Дискретная СВ: определение, закон распределения, функция распределения. Числовые хар-ки дсв.

Определение.

Дискретной случайной величиной называется такая случайная величина, множество значений которой конечно или счетно, то есть элементы множества можно пронумеровать.

Закон распределения вероятности ДСВ.

Пусть , где 1≤i≤n – это возможные значения X, тогда, если СВ Х принимает некоторое значение Х= , то говорят, что реализуется случайное событие, вероятность которого мы можем найти. Р(Х=

ДСВ считается заданной, если известны все возможные значения СВ и соответствующие им вероятности.

Определение. Законом распределения ДСВ называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения можно задать таблично, аналитически(формула) и графически.

Мы будем использовать табличный.

Табличный вид:

			…
			…

Учитывая, что в 1-ом испытании СВ примет только 1 из возможных значений, то события Х= ;Х=

;…;Х= образуют полную группу, а значит сумма их вероятностей =1.

Функция распределения

Определение. Функцией распределения СВ Х называется функция F(x), выражающая вероятность того, что СВ Х примет значение меньше, чем х; ∀ х е R

F(x)=P(X<x)

По закону распределения можно задать функцию и наоборот.

Св-ва

Ф-ия распределения F(x) – неубывающая,т.е. F( при

Пусть

F( = P(X< )-P(x< =P(X< +P( – P(X< )=P( ≥0

F(

0≤F(x)≤1

F(-бесконечности)=0

F(+бесконечности) = 1

Следствие. Для ДСВ функция распределения – это разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева.

Вероятность попадания СВ Х в интервал от α до β вычисляется по формуле:

P(α≤x<β) = F(β)-F(α)

Док-во этой формулы вытекает из 1-ого св-ва, если х1 заменить на альфа,а х2 на β.

Числовые характеристики ДСВ.

1) Математическое ожидание

Определение. Мат.ожиданием ДСВ, имеющей закон распределения:

			…
			…

Называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. (среднее значение ДСВ)

Пусть СВ Х может принимать только значения х1;х2;…;хn, вероятности которых соответственно равны p1;р2;…;рn. Тогда мат ожидание M(X) СВ Х определяется равенством:

M(X)= x1p1+x2p2+…+xnpn

Если ДСВ Х принимает счетное множество возможных значений, то M(X)=

Св-ва M(X)

1. M(Const)=const

Док-во.Будем рассматривать постоянную С как ДСВ, которая имеет одно возможное значение С и принимает его с вероятностью р=1, следовательно М(С)=С*1=С

2. M(CX)=C(M(X))

3. M(X+Y)=M(X)+M(Y)

4. M(X1+X2+…+Xn)= M(X1)+M(X2)+…+M(Xn)

Если X и Y независимы, то M(XY)= M(X)*M(Y)

Если X1,X2,…,Xn – независимые, то M(X1*X2*…*Xn)= M(X1)* M(X2)*…*M(Xn).

Мат ожидание называется 1-й из хар-ик положения СВ, но не единств!

2) Мода и медиана

Модой ( ДСВ Х называется ее наиболее вероятное значение, то есть то значение, для которого вероятность достигает max. Если максимум в нескольких точках, то распределение полимодальное!

Медианой (Me(X)) – называется такое значение Х, для которого выполняется Р(Х ≥1/2

Р(Х ≥1/2

Если таких значений будет 2,то медиану ищем как среднее арифметическое:

Ме(Х)= /2

3) Дисперсия

Дисперсия – рассеяние значения СВ вокруг мат. ожидания.

Определение. Отклонением СВ Х от ее мат. ожидания или просто откл. СВ называется величина Х-М(Х)

Теорема. М(Х-М(Х)=0

Мат ожидание отклонения = 0

М(х-М(Х))=М(Х)-М(М(Х))=М(Х)-М(Х)=0

Однако эта теорема не дает возможность определить степень рассеивания СВ Х. Такой характеристикой является квадрат отклонения СВ Х, а именно (Х-М(Х))^2

Определение. Дисперсией называется мат ожидание квадрата отклонения СВ от ее мат ожидания

Д(Х)=М((Х-М(Х))^2

На практике для вычисления дисперсии используют формулу:

Д(Х) = М(

Для ДСВ эта формула:

Д(Х) =

Док-во.

Мат ожидание есть постоянная величина, следовательно 2М(Х) и есть также постоянные величины. Приняв это во внимание и пользуясь свойствами мат ожидания(постоянный множитель можно вынести за знак мат ожидания, мат ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), упростим формулу, выражающую определение дисперсии:

Д(Х)= М(Х-М(Х))^2 = М(Х^2 – 2XM(X)+M^2(X))=M(X^2)-2M^2(X) +M^2(X)=M(X^2)-M^2(X)

Итак, Д(Х) = М(Х^2)-(M(X))^2

Св-ва дисперсии

1) Д(Х)≥0

Док-во. По определению дисперсии Д(С)=М((С-С)^2)=M(0)=0

Итак, Д(С) = 0

Свойство становится ясным, если учесть, что постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеивания, конечно, не имеет.

2) Д(const)=0

3) Д(СХ)=С^2(Д(Х)

4) Если X и Y – независимые СВ, то Д(Х+У)=Д(Х)+Д(У)

Следствие:

1) х1;х2;…;хn – независимые СВ, то Д(х1+х2+…+хn) = Д(х1)+Д(х2)+…+Д(хn)

2) D(X+c) = D(X)

5) Если Х и У независимые, то Д(Х-У) = Д(Х)+Д(У)

Ср.Квадр.отклонение.

Определение. Ср.квадр.откл. называют квадратный корень из дисперсии.

σ(Х) =

Св-ва.

σ(const)=0

σ(CX)=|C|* σ(X)

σ(C+X) = σ

 

Действия со случайными величинами

1. Умножение на число.

Пусть Х – ДСВ, заданная законом распределения

			…
			…

 

У=С*Х – эта СВ определена законом распределения

	с	с	…	с
			…

Каждое возможное значение умнож на const,а р остается прежней.

Опред.2 СВ Х и У называются независимыми, если независимы все связанные с ними случайные события.

Х<x;Y<y;X= Y=

То есть СВ Х и У независимы, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение примет другая СВ.

Замечание. Св-во независимости является взаимным. То есть, если СВ Х не завис от У, то и У не завис от Х.

2. Сложение СВ

Пусть Х и У – ДСВ, тогда Z=X+Y также является ДСВ, возм. знач которой = суммам каждого возм. значения СВ Х с каждым возм. значением СВ У.

Вероятности возм знач Z для независимых СВ Х и У = произв. Вероятностей слагаемых, а для завис. = произв. Вероятности 1-ого слаг. На условную вероятность 2-ого.

Заметим, что некоторые суммы Х и У могут оказаться равными между собой, тогда вероятность возможного значения суммы = сумме вероятностей.

3. Произведение.

Пусть Х и У – независимые ДСВ

Тогда Z=X*Y также ДСВ, возм значение которой = произведению каждого возможного значения Х на каждое возможное значение У.

Вероятности возм. значений СВ Z = произв. Вероятностей возм знач сомножителей.

Заметим, что нек. произв. Х*У могут оказаться равными между собой, тогда вероятность возможного значения произв = сумме соотв вероятностей.

4. Пусть Х и У – ДСВ, тогда Z=αX+βY также ДСВ.