Плотность распеределения нсв и ее свойства.

Пл-тью р-я нсв Х в т. x наз-ся произв-я ее ф-ии р-ия в этой т-ке. f(x)=F’(x). F(x) явл первообразной д/пл-ти f(x). График пл-ти – кривая р-ия. Пл. р-ия в т-ке – это углов. коэф. касат-ой, провед-ой к ф-ии р-ия в эт. т-ке.

Св-ва плотности:

1) f(x) ≥0 Док-во: по св-ву ф-ии р-ия F(x)-неуб.ф-ия., F’(x) ≥0, а тк f(x)= F’(x)то, f(x) ≥0.

2) Основн.св-во пл-ти. (условие нормировки).

Геом-ки это означ.,что вся площ. криволин. трап., огранич-ой осью ох и кривой р-ия

= 1. Док-во. Несобственный интеграл выражает вероятность события, состоящего в том, что Св примет значение, принадлежащее интервалу (- . Очевидно, такое событие достоверно, следовательно, вероятность его = 1.

Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченная осью Ох и кривой распределения, равна единице.

В частности, если все возможные значения СВ принадлежат интервалу (а;б), то

3)P(α<x<β)=

Док-во: P(α<x<β)=F(β) – F(α)= , По ф-ле Ньютона-Лейб.

Геом. это означ, что P того, что НСВ прим. знач., принадл. пром-ку (α;β) = площ-ди кривол.трап., огран-ой осью ох, кривой р-ия и прямыми х= α, х=β.

4) F(x)= Док-во: по опр-нию, ф-ия р-ия F(x)=P(X<x)=P(-∞<X<x)= . (прим. св-во 3)

Числовые характеристики НСВ

1)Матем.ожидание нсв Х опред-ся равен-вом: M(X)=

Если все возм.знач-я Xϵ [a;b], то M(X)=

3) Дисперсия нсв опр-ся рав-вом: D(X) = или = = M() -

Если все возм.знач-я Xϵ [a;b], то D(X)=

4)Среднее квадратич. отклонение. Ϭ(X)= свойства такие же, как для ДСВ

5) Модой нсв X наз-ся то ее знач. аргемента, в кот. плот-ть достиг. max

(X)= x max f(x)

6) Медианой нсв X наз-ся то ее знач. арг-та, для кот. выполн-ся: Me(X)= , F()=1/2

Равномерное распределение

НСВ (непрерывная случайная величина) Х распределена равномерно на [a; b], если ее

Функция распределения выражается формулой:

F(x)=

Графики функций f(x) и F(x) имеют вид:

M(X)=Me(X)=

Используя формулу для вычисления математического ожидания НСВ, имеем:

Таким образом, математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [a, b] совпадает с серединой этого отрезка.

D(X)=

Сигма σ(X)=

Mo(X) это любая точка из [a;b]: бесконечное множество.

Основное свойство закона равном распределения НСВ на отрезке: вероятность попадания СВ в интервал от α до β из области определения функции пропорциональна длине этого интервала:

Равномерное распределение имеют СВ, характеризующие ошибки измерений при помощи инструмента с крупными делениями при округлении.

Нормальное распределение

СВ Х распределена по нормальному закону, если

Где а и s—некоторые постоянные, называемые параметрами нормального распределения, которых достаточно для задания норм распр.

a=M(X) s=s(X)

График плотности – нормальная кривая Гаусса. Исследуем ее, чтобы построить:

1°. Областью определения функции f(x) является вся числовая ось.

2°. Функция f{x) может принимать только положительные значения, т. е. f(x}>0.

3°. Предел функции f(x) при неограниченном возрастании |х| равен нулю, т. е. ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика функции.

4°. Функция f{x) имеет в точке х = a максимум, равный

5°. График функции f(x) симметричен относительно прямой х = а.

6°. Нормальная кривая в точках х = а +s имеет перегиб,

На основании доказанных свойств построим график плотности нормального распределения f(x).

Выясним влияние а и s:

1. Изменение а не изменяет форму кривой, но приводит к ее сдвигу вдоль Ох вправо при возрастании а и влево при убывании

2. При увеличении s нормальная кривая становится более пологой, при уменьшении – более острой

3. При любых а и s площадь под графиком равна 1.

Для вычисления вероятности попадания в интервал вводится функция Лапласа

Свойства:

Φ(0)=0

При f(x)˃5 Φ(x)=0,5

Для вычисления вероятности попадания

Часто необходимо вычислить вероятность отклонения нормального распределения Х по абсолютной величине, не большей заданного положительного числа.

(функция Лапласа—нечетная), окончательноимеем

Чем меньше , т.е. чем меньше рассеяние СВ Х вокруг ее М(Х), тем больше вероятность для СВ попасть в интервал от – . Если радиус интервала с центром в точке х=а взять равным 3 , то почти все возможные значения СВ Х окажутся в этом интервале. Правило 3 сигма: если СВ распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от М(Х) не превышает утроенного среднего квадратического отклонения