Гидростатика. Силы действующие в жидкости. Гидростатическое давление в точке и его свойства.

Гидростатика изучает законы равновесия жидкости и практическое применение этих законов в технике.

Силы, действующие в жидкостях: внешние и внутренние.

Внутренние силы – это силы взаимодействия между отдельными частицами жидкости.

Внешние силы – это силы, приложенные к частицам рассматриваемого объема жидкости со стороны среды, окружающей этот объем.

Внешние силы подразделяют на две группы: массовые, поверхностные.

Вследствие текучести (подвижности частиц) на жидкость действуют силы не сосредоточенные, а непрерывно распределенные по ее объему (массе) или поверхности.

Массовые силы в соответствии со вторым законом Ньютона пропорциональны массе жидкости или для однородной жидкости - ее объему. К ним относятся сила тяжести (вес) и сила инерции

где G- сила тяжести (вес) жидкости;m- масса жидкости;g- ускорение силы тяжести;

объем жидкости;плотность жидкости; гамма-удельный вес жидкости;Fин- сила инерции; а- ускорение движения.

Здесь следует напомнить, что масса является мерой инертности материального тела, в том числе и жидкости.

Силы инерции, действующие в жидкостях, так же как и для твердых тел, могут проецироваться на оси координат трехмерного пространства

где - проекции силы инерции на оси координат; ,а - проекции ускорения на оси.

Гидростатическое давление в точке не зависит от на­прав­ления, т.е. остается одинаковым по всем направлениям.

y

x

z

dPn

dPy

dPz

dPx

dy

dz

dx

N

N

C

B

D

A

Докажем, что р_х = р_у = р_z = р_n, где р_х, р_y, р_z, р_n – представляют собой гидростатическое давление соответственно в направлении ко­ор­динатных осей ox, oy, oz и в некотором произвольном на­прав­ле­нии N-N (рис. 2.2).

 

 

Рис. 2.2

Выделим внутри массы жидкости, находящейся в равновесии, малый объем в форме тетраэдра с ребрами dx, dy, dz, со­ответ­ст­венно параллельными координатным осям, и с массой

dm = ,

где r – плотность жидкости.

Представим, что жидкость внутри тетраэдра – в виде твердого тела. Это не изменяет условий равновесия.

Воспользуемся известными уравнениями статики твердого тела, а именно уравнениями проекций сил и уравнениями моментов:

(2.3)

Учитывая, что при стягивании тетраэдра в точку, уравнения мо­мен­тов такой системы удовлетворяются тождественно, а действую­щие на не­го силы сводятся к системе сил, проходящих через одну и ту же точку.

(2.4)

К действующим силам относятся поверхностные и массовые (объемные) силы.

К поверхностным силам относятся силы давления жидкости, окружающей элементарный тетраэдр.

Таких сил будет четыре (по числу граней).

На грань АВС действует сила

, (2.5)

где рх – среднее гидростатическое давление для треугольника АВС с площадью .

Сила dP_x параллельна оси ox, направлена в противоположную сто­рону оси и, следовательно, войдет в уравнение со знаком «плюс».

Силы dP_y и dP_z,действующие на грани ABD и ACD, соот­вет­ст­вен­­но параллельны осям oy и oz и их проекции на ось ox равны ну­лю.

Четвертая сила dP_n – сила давления на грань ВСD равна:

, (2.6)

где рn – среднее гидростатическое давление для грани BCD;

d w – площадь этой грани.

Проекция этой силы на ось ox:

 

. (2.7)

Эта сила направлена в отрицательную сторону оси ox.

Произведение d wcos(N,ox) представляет собой проекцию пло­ща­ди треугольника BCD на плоскость уoz и равно:

. (2.8)

Тогда проекция силы dP_n на ось ox численно равна:

. (2.9)

Аналогично можно записать проекции силы dP_n на оси oy и oz:

(2.10)

Массовые силы, действующие на тетраэдр, приводятся к рав­нодействующей dR, образующей с координатными осями углы a, b, g и равной:

, (2.11)

где dm –масса тетраэдра, равная:

,

где r –плотность жидкости;

dxdydz – объем тетраэдра;

j – ускорение объемной силы (в частном случае ускорение свободного падения).

Обозначим проекции ускорения j по координатным осям x, y, z, т.е. примем, что

Тогда проекции объемной силы dR равны:

(2.12)

Запишем сумму проекций всех сил на ось ox с учетом уравнений (2.12):

. (2.13)

Или после сокращения на dydz:

.

Пренебрегая dxX как бесконечно малым относительно p_x и p_n, получаем p_x – p_n = 0 или p_x = p_n.

Аналогично p_y = p_n и p_z = p_n.

Следовательно,

p_x = p_y = p_z = p_n. (2.14)

Что и надо было доказать.

Таким образом, гидростатическое давление в точке по любому на­правлению оказывается одинаковым, т.е. не зависит от направ­ле­ния действия.

Поверхностную силу, действующую нормально к какой-либо площадке, называют силой давления

P

P

Dw

w

a

a

I

I

S

Рассмотрим произвольный объем жидкости W (рис. 2.1), на­ходя­щейся в равновесии под действием внешних сил P и ограни­чен­ной поверхностью S.

Рис. 2.1.

Проведем секущую плоскость а-а, делящую объем W на две час­ти 1 и 2. Отбросим часть 1 и заменим распределенными по площади w силами D р _i, одна из которых D р приходится на долю площади Dw.

Напряжение сжатия s_с, возникающее при этом, определяется как частное от деления силы D р на площадь D:

. (2.1)

Напряжение s_с принято называть средним гидростатическим дав­лением; предел отношения при Dw ® 0 называется гидро­ста­ти­ческим давлением в точке:

. (2.2)

Единица измерения давления Па.