Временные параметры работ сетевого графика

Шифр работы (i,j)	tij	t рн(i,j)	t ро(i,j)	t пн(i,j)	t по(i,j)	R П(i,j)	R 1(i,j)	R с(i,j)	R н(i,j)

 

Резервами времени располагают не только события, но и пути (кроме критического), а также работы, лежащие на некритическом пути. Для определения полного резерва времени пути R(L_i) следует опять вернуться к тому условию, что длина критического пути в сетевом графике больше, чем длина любого другого пути. Разница между временем критического пути t(L _кр ) и временем любого пути t(L_i) называется полным резервом времени пути –

R(L_i) = t(L _кр ) – t(L _i ).

Полный резерв пути показывает, на сколько могут быть увеличены продолжительности всех работ, принадлежащих пути L_i, в сумме (предельное допустимое увеличение продолжительности пути).

Существует четыре разновидности резервов времени работ.

1. Полный резерв времени работы – это максимальное количество времени, на которое можно увеличить продолжительность дан­ной работы, не изменяя при этом продолжительность критиче­ского пути.

Полный резерв времени работы рассчитывается по формуле:

R_П (i,j) = Т _{п j} – Т _{р j} – t_ij,

где i – начальное событие данной работы;

j – конечное событие данной работы;

t_ij – продолжительность работы от i -го до j -го события.

2. Частный резерв времени первого вида R ₁(i,j) работы (i,j) есть часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом позднего срока её начального события. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что её начальное и конечное событие свершаются в свои самые поздние сроки. Поэтому R₁(i,j) вычисляется по формуле:

R ₁ (i,j) = Т _{п j} – Т _{п i} – t_ij = R _П (i,j) – R_i,

3. Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв времени R _с (i,j) работы (i,j) представляет часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока её конечного события. Этим резервом можно располагать при выполнении работы (i,j) в предположении, что её начальное и конечное событие события свершаются в свои самые ранние сроки:

R _с(i,j)= Т _{р j} – Т _{р i} – t_ij = R _П (i,j) – R_j,

4. Независимый резерв времени R _н(i,j) работы (i,j) – это часть полного резерва времени, соответствующая случаю, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начинаются в ранние сроки:

R _н(i,j)= Т _{р j} – Т _{п i} – t_ij = R _П (i,j) – R_i – R_j.

Если на критическом пути лежит начальное событие i, то R _П(i,j) = R ₁(i,j). Если на критическом пути лежит конечное событие j, то R _П(i,j) = R _с (i,j).

Если для данной работы R _П(i,j) = R ₁(i,j) = R _С(i,j) = R _Н(i,j), то данная работа лежит на критическом пути.

 

Пример. Проект включает в себя следующие работы (табл.3.3). Построить сетевой график выполнения комплекса работ. Рассчитать временные параметры событий и работ.

Таблица 3.3

Параметры сетевого графика

Работа	Предшествующие работы	Продолжительность (дни)
а1	-
а2	-
а3	а1
а4	а1, а2
а5	а4
а6	а4
а7	а3, а5

 

Решение:

Исходное событие (1) означает момент начала выполнения проекта (рис.3.6). Работам а₁ и а₂ не предшествуют никакие работы, следовательно, на графике они изображены векторами, выходящими из исходного события. Работе а₃ предшествует работа а₁ , поэтому на графике дуга а₃ непосредственно следует за дугой а₁ . Событие (2) означает момент окончания работы а₁ и начала работ, которым она предшествует. Работе а₄ предшествуют работы а₁ и а₂. На графике эта зависимость отражена с помощью введения фиктивной работы (2,3). Моментом свершения события (3) будет момент, к которому будут выполнены работы а₁ и а₂ и может начинаться работа а₄. Аналогично с учётом взаимосвязей изображаются на графике (рис. 3.6) все оставшиеся работы. Завершающее событие (6) означает момент выполнения всего проекта.

 

 

Замечание. Сетевая модель может быть задана в различной форме. Например, тот же самый проект может быть представлен следующим образом:

Над чертой дроби перечислены события, из которых состоит работа, под чертой – время необходимое для выполнения данной работы. При этом алгоритм построения сетевой модели не меняется.

Расчёт основных временных параметров производится по соответствующим формулам, приведённым выше. Существует множество методов расчёта, в данном пособии рассматривается метод динамического программирования. Для нашего примера получим следующие результаты временных параметров событий сетевой модели:

а ) ранние сроки свершения событий:

Тр ₁= 0; Тр ₂ = Тр ₁ + t _1,2 = 0 + 2 = 2;

Тр ₃ = max { Тр ₁ + t _1,3; Тр ₂ + t _2,3}= max{0 + 4; 2 + 0} = 4;

Тр ₄ = Тр ₃ + t _3,4 = 4 +2 = 6;

Тр ₅ = max { Тр ₂ + t _2,5; Тр ₄ + t _4,5}= max{2 + 3; 6 + 5} = 11;

Тр ₆ = max { Тр ₄ + t _4,6; Тр ₅ + t _5,6}= max{6 + 7; 11 + 3} = 14.

Итак, завершающее 6-е событие может свершиться лишь на 14-й день от начала разработки. Это минимальное время, за которое могут быть выполнены все работы проекта, оно определяется самым длинным полным путём. Ранний срок свершения события (6) Тр ₆ = 14 совпадает с критическим временем t _кр (суммарной продолжительностью работ, лежащих на критическом пути). Теперь можно выделить работы, принадлежащие критическому пути, возвращаясь от завершающего события к исходному. Из двух работ, входящих в событие (6), t _кр = 14 определила работа (5,6), так как (Тр ₅+ t _5,6 = 14), поэтому работа (5,6) является критической. Момент свершения события (5) определила работа (4,5), так как (Тр ₄+ t _4,5 = 11), в связи с чем работа (4,5) будет критической. В свою очередь момент свершения события (4) определила работа (3,4), события (3) – работа (1,3). Все эти работы определили критический путь на сетевом графике: (1,3), (3,4), (4,5), (5,6). Условимся записывать это короче L _кр = (1-3-4-5-6) (рис.3.7).

б) поздние сроки свершения событий:

Т п₆ = t _кр. Воспользуемся снова методом динамического программирования, только расчёты будем вести с конца. Т п₆ = 14, тогда Т п₅ = 14 – 3 = 11, так как после события (5) для завершения всего комплекса нужно выполнить работу (5,6) длительностью 3 дня. Из события (4) выходит две работы, поэтому Т п₄= min{ Т п₆ – t _4,6; Т п₅ – t _4,5} = min{14-7; 11-5} = 6; Т п₃ = 6 – 2 = 4;

Т п₂ = min{ Т п₅ – t _2,5; Т п₃ – t _2,3} = min{11– 3; 4 – 0} = 4; Т п₁ = 0.

Найдём резервы времени событий: R ₂ = Т п₂ – Т р₂ = 4 – 2 = 2, резервы остальных событий в данном случае равны нулю, так как эти события критические.

Расчёт сетевого графика выполняют табличным или графическим способами. Табличный способ используется для определения параметров работ, графический – параметров событий. Параметры работ сетевого графика сводят в таблицу, в которой дополнительно отражают резервы времени каждой работы (табл. 3.4).

Таблица 3.4