Постановка задачи оптимизации сетевых графиков

По стоимости

В рассмотренных методах анализа и расчёта сетевых графиков предполагалось, что продолжительность работ является заранее определённой неизменной величиной. В действительности дело может обстоять иначе. Если увеличить количество трудовых ресурсов, материалов, оборудования, выделяемых для выполнения некоторой работы, то она может быть выполнена и в более короткие сроки. Однако увеличение затрат на трудовые и прочие ресурсы приводит к увеличению стоимости выполнения работ, следовательно, продолжительность работы и её стоимость находятся в обратной пропорциональной зависимости. Для работ сетевого графика введём в рассмотрение две оценки их продолжительности:

– нормальная t ^н _ij, т.е. такая продолжительность работы, которая может быть достигнута при условии своевременного обеспечения ресурсами в соответствии с заранее установленными нормами (нормальная продолжительность представляет собой максимально возможную в данных условиях продолжительность работы);

– минимальная t^m_ij – это продолжительность (меньше нормальной), которая может быть достигнута при увеличении количества выделенных средств и ресурсов сверх установленных норм.

Очевидно, если все работы сетевого графика будут выполняться с нормальной продолжительностью, то общая продолжительность всего комплекса работ будет максимальной, а стоимость минимальной. Если же за счёт увеличения выделенных средств и ресурсов будет обеспечено сокращение продолжительности работ до минимального значения, то достигнет минимума и продолжительность всего комплекса работ при максимальной его стоимости.

Характерный вид зависимости стоимости выполнения работы от её продолжительности представлен на рис. 3.9. Из рисунка видно, что зависимость имеет нелинейный характер и может быть представлена параболической функцией. Эта зависимость неудобна при использовании методов математического программирования для оптимизации сетевых графиков и поэтому, допуская определённую погрешность, её заменяют прямолинейной зависимостью.

Рис. 3.9. Зависимость стоимости выполнения работы от её

Продолжительности

 

Прямолинейная аппроксимация позволяет достаточно просто выразить связь между продолжительностью работы t_ij и её стоимостью С:

С (t_ij) = С^н_ij + (C^m_ij – C н ij)/(t ^н _ij – t^m_ij) * (t ^н _ij – t_ij),

где С^н_ij, C^m_ij –стоимость выполнения работы соответственно при её нормальной и минимальной продолжительности.

Обозначим – коэффициент стоимости выполнения работы (i,j); он определяет, на сколько единиц увеличивается стоимость работы при уменьшении ее продолжительности на единицу времени.

С учетом принятого обозначения

.

Стоимость выполнения работы в зависимости от ее продолжительности можно выразить также через оценки работы при минимальной продолжительности

.

Определив для всех работ сетевого графика уравнения, связывающие стоимость работ и их продолжительность, можно сформулировать задачу оптимизации сетевого графика по стоимости и продолжительности. При этом следует учитывать, что для получения минимальной продолжительности выполнения всего комплекса работ нет необходимости ускорять все работы, поскольку уменьшение продолжительности работ, не принадлежащих критическому пути, увеличивает общую стоимость всех работ, но не сокращает продолжительность критического пути. С другой стороны, при директивно заданной продолжительности всего комплекса работ невозможно продлить все работы с целью минимизации стоимости проекта, так как в этом случае могут возникнуть на сетевом графике пути, длина которых больше длины критического.

Таким образом, задача оптимизации продолжительности работ сетевого графика с учетом стоимости их выполнения может быть сформулирована в следующих двух вариантах:

1. Все работы сетевого графика имеют нормальную продолжительность, в результате чего общая стоимость всего комплекса работ минимальна. Требуется ускорить выполнение всего комплекса работ до директивного срока таким образом, чтобы общая их стоимость увеличилась минимально.

2. Все работы сетевого графика и критический путь имеют минимальную продолжительность, общая стоимость работ максимальна, продолжительность критического пути совпадает с директивным сроком. Требуется так увеличить продолжительность работ, не изменяя продолжительности критического пути, чтобы были минимизированы суммарные затраты на выполнение всего комплекса работ.