Тема №3. «Абсолютные, относительные и средние величины»

Практическое занятие №1.

Контрольные вопросы

1. Дайте понятие абсолютной величины и назовите особенности абсолютных величин как статистических показателей.

2. Назовите единицы измерения абсолютных статистических показателей.

3. Почему абсолютные статистические показатели не могут всесторонне характеризовать социально - экономические процессы и явления?

4. Дайте понятие относительного статистического показателя и сформулируйте основное условие правильного расчета относительной величины.

5. Назовите основные виды относительных величин.

Решение типовых задач

Пример 2.1. В базисном периоде фирма продала 200 автомобилей. По плану на текущий период намечалось продать 210 автомобилей. Фактически в текущем периоде было продано 215 автомобилей. Определите относительные показатели плана, выполнения плана и динамики. Покажите связь между найденными показателями.

Решение:

Согласно условию имеем: базисное значение показателя – 200 автомобилей; планируемое значение показателя – 210 автомобилей; текущее значение показателя – 215 автомобилей; Вычисляем:

Относительный показатель плана, используя формулу:

или

Относительный показатель выполнения (реализации) плана вычисляем по формуле:

или

Для вычисления относительного показателя динамики используем формулу:

или

Для проверки решения задачи используем формулу связи между относительными показателями плана, реализации плана и динамики:

Проверка: , т.е. получили численное значение относительного показателя динамики.

Ответ: 1) , т.е. фирма планировала увеличить объем продаж автомобилей на 5% (105%-100%)

2) , т.е. фирма продала автомобилей на 2,4% больше планируемого

3) , т.е. объем продаж автомобилей увеличился в текущем периоде на 7,5% по сравнению с базисным периодом.

Пример 2.2. Планировалось повысить успеваемость по статистике на 20%. План был перевыполнен на 4%. Определите относительный показатель динамики.

Решение:

Согласно условию задачи имеем:

Относительный показатель плана равен или 1,2

Относительный показатель реализации плана составил или 1,04

Между относительными показателями плана, реализации плана и динамики существует следующая взаимосвязь:

Поэтому относительный показатель динамики равен: или 124,8%

Ответ: успеваемость по статистике повысилась на 24,8% в текущем периоде по сравнению с базисным.

Пример 2.3. Имеются следующие данные о составе работающей молодежи по полу, возрасту и месту проживания:

Показатель	Число занятых, тыс. чел.	Из них в возрасте, лет
15 – 19	20 – 24	25 – 29
Всего занято в экономике:
городское население
сельское население
мужчины
женщины

Определите: 1) структуру работающей молодежи по полу 2) относительные показатели координации по полу. Сделайте анализ полученных результатов.

Решение

Для ответа на вопросы задачи оставим в таблице данных только первую и две последние строки:

Показатель	Число занятых, тыс. чел.	Из них в возрасте, лет
15 – 19	20 – 24	25 – 29
Всего занято в экономике:
мужчины
женщины

1) Относительный показатель структуры (ОПС) характеризует состав изучаемых совокупностей, т.е. показывает долю отдельных частей в общем объеме совокупности и вычисляется по формуле:

В данном случае показателем по всей совокупности в целом является показатель «всего занято в экономике».

Решение задачи оформим в таблице:

 

Показатель	ОПС, %
в целом	Из них в возрасте, лет
16 – 19	21 – 24	26 – 29
Всего занято в экономике:
мужчины	50,90714094	61,24214	54,85391	53,08286
женщины	49,09285906	38,75786	45,14609	46,91714
Итого:

ОПС в данном случае выразили в процентах. Полученные результаты представляют собой удельные веса.

2) Относительные показатели координации (ОПК) характеризуют соотношение отдельных частей целого между собой (и применяются для сравнения различных частей совокупности между собой):

. В качестве базы сравнения выберем число женщин, занятых в экономике, или удельный вес женщин, занятых в экономике. Результаты вычислений оформим в таблице:

 

	в целом	Из них в возрасте, лет
16 – 19	21 – 24	26 – 29
ОПК	1,036956	1,580122	1,215031	1,131417

Ответ: 1) удельный вес мужчин, занятых в экономике, выше удельного веса женщин, занятых в экономике. Наибольший удельный вес мужчин, занятых в экономике, имеет категория мужчин в возрасте 16-19 лет и составляет 61,24%.

2) ОПК показывает, что на 1 женщину, занятую в экономике приходится 1,58 мужчин в возрасте 16-19 лет (или на 100 женщин приходится 158 мужчин) и т.д.

 

Задачи для самостоятельного решения

2.1. На основе приведенных ниже данных о составе экономически активного населения Российской Федерации рассчитайте все возможные относительные показатели динамики.

Численность экономически активного населения, тыс. чел.

Показатель
Экономически активное население – всего
мужчины
женщины
в том числе:
занятые в экономике – всего
мужчины
женщины
безработные – всего
мужчины
женщины
Безработные, зарегистрированные в органах государственной службы занятости, – всего
мужчины
женщины
из них безработные, которым назначено пособие по безработице, – всего
мужчины
женщины

2.2. В базисном периоде затраты на производство продукции составляли 1200 тыс. руб. В текущем периоде они достигли 1050 тыс. руб. при плане 1110 тыс. руб. Определите относительные показатели плана, выполнения плана и динамики. Проверьте правильность решения, используя связь между показателями.

 

2.3. Объем производства конфет «Наташа» планировалось увеличить в 1,15 раза. Фактически объем производства этих конфет увеличился по сравнению с базисным периодом на 17,5%. Определите относительный показатель выполнения плана.

 

2.4. Производительность труда в цехе по сравнению с базисным периодом увеличилась на 5%, а по сравнению с планом на 3,5%. Определите относительный показатель плана.

 

2.5. Планировалось повысить успеваемость по статистике на 20%. План был перевыполнен на 4%. Определите относительный показатель динамики.

 

2.6. Имеются следующие данные о составе работающей молодежи по полу, возрасту и месту проживания:

Показатель	Число занятых, тыс. чел.	Из них в возрасте, лет
15 – 19	20 – 24	25 – 29
Всего занято в экономике:
городское население
сельское население
мужчины
женщины

Определите: 1) структуру работающей молодежи по возрасту и месту проживания; 2) структуру работающей молодежи в городах по возрасту; 3) структуру занятых мужчин и женщин по возрасту; 4) относительные показатели координации по возрасту и месту проживания работающей молодежи; 5) относительные показатели координации по месту проживания лиц в возрасте 20–24 года. Сделайте анализ полученных результатов.

 

2.7. По имеющимся данным проведите анализ изменения обеспеченности населения РФ врачами. Как называются относительные величины, характеризующие эту обеспеченность?

	1990 г.	2001 г.
Терапевты, тыс. чел.	169,7	157,7
Офтальмологи, тыс. чел.	15,1	15,5
Численность населения, млн. чел.	147,0	144,8

 

2.8. Имеются следующие данные о составе работающей молодежи по полу, возрасту и месту проживания:

Показатель	Число занятых, тыс. чел.	Из них в возрасте, лет
15 – 19	20 – 24	25 – 29
Всего занято в экономике:
городское население
сельское население
мужчины
женщины

Рассчитайте все возможные относительные показатели сравнения.

Практическое занятие № 2.

Контрольные вопросы

1. Назовите основные требования к расчету средних величин.

2. Какие виды средних вы знаете? В каких случаях они используются?

3. Приведите формулы расчета средних различных видов сложных величин.

4. Какие виды структурных средних вы знаете? В каких случаях они используются?

5. Приведите формулы расчета структурных средних для интервального ряда.

6. Сформулируйте свойство мажорантности средних.

 

Решение типовых задач

Пример 3.1. Имеются следующие данные о деятельности группы предприятий некоторой отрасли:

Затраты на 1 руб. произведённой продукции, коп.	Число предприятий	Произведённая продукция по группе предприятий, млн. руб.	Объём продукции в расчёте на одного работника, тыс. руб.
до 60			37,5
60 – 65			32,5
65 – 70			35,1
70 – 75			35,0
75 и выше			33,3
Итого:

Определите в целом по всей совокупности предприятий отрасли: 1) средний объем продукции в расчете на одного работника, 2) средний размер произведенной продукции в расчете на одно предприятие, 3) средний уровень затрат в расчете на один рубль произведенной продукции. Постройте гистограмму распределения затрат на 1 руб. произведённой продукции по данной группе предприятий.

Решение:

1) Для ответа на 1-й вопрос задачи воспользуемся информацией, представленной в 4-ом столбце таблицы. Для определения среднего объема продукции в расчете на одного работника по данной совокупности (обозначим этот показатель как ) воспользуемся формулой средней арифметической простой:

, где – число групп предприятий в данной совокупности.

Итак, получаем:

2) Для ответа на 2-й вопрос задачи воспользуемся информацией, представленной в 3-ем столбце таблицы.

Для определения среднего размера произведенной продукции в расчете на одно предприятие по данной совокупности (обозначим этот показатель как ) воспользуемся формулой средней арифметической простой:

, здесь – число предприятий в группе. Итак, получаем:

3) Для ответа на 3-й вопрос задачи воспользуемся информацией, представленной в 1-ом и 2-ом столбцах таблицы.

Средняя арифметическая может рассчитываться как по данным дискретных (первый и второй случай данной задачи), так и интервальных вариационных рядов, когда значение варьирующего признака представлены в виде интервалов (от и до) как в данном случае.

Для вычисления средней величины в данном случае надо для каждого интервала найти серединное значение , которое определяется как полусумма значений нижней и верхней границ. В открытых интервалах предполагается, что величина открытого интервала равна величине соседнего интервала.

После того, как определено серединное значение интервала, производится расчет средней арифметической взвешенной по формуле: Все вычисления выполним в таблице:

Затраты на 1 руб. произведённой продукции, коп.	Число предприятий,	Середина интервала, , коп.
55 - 60		57,5
60 - 65		62,5	687,5
65 - 70		67,5
70 - 75		72,5
75 - 80		77,5	387,5
Итого:		–

Получаем, что средний уровень затрат в расчете на один рубль произведенной продукции равен:

4) Построим гистограмму распределения затрат на 1 руб. произведённой продукции по данной группе предприятий.

Пример 3.1. Имеются следующие данные о распределении вкладов по их размеру:

Размер вклада, руб.	Число вкладов, % к итогу
до 2000
2000 – 4000
4000 – 6000
6000 – 8000
8000 – 10000
10000 – 12000
12000 и более
Итого:

Определите: 1) модальный размер вклада; 2) медианный размер вклада.

Решение:

1) Мода - это величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности.

Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:

где - начальное значение интервала, содержащего моду; - величина модального интервала; - частота модального интервала; – частота интервала, предшествующего модальному; - частота интервала, следующего за модальным.

Модальным интервалом называется интервал с наибольшей частотой. Анализ условия показывает, что модальным является 6-й интервал, для которого , здесь – число всех вкладов, – число вкладов в данной группе. Заметим, что в формуле для вычисления моды можно заменить веса удельными весами , т.е. формула будет иметь вид:

Итак, имеем:

- начальное значение интервала, содержащего моду;

- ширина модального интервала;

- удельный вес модального интервала;

- удельный вес интервала, предшествующего модальному;

- удельный вес интервала, следующего за модальным..

Далее вычисляем:

, т.е. большая часть вкладов имеет размер порядка 11790 руб.

2) Медиана - это варианта, расположенная в середине упорядоченного вариационного ряда.

Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле

где — начальное значение интервала, содержащего медиану; — величина медианного интервала; — сумма частот ряда; — сумма (кумулята) накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

— частота медианного интервала.

Медианным интервалом будет являться интервал, кумулята частот которого будет равна или превышать половину суммы частот.

Для данной задачи формула будет иметь вид:

Для нахождения медианного интервала в таблице-условии добавим столбец «Кумулята удельных весов» и заполним его. Таблица примет вид:

Размер вклада, руб.	Число вкладов, % к итогу,	Кумулята удельных весов,
до 2000
2000 – 4000
4000 – 6000
6000 – 8000
8000 – 10000
10000 – 12000
12000 и более
Итого:		–

Далее находим:

– начальное значение интервала, содержащего медиану; – величина медианного интервала; – сумма удельных весов ряда; — сумма (кумулята) накопленных удельных весов, предшествующих медианному интервалу; — удельный вес медианного интервала.

Вычисляем: , т.е. 50% вкладов имеет размер менее 10750руб., а 50% вкладов – более 10750 руб.

 

Задачи для самостоятельного решения

3.1. Имеется ряд распределения:

Тарифный разряд рабочих
Число рабочих

1) Рассчитайте средний тарифный разряд рабочих с точностью целых.

2) Определите моду и медиану распределения

3) Постройте кумуляту распределения.

 

3.2. Имеются следующие данные о числе договоров страхования, заключенных агентами фирмы за отчетный период:

Порядковый номер страхового агента	Число заключенных договоров	Порядковый номер страхового агента	Число заключенных договоров

Постройте дискретный вариационный ряд распределения и определите среднее число заключенных договоров страхования одним страховым агентом, моду и медиану.

 

3.3. Имеются следующие данные за смену о затратах времени на обработку деталей рабочими цеха:

Затраты времени на обработку одной детали, мин.	Численность рабочих
Итого:

 

Определите среднее количество времени, затрачиваемое одним рабочим на обработку детали.

3.4. Производство электроэнергии характеризуется следующими данными, млрд. кВт:

Год
Производство электроэнергии	827,2	846,2	877,8	891,3	891,3	918,2

Определите средний уровень производства электроэнергии за 1998–2005 гг.

3.5. Имеются следующие данные по региону:

Уровень среднедушевого денежного дохода в месяц, руб.	Число городов	Потребление мяса на душу населения в год, кг	Средний размер семьи, чел.	Среднее число семей в городе, тыс. семей
до 2000			3,4
2000 – 2800			2,1
2800 – 3600			2,8
3600 и выше			2,5

Определите по региону в целом: 1) среднедушевой доход; 2) среднее потребление мяса на душу населения; 3) средний размер семьи; 4) среднее число семей в городе; 5) медианное значение среднедушевого дохода; 6) модальное значение среднедушевого дохода.