющего тот же период колебаний, что и данный физический маятник.

Физическим маятником также можно воспользоваться для определения ускорения свободного падения.

Любой физический маятник обладает свойством сопряженности, которое заключается в том, что в нем можно найти такие две точки, что при последовательном подвешивании маятника за ту или иную из них, период колебаний его остается одним и тем же. Расстояние между этими точками определяет собой приведенную длину физического маятника.

Разновидностью физического маятника является оборотный маятник, который обладает свойством сопряженности центра качания и точки подвеса. Центром качания называется точка, находящаяся на расстоянии приведенной длины от оси вращения. Приведенная длина всегда больше величины a (см.рис.4), т.е. центр качания всегда лежит ниже центра тяжести. Действительно, по теореме Штейнера момент инерции маятника относительно оси вращения равен J=J_o+ma², где J_o - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр тяжести. Тогда приведенная длина ℓ _пр равна , т.е. >a.

РАБОТА N 2-1