По данным из таблицы построить гистограмму распределения, провести эмпирическую кривую распределения, вычислить коэффициенты ассиметрии и эксцесса, проверить гипотезу о нормальности распределения.

 

ВАРИАНТ
	Рост, см	Рост, см	Содержание Р в слюне, ммоль\л	Содержание Р в слюне, ммоль\л	Вес, кг	Вес, кг	Объем циркулирующей плазмы, мл\кг	Объем циркулирующей плазмы, мл\кг	Пульс, уд\мин	Пульс, уд\мин	Показатель гематокрита	Показатель гематокрита	Концентрация пролактина в крови (нг/мл)	Содержание андростеронов в моче (мг/сутки)	Концентрация пролактина в крови (нг/мл)
1.				2,2							0,26	0,48		0,82
2.			3,7	4,5							0,12	0,1		0,9
3.			5,5	4,7							0,2	0,22		0,98
4.			3,1	2,3							0,28	0,16		1,06
5.			3,9	3,8							0,29	0,41		1,2
6.			4,5	5,7							0,21	0,23		1,29
7.			5,7	2,9							0,45	0,14		1,48
8.				5,9							0,38	0,33		1,42
9.			3,7	3,1							0,29	0,34		1,4
10.				6,7							0,24	0,35		1,08
11.			3,8	4,4							0,27	0,27		1,11
12.			5,4	4,7							0,18	0,24		1,32
13.			6,1	3,6							0,23	0,3		1,12
14.			3,9	6,9							0,3	0,17		1,26
15.			4,4	5,6							0,32	0,11		0,88
16.			5,6	3,5							0,18	0,15		1,16
17.			3,8	6,4							0,42	0,3		1,3
18.			2,4								0,36	0,28		1,2
19.			2,5	6,6							0,26	0,4		0,84
20.			3,6	4,7							0,29	0,23		0,96
21.			3,8	4,4							0,27	0,27		1,11
22.			5,4	4,7							0,18	0,24		1,32
23.			6,1	3,6							0,23	0,3		1,12
24.			3,9	6,9							0,3	0,17		1,26
25.			4,4	5,6							0,32	0,11		0,88
26.			5,6	3,5							0,18	0,15		1,16
27.			3,8	6,4							0,42	0,3		1,3
28.			2,4								0,36	0,28		1,2
29.			2,5	6,6							0,26	0,4		0,84
30.			3,6	4,7							0,29	0,23		0,96

Алгоритм подбора критериев при сравнении двух выборок

признак

количественный

ординальный

номинальный

Распределение нормальное

Распределение не соответствует нормальному или неизвестно

выборки

независимые

зависимые

Критерий Стъюдента для независимых выборок

Критерий Стъюдента для зависимых выборок

независимые

зависимые

выборки

Критерий Манна-Уитни

Критерий Уилкоксона

Сравнение долей по критерию Стъюдента

Таблица сопряженности

Хи-квадрат Пирсона для независимых выборок

Хи-квадрат Макнимара для зависимых выборок

РАЗДЕЛ 2. ТЕОРИЯ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

 

Практическое занятие 2.Критерий Стьюдента для анализа биомедицинских данных. Доверительный интервал

Наиболее распространенным параметрическим критерием оценки различий между сравниваемыми генеральнымисредними значениями является критерий Стьюдента, или t-критерий. Нулевая гипотеза заключается в равенстве генеральных средних или, другими словами, проверяется нулевая гипотеза о принадлежности двух сравниваемых выборок одной и той же генеральной совокупности.

 

Работа с преподавателем

СЛУЧАЙ 1. Выборки независимы.

Проверяемый t-критерий вычисляется по формуле

 

где m₁, m₂ — стандартные ошибки средних значений сравниваемых выборок.

 

t_крит находится по таблице для заданного α и числа степеней свободы

f =n₁ + n₂ – 2

 

Если │t_выч │<t_крит то Н(0)

 

Если │t_выч│≥t_крит то Н(1) и делается заключение о наличии статистически значимых различий между генеральными средними значениями на соответствующем уровне значимости.

 

· Доверительный интервал генеральной средней

Генеральное среднее значение с вероятностью 95% лежит в пределах

 

от до ,

где t – табличное значение критерия Стъюдента для α =0,05 и f=n-1

 

· Доверительный интервал для разницы генеральных средних двух независимых групп

Чтобы найти доверительный интервал для генеральной разности сначала надо вычислить объединенное среднеквадратичное отклонение:

 

Тогда доверительный интервал составляет

от до

 

где t – критическое значение двустороннего t -критерия Стъюдента для заданного α и f= (п₁+п₂ - 2) степеней свободы.

 

Работа с преподавателем.

Задача. В группе здоровых людей и больных гепатитом было определено содержание белка в сыворотке крови (Таблица 1). Определить, отличаются ли средние значениябелка в двух г енеральных совокупностях, если известно, что белок распределен по нормальному закону и генеральные дисперсии обеих совокупностей равны.

Таблица 1.

X1 (норма)	6,85	6,51	6,9	7,04
X2 (гепатит)	7,28	8,9	6,52	8,15	7,53	8,12

Решение:

Н(0):

Н(1):

 

Вычислим средние значения для двух выборок:

Для следующих вычислений составим таблицу

 

6,85			7,28
6,51			8,9
6,9			6,52
7,04			8,15
			7,53
			8,12

 

Вычислим среднее квадратическое отклонение для выборок:

Найдем стандартные ошибки:

Рассчитаем t-критерий:

 

Определим число степеней свободы в двух группах: f = (n+n₂- 2 )=

Определимпо таблицедвусторонний критерий t_крит для α=0,05

t_крит =

Вывод:

Сведем результаты расчетов в таблицу и представим графически

 

группа	n	(г/л)	s (г/л)	t-выч	t-критич	р-уровень
норма
гепатит

 

Найдем доверительный интервал для разницы средних

 

группа	n	(г/л)		s (г/л)	-95%ДИ	+95%ДИ	р-уровень
норма		6,46
гепатит		7,75

СЛУЧАЙ 2. Выборки зависимы.

Для сравнения двух зависимых выборок или выборок с попарно связанными вариантами проверяют гипотезу о равенстве нулю среднего значения их попарных разностей. Такая задача возникает, когда имеются данные об изменении интересующего признака у каждого пациента. Например, если группа пациентов получала изучаемый метод лечения и у каждого пациента измерялось значение признака до и после лечения. В данном случае предстоит проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю среднего изменения этого признака в результате получения терапии.

При подобных исследованиях все наблюдения можно представить в виде n -пар измерений (например, до и после)

Для каждой пары вычисляется разность d_i, i=1, n

Для полученного ряда вычисляется среднее и среднеквадратичное отклонение , стандартную ошибку средней

 

Критерий Стъюдента определяется по формуле

t_крит находится по таблице для заданного α и числа степеней свободы f=n- 1

 

Если │t_выч │<t_крит то Н(0)

 

Если │t_выч│≥t_крит то Н(1) и делается заключение о наличии статистически значимых различий между средними значениями «до» и «после» на соответствующем уровне значимости.

· Доверительный интервал для разницы генеральных средних двух зависимых групп лежит в пределах

от до

 

где t – критическое значение двустороннего t -критерия Стъюдента для заданного α и (п -1) степеней свободы.

Работа с преподавателем. В группе из 6 больных гипертонией изучалось влияние лекарственного препарата, снижающего артериальное давление. В результате опыта получилось 2 вариационных ряда систолического давления: первый – до приема препарата, второй – после приема:

Таблица 1.

До приема
После приема

 

Определить, изменяется лив генеральной совокупностисистолическое артериальное давление после приема препарата и насколько статистически значимы полученные результаты, если известно,что данные имеют нормальное распределение и две генеральные дисперсии равны?

Для наглядности представим данные в следующей таблице:

Таблица 2.

xki(до приема)	хoi (после приема)	di (разница давлений)
Ср. знач.=	Ср. знач.=	Ср. знач.=

 

Н(0):

Н(1):

 

Для разностей давлений:

Определим t_выч:

Определим по таблице Стьюдента t_крит для α=0,05 и числа степеней свободы f=n-1=

t_крит= (двусторонний критерий).

Вывод:

 

Сведем результаты расчетов в таблицу

 

группа	n	(мм.рт.ст.)	(мм.рт.ст.)	sd (мм.рт.ст.)	t -выч.	t -критич.	р -уровень
до приема
после приема

Определим доверительный интервал для средней разницы двух зависимых групп.

.

группа	n	(мм.рт.ст.)	sd (мм.рт.ст.)	-95%ДИ	+95%ДИ	р -уровень
до приема
после приема

Контрольные вопросы

1. Основные задачи биостатистики

2. Генеральная совокупность и выборка. Какие бывают выборки.

3. Понятие распределения, нормальное распределение и его свойства

4. В каком случае две совокупности считаются не отличающимися по данному признаку

5. При каких условиях две нормально распределенные совокупности не отличаются по данному признаку.

6. Понятие статистических гипотез

7. Как проверяются гипотезы

8. Уровень значимости и достигнутый уровень значимости

9. Виды критериев, как выбрать критерий

10. Какие гипотезы проверяются при помощи критерия Стъюдента

11. Понятие доверительного интервала

12. Интерпретация доверительного интервала

 

Контрольное задание: