Биноминальное распределение.

распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях

Случайная величина Х – число успехов в n одинаковых независимых повторных испытаниях, р – вероятность успеха, q – неудача в каждом испытании.

M(X) = np

D(X) = npq (закон распределения находится по Бернулли)

Можно добавить

В биномиальном распределении случайная величина - это число наступления события. В этом его отличие от геометрического распределения, где СВ - число испытаний.

D(X) = npq

Д о к а з а тел ь с т в о. Рассмотрим случайную величину Х -число появлений события А в n независимых

испытаниях; Очевидно, общее число появлений событиях этих испытаниях равно сумме появлений события в отдельных испытаниях: Х=Х₁+Х₂+... +Х_n,

где Х₁ -число наступлений события в первом испытании, Х₂ -во втором,..., Х_n- в n-м.

Величины Х₁, Х₂, •••, X_n взаимно независимы, так как исход каждого испытания не зависит от исходов остальных, поэтому мы вправе воспользоваться следствием, что дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. D(X)=D(X₁)+D(X₂)+... +D(Х n) (*)

Вычислим дисперсию Х₁ по формуле D (Х₁) =М (Х₁²)-[М (Х₁)]² (**)

Величина Х₁ -число появлений события А в первом испытании, поэтому можно использовать свойство - М (Х₁)=р.

Найдем математическое ожидание величины X₁², которая может принимать только два значения, а именно: 1² с вероятностью р и 0² с вероятностью q:

М (Х₁²) = 1²р + 0²q = р.

Подставляя найденные результаты в соотношение(**), имеем

D (Х₁) = р-р² = р (1-р) = pq.

Очевидно, дисперсия каждой из остальных случайных величин также равна pq. Заменив каждое слагаемое правой части (*) через pq, окончательно получим

D(X)=npq.

М (Х) =nр.

Доказательство.

Будем рассматривать в качестве случайной величины Х число наступления события А в n независимых испытаниях. Очевидно, общее число Х появлений события А в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях.

Поэтому если Х₁ -число появлений события в первом испытании,

Х₂ -во втором,..., Х_n-в n-м, то общее число появлений события Х = Х₁ + Х₂ +... + Х_n.

По третьему свойству математического ожидания(сумма мат ожиданий равна сумме мат ожиданий), М(Х) =М(Х₁)+М(Х 2)+... +М(Хn). (*)

Каждое из слагаемых правой части равенства есть математическое ожидание числа появлений события в одном испытании: М (Х₁)-в первом, М (Х₂)-во втором и т. д.

Так как математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности события, то М(Х₁)=М(Х₂)=М(Х_n)=р.

Подставляя в правую часть равенства (*) вместо каждого слагаемого р, получим

М (Х) =nр.

Непрерывная случайная величина: определение, функция распределения и ее свойства.

Основные определения:

Случайная величина Х называется непрерывной, если множество ее значений совпадает с множеством некоторого числового промежутка (конечного или бесконечного). Т.к. множество точек бесконечно, то непрерывная случайная величина не может быть задана с помощью закона распределения. Один из способов задания непрерывной случайной величины – функция распределения непрерывной случайной величины. Определения и свойства функции распределения для непрерывной случайной величины совпадают с определением и свойствами функции распределения дискретной случайной величины.

Для дискретной случайной величины функция распределения – это кусочно непрерывная функция имеющая точки разрыва 1 рода, для непрерывной случайной величины – это непрерывная функция.

Непрерывная случайная величина - случайная величина, функцией распределения которой непрерывна всюду и непрерывно дифференцируема всюду, кроме разве что конечного числа точкек, где она терпит излом.

Следствия:

1) Вероятность попадания в интервал от

2) Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет 1 определенное значение = 0

3)Используя этот факт легко убедиться в справедливости равенства

Таким образом, не представляет интереса говорить о вероятности того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, но имеет смысл рассматривать ее вероятность попадания в интервал, пусть даже самый малый.