Раздел 1. Статистические методы анализа групповых свойств биологических объектов

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ

по БИОСТАТИТИКЕ

Оглавление

РАЗДЕЛ 1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ГРУППОВЫХ СВОЙСТВ БИОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ.. 3

Практическое занятие 1: Построение и описание гистограмм.. 3

СРСП 1. Вычисление статистических характеристик случайных величин. 9

СРСП 2. Проверка гипотезы о нормальности распределения случайной величины. 15

РАЗДЕЛ 2. ТЕОРИЯ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. 20

Практическое занятие 2.Критерий Стьюдента для анализа биомедицинских данных. Доверительный интервал. 20

Практическое занятие 3.Непараметрические критерии проверки статистических гипотез. 26

СРС 1. Определение минимального объема выборки. 27

РАЗДЕЛ 3. АНАЛИЗ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН.. 28

СРСП 3.Сравнение относительных величин. 28

СРСП 4. Анализ качественных признаков. Таблицы сопряженности. 32

СРС 2. Оценка рисков и шансов. Оценка специфичности, чувствительности и прогностической значимости диагностических тестов. 35

РАЗДЕЛ 4. МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ.. 36

Практическое занятие 4. Линейная корреляция. Ранговый коэффициент корреляции Спирмена. 36

Практическое занятие 5. Метод анализа выживаемости. 39

СРСП 5. Прогнозирование на основе линейной регрессии. 41

СРСП 6: Прогнозирование на основе кривой выживаемости. 44

СРС 3. Прогнозирование на основе среднего абсолютного прироста. 45

РАЗДЕЛ 5. 46

Практическое занятие 6. Дисперсионный анализ. Метод однофакторного дисперсионного анализа. 46

СРСП 7.Анализ научной публикации. 50

ПРИЛОЖЕНИЯ.. 51

Критические значения коэффициента асимметрии As. 51

Критические точки двустороннего t-критерия Стьюдента. 51

Критические значения χ² 53

Критические значения U-критерия Манна-Уитни, α = 0,01. Двусторонний критерий. 54

Критические значения парного Т-критерия Уилкоксона. 55

Таблица критических значений коэффициента корреляции рангов Спирмена. 56

Критические значения F-критерияФишера. 57

Примерный вариант заданий к рубежному контролю.. 60

Формулы подсчета статистических показателей. 62

 

РАЗДЕЛ 1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ГРУППОВЫХ СВОЙСТВ БИОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

 

Практическое занятие 1: Построение и описание гистограмм

Одним из способов представления и анализа случайных величин является построение гистограмм распределения. Гистограмма показывает, как часто встречаются те или иные значения случайной величины, по ней можно качественно оценить функцию плотности распределения.

Рассмотрим правило построения гистограмм на конкретном примере.

Работа с преподавателем.

Задача: Даны значения пульса у 25 испытуемых (объем выборки n=25). Представить выборку в виде таблицы частот и построить гистограмму.

 

 

Необходимо выполнить следующие шаги:

1. Элементы выборки объемом n =25 расположить в ранжированный ряд (по возрастанию или убыванию)

 

2. Вычислить размах R (разность между минимальным и максимальным значением случайной величины):

R=x_max-x_min=

 

3. Разбить вариационный ряд на k непересекающихся интервалов. k вычисляют по формуле Стерднесса, предусматривающей выделение оптимального числа интервалов:

k=1+3.322lg(n) (округлить до целого)

Можно воспользоваться следующими рекомендациями

 

Объем выборки	Число интервалов
25-40	5-6
41-60	6-8
61-100	7-10
101-200	8-12
Более 200	10-15

 

4. Определить длину одного интервала:

b=R/k

 

xmin

xmax

b

1-й инт.

2-й инт.

k-йинт.

5. Определить границы каждого интервала

6. Определить частоты - количество ni элементов выборки, попавших в i-й интервал (элемент, совпадающий с правой границей интервала, относится к последующему интервалу)

Наряду с частотами одновременно подсчитываются также относительные частоты и процент случаев относительно общего объема выборки

Полученные результаты сводятся в таблицу, называемую таблицей частот группированной выборки.

Для нашей задачи результаты группировки представлены в следующей таблице:

 

Номер интервала, i	Границы интервала	Частота, ni	Относительная частота	Процент случаев
	ИТОГО	Σ=	Σ=	Σ=

 

7. Далее строится гистограмма. По оси абсцисс откладываются интервалы, по оси ординат могут откладываться абсолютная частота встречаемости, или относительная частота встречаемости, или же процент относительно общего объема выборки.

В данном случае исследуемый признак – это пульс, который является случайной величиной X (x₁, x₂, x₃ …..x_i…… x_n)

 

Этот график дает нам информацию о законе распределения случайной величины и носит название гистограммы распределения. Он показывает, насколько часто встречаются те или иные значения случайной величины.

По оси ординат могут откладываться

• Абсолютная частота встречаемости

• Процент относительно общего объема выборки

• Относительная частота встречаемости

Огибающая гистограммы дает нам качественное представление о законе распределения случайной величины (иногда просто говорят распределение). Этот закон характеризует вероятность того, что случайная величина примет то или иное значение. Существует множество различных законов распределения. Наиболее распространенным является нормальное распределение – оно имеет симметричный колоколообразный вид.

Какую информацию дает нам этот график.

Самостоятельная работа: Согласно своему вариантудля случайной величины из таблицы данных построить гистограмму распределения. Описать полученные результаты.

 

ВАРИАНТ
Рост, см	Рост, см	Содержание Р в слюне, ммоль\л	Содержание Р в слюне, ммоль\л	Вес, кг	Вес, кг	Объем циркулирующей плазмы, мл\кг	Объем циркулирующей плазмы, мл\кг	Пульс, уд\мин	Пульс, уд\мин	Показатель гематокрита	Показатель гематокрита	Концентрация пролактина в крови (нг/мл)	Содержание андростеронов в моче (мг/сутки)	Концентрация пролактина в крови (нг/мл)
			2,2							0,26	0,48		0,82
		3,7	4,5							0,12	0,1		0,9
		5,5	4,7							0,2	0,22		0,98
		3,1	2,3							0,28	0,16		1,06
		3,9	3,8							0,29	0,41		1,2
		4,5	5,7							0,21	0,23		1,29
		5,7	2,9							0,45	0,14		1,48
			5,9							0,38	0,33		1,42
		3,7	3,1							0,29	0,34		1,4
			6,7							0,24	0,35		1,08
		3,8	4,4							0,27	0,27		1,11
		5,4	4,7							0,18	0,24		1,32
		6,1	3,6							0,23	0,3		1,12
		3,9	6,9							0,3	0,17		1,26
		4,4	5,6							0,32	0,11		0,88
		5,6	3,5							0,18	0,15		1,16
		3,8	6,4							0,42	0,3		1,3
		2,4								0,36	0,28		1,2
		2,5	6,6							0,26	0,4		0,84
		3,6	4,7							0,29	0,23		0,96
		5,6	3,5							0,18	0,15		1,16
		3,8	6,4							0,42	0,3		1,3
		2,4								0,36	0,28		1,2
		2,5	6,6							0,26	0,4		0,84
		3,6	4,7							0,29	0,23		0,96

Задание к ТЕМЕ 1 Опишите приведенную ниже гистограмму с указанием:

· общего количестваобследованных.

· минимального и максимального значения анализируемой величины, (с указанием в скольких процентов случаев)

· наиболее часто и редко встречающегося значения анализируемой величины (с указанием в скольких процентов случаев)

· в каких пределах в основном лежит анализируемая величина.

· дайте качественную оценку функции плотности распределения данной случайной величины (нормальное или отличное от нормального).

В3

В4

В5

В6

В1

В2

В7

В8

В9

В10

В11

В12

Контрольные вопросы

1. Основные задачи биостатистики

2. Какую информацию несет гистограмма

3. Что понимается под термином «распределение»

4. Какая величина откладывается по оси ординат при построении гистограммы

5. Какая величина откладывается по оси абсцисс при построении гистограммы

6. Как определяется число интервалов при построении гистограммы

7. Какими свойствами обладает нормальное распределение

8. В каком случае две совокупности считаются не отличающимися по данному признаку

9. При каких условиях две нормально распределенные совокупности не отличаются по данному признаку.

 

Дидактический блок

Среднее значение () – характеристика положения значений случайной величины на оси измерений

 

Дисперсия (D) – характеристика разброса значений случайной величины относительно среднего значения

 

Стандартное отклонение (среднеквадратичное отклонение) –также является характеристикой разброса, введена для того, чтобы избавиться от квадрата единицы измерения

Коэффициент вариации представляет собой относительную меру разброса, выраженную в процентах. Он вычисляется по формуле:

 

 

Коэффициент вариации:

· используют для сравнения разброса двух и более признаков, имеющих различные единицы измерения.

· он позволяет судить об однородности совокупности:

 17% – абсолютно однородная;

17–33% – достаточно однородная;

35–40% – недостаточно однородная;

40–60% – это говорит о большомразбросе совокупности.

Т.е. считаем выборку однородной при V% ≤ 33%

 

Стандартная ошибка средней. Так как среднее значение, как правило, определяется по ограниченной выборке, а не по генеральной совокупности, то оно отличается от истинной (генеральной) средней, то есть имеет определенную ошибку, называемой стандартнойошибкой средней

Мода (Мо) – наиболее часто встречающееся значение случайной величины. Для того, чтобы определить моду все значения выборки выстраиваются в ранжированный ряд (по возрастанию или по убыванию). Может быть несколько значений моды.

По ранжированному ряду находим и медиану (Ме) – это значение случайной величины, которое делит выборку на две равные части. Если число объектов выборки четное, то медиана равна среднему двух соседних значений.

Нижний квартиль Q₂₅ – это значение случайной величины, ниже которого находится 25% выборки.

В ранжированном ряду нижний квартиль находится под номером, определяемым по формуле:

(округлить до ближайшего)

Верхний квартиль Q₇₅ – это значение случайной величины, выше которого находится 25% выборки.

В ранжированном ряду верхний квартиль находится под номером, определяемым по формуле:

(округлить до ближайшего)

Межквартильный (интерквартильный) размах – это разница ΔQ=Q₇₅-Q₂₅.

50 % данных лежит в пределах от нижнего до верхнего квартилей.

Пример расчета

Анализ роста мальчиков
n =11	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	х8	х9	х10	х11	∑
Рост мальч.
	-10,82	-2,82	8,18	-5,18	-7,18	-3,18	6,82	0,82	-5,18	12,82	-5,18
	117,03	7,94	66,94	26,85	51,58	10,12	46,49	0,67	26,85	164,31	26,85	545,64
=175,18	Dх= 54,56	sх= 7,39	mх= 2,23	V%=4,2%
Ранж. ряд
Мо= 170	Ме= 172	Q25= 170	Q75= 182	Q75- Q25= 12

 

Анализ роста девочек
n =11	y1	y2	y3	y4	y5	y6	y7	y8	y9	y10	y11	∑
Рост девоч.
	-4,30	2,70	-1,30	-2,30	-0,30	-5,30	-0,30	-0,30	3,70	4,70	2,70
	18,49	7,29	1,69	5,29	0,09	28,09	0,09	0,09	13,69	22,09	7,29	104,19
=165,3	Dy= 10,42	sy= 3,23	my= 0,97	V%=2%
Ранж. ряд
Мо= 165	Ме= 165	Q25= 163	Q75= 168	Q75- Q25= 5

Анализ результатов:

1. Мальчики более рослые, чем девочки – об этом свидетельствуют средние значения и положение выборок на числовой оси – выборка девочек расположена левее, т.е. в области меньших значений роста.

 

1. Дисперсия роста мальчиков, больше дисперсии роста девочек. Т.е. разброс значений роста у мальчиков больше, т.е. среди них встречаются низкорослые, среднего роста и высокие. На это указывают также коэффициент вариации и межквартильный размах.

У девочек группа более однородная, т.е. они не сильно различаются по росту.

1. У мальчиков наиболее часто встречается рост 170 см, об этом свидетельствует мода Мо. Половина мальчиков имеет рост меньше 172 см, на это указывает Ме. Т.е. в целом мальчики невысокие.
2. У девочек наиболее часто встречается рост 165 см, об этом свидетельствует мода Мо. Половина девочек имеет рост меньше 165 см, на это указывает Ме. Т.е. в целом девочки также невысокие.

Контрольные вопросы:

Задание к СРСП 2.

Работа с преподавателем

Работа с преподавателем.

Задача. В группе здоровых людей и больных гепатитом было определено содержание белка в сыворотке крови (Таблица 1). Определить, отличаются ли средние значениябелка в двух г енеральных совокупностях, если известно, что белок распределен по нормальному закону и генеральные дисперсии обеих совокупностей равны.

Таблица 1.

X1 (норма)	6,85	6,51	6,9	7,04
X2 (гепатит)	7,28	8,9	6,52	8,15	7,53	8,12

Решение:

Н(0):

Н(1):

 

Вычислим средние значения для двух выборок:

Для следующих вычислений составим таблицу

 

6,85			7,28
6,51			8,9
6,9			6,52
7,04			8,15
			7,53
			8,12

 

Вычислим среднее квадратическое отклонение для выборок:

Найдем стандартные ошибки:

Рассчитаем t-критерий:

 

Определим число степеней свободы в двух группах: f = (n+n₂- 2 )=

Определимпо таблицедвусторонний критерий t_крит для α=0,05

t_крит =

Вывод:

Сведем результаты расчетов в таблицу и представим графически

 

группа	n	(г/л)	s (г/л)	t-выч	t-критич	р-уровень
норма
гепатит

 

Найдем доверительный интервал для разницы средних

 

группа	n	(г/л)		s (г/л)	-95%ДИ	+95%ДИ	р-уровень
норма		6,46
гепатит		7,75

СЛУЧАЙ 2. Выборки зависимы.

Для сравнения двух зависимых выборок или выборок с попарно связанными вариантами проверяют гипотезу о равенстве нулю среднего значения их попарных разностей. Такая задача возникает, когда имеются данные об изменении интересующего признака у каждого пациента. Например, если группа пациентов получала изучаемый метод лечения и у каждого пациента измерялось значение признака до и после лечения. В данном случае предстоит проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю среднего изменения этого признака в результате получения терапии.

При подобных исследованиях все наблюдения можно представить в виде n -пар измерений (например, до и после)

Для каждой пары вычисляется разность d_i, i=1, n

Для полученного ряда вычисляется среднее и среднеквадратичное отклонение , стандартную ошибку средней

 

Критерий Стъюдента определяется по формуле

t_крит находится по таблице для заданного α и числа степеней свободы f=n- 1

 

Если │t_выч │<t_крит то Н(0)

 

Если │t_выч│≥t_крит то Н(1) и делается заключение о наличии статистически значимых различий между средними значениями «до» и «после» на соответствующем уровне значимости.

· Доверительный интервал для разницы генеральных средних двух зависимых групп лежит в пределах

от до

 

где t – критическое значение двустороннего t -критерия Стъюдента для заданного α и (п -1) степеней свободы.

Работа с преподавателем. В группе из 6 больных гипертонией изучалось влияние лекарственного препарата, снижающего артериальное давление. В результате опыта получилось 2 вариационных ряда систолического давления: первый – до приема препарата, второй – после приема:

Таблица 1.

До приема
После приема

 

Определить, изменяется лив генеральной совокупностисистолическое артериальное давление после приема препарата и насколько статистически значимы полученные результаты, если известно,что данные имеют нормальное распределение и две генеральные дисперсии равны?

Для наглядности представим данные в следующей таблице:

Таблица 2.

xki(до приема)	хoi (после приема)	di (разница давлений)
Ср. знач.=	Ср. знач.=	Ср. знач.=

 

Н(0):

Н(1):

 

Для разностей давлений:

Определим t_выч:

Определим по таблице Стьюдента t_крит для α=0,05 и числа степеней свободы f=n-1=

t_крит= (двусторонний критерий).

Вывод:

 

Сведем результаты расчетов в таблицу

 

группа	n	(мм.рт.ст.)	(мм.рт.ст.)	sd (мм.рт.ст.)	t -выч.	t -критич.	р -уровень
до приема
после приема

Определим доверительный интервал для средней разницы двух зависимых групп.

.

группа	n	(мм.рт.ст.)	sd (мм.рт.ст.)	-95%ДИ	+95%ДИ	р -уровень
до приема
после приема

Контрольные вопросы

1. Основные задачи биостатистики

2. Генеральная совокупность и выборка. Какие бывают выборки.

3. Понятие распределения, нормальное распределение и его свойства

4. В каком случае две совокупности считаются не отличающимися по данному признаку

5. При каких условиях две нормально распределенные совокупности не отличаются по данному признаку.

6. Понятие статистических гипотез

7. Как проверяются гипотезы

8. Уровень значимости и достигнутый уровень значимости

9. Виды критериев, как выбрать критерий

10. Какие гипотезы проверяются при помощи критерия Стъюдента

11. Понятие доверительного интервала

12. Интерпретация доверительного интервала

 

Контрольное задание:

СЛУЧАЙ 2. Выборки зависимые

В случае попарно связанных выборок применяется Т-критерий Уилкоксона. При этом:

· Вычисляются попарные разницы значений до и после

· Попарные разницы, кроме нулевых, без учета знака ранжируются в один ряд

· Разницам, кроме нулевых, присваиваются ранги, при чем одинаковым по модулю величинам присваивают одинаковый ранг

· Отдельно вычисляют сумму рангов положительных (Т+) и отрицательных разностей (Т-),

· Меньшую из двух таких сумм без учета знака выбирают в качестве критерия

· Если Т_выч>Т_критто Н(0)

· Если Т_выч≤ Т_критто Н(1)

 

Работа с преподавателем

Стояла задача определить влияет ли препарат «Биоконт» на содержание белка в плазме крови. С этой целью препарат был испытан на десяти кроликах. Результаты эксперимента приведены в таблице.

 

Выдвигаем нулевую гипотезу:

до	2,4	3,7	4,2	2,8	3,3	4,5	3,9	2,7	4,4
после		3,5			4,9	4,4	3,6	2,5		4,1
разница
ранжир
ранги
Т+
Т-

В качестве критерия выбираем меньшее значение Т_выч =

Табличное значение для уровня значимости 0,05 и числа пар наблюдений п = (двусторонний критерий):

Т_крит=

Вывод:

 

	Твыч-Уилкоксона	p-уровень	n
Концентрация белка

Контрольные вопросы

1. Основные задачи биостатистики

2. Генеральная совокупность и выборка. Какие бывают выборки.

3. Понятие распределения, нормальное распределение и его свойства

4. В каком случае две совокупности считаются не отличающимися по данному признаку

5. Понятие статистических гипотез

6. Как проверяются гипотезы

7. Уровень значимости и достигнутый уровень значимости

8. Виды критериев, как выбрать критерий

Контрольное задание:

В контрольных задачах к Практическому занятию 2 проверить гипотезу о принадлежности двух выборок одной генеральной совокупности с использованием непараметрических критериев. Обосновать выбор критерия. Сформулировать нулевую и альтернативную гипотезы. Сделать выводы на уровне значимости a=0,01 или a=0,05

Задание к СРСП 3

1. Сравните относительную частоту встречаемости признака в двух совокупностях, используя критерий Стъюдента.

2. Сформулируйте нулевую и альтернативную гипотезы.

3. Определите доверительный интервал для доли в каждой группе

4. Определите доверительный интервал для разности этих долей.

5. Дайте интерпретацию доверительного интервала.

6. Сделайте выводы на уровне значимости 0,05

7. Результаты сведите в таблицу

группа

n

Число акушерских осложнений

р (%) (+ДИ, -ДИ)

m (%)

разность

нижний предел 95% ДИ

верхний предел 95% ДИ

 

Вариант 1

Исследовалась заболеваемость в сельской и городской местности. Выборочные исследования показали, что в селе из ста жителей обращались к врачу 36 человека, в городе из 100 жителей посетили врача 28 человек. Определить зависит ли обращаемость к врачу от места жительства.

 

Вариант 2.

В случайной выборке из 150 одиноких лиц количество холостых мужчин составило 72, а незамужних женщин –78 человек. На основании этих данных сделайте вывод о теоретической возможности всех незамужних женщин в генеральной совокупности одиноких людей выйти замуж.

 

Вариант 3

Сравнивалась эффективность двух методов лечения и получены следующие данные

	1 вид лечения	2 вид лечения
Вылечились
Не вылечились

 

Отличаются ли по эффективности эти два вида лечения? Сформулируйте нулевую гипотезу. Сделайте вывод на уровне значимости 0,05.

 

Вариант 4

На экзамене по биостатистике билет состоял из вопросов из двух разных разделов. Экзамен сдавало 20 студентов специальности «общая медицина». Оказалось, что из первого раздела попались 22 вопроса, из второго раздела - 18.Соотносятся ли эти данные с предположением, что при проведении экзамена в генеральной совокупности студентов вопросы из обоих разделов попадаются с равной вероятностью. Сформулируйте нулевую гипотезу. Сделайте вывод на уровне значимости 0,05.

Вариант 5

1000 человек классифицировали по признаку дальтонизма. По приведенным ниже данным проверить, есть ли зависимость между наличием дальтонизма и полом человека, при α = 0,05. Сформулируйте нулевую гипотезу.

	Мужчины	Женщины
Дальтоники
Не дальтоники

 

Вариант 6

Во время эпидемии гриппа изучалась эффективность прививок против этого заболевания. Получены следующие результаты:

 

С прививкой	Без прививки
заболели	не заболели	заболели	не заболели

Указывают ли эти результаты на эффективность прививок? Сформулируйте нулевую гипотезу. Принять α = 0,05.

Вариант 7

На предприятии химической промышленности, где работает 1400 человек, заболеваемость составила 37%, в то время как в целом в данном регионе она регистрируется на уровне 23% (в регионе проживает 15000 чел.). Влияют ли условия предприятия на заболеваемость? Сформулируйте нулевую гипотезу. Сделайте вывод на уровне значимости 0,05.

 

Вариант 8

Данные социологического исследования показали, что среди молодежи спортом занимаются 42 человека из 200 опрошенных, среди лиц старшего возраста – 55 из 325 опрошенных. Определите, есть ли зависимость увлеченности спортом от возраста. Сформулируйте нулевую гипотезу. Сделайте вывод на уровне значимости 0,05.

 

Вариант9.

Среди 84 подземных рабочих хронический бронхит регистрируется у четверти, у строителей он диагностирован у трети из 105 обследованных. Определить влияет ли профессия на риск возникновения хронического бронхита. У кого эта вероятность выше? Сформулируйте нулевую гипотезу. Сделайте вывод на уровне значимости 0,05.

 

Вариант 10.

500 человек классифицировали по признаку аллергии к полыни. По приведенным ниже данным проверить, есть ли зависимость между наличием аллергии и полом человека, при α = 0,05.

	Мужчины	Женщины
Есть аллергия
Нет аллергии

Вариант 11

Сравнивалась эффективность двух антибиотиков и получены следующие данные

	1 антибиотик	2 антибиотик
Есть эффект
Нет эффекта

 

Отличаются ли по эффективности эти два антибиотика? Сформулируйте нулевую гипотезу. Сделайте вывод на уровне значимости 0,05.

Вариант 12.

После первого год