Полнота (в логике и дедуктивных науках)

— логико-методо­логическое требование, предъявляемое к аксиоматической теории и характеризующее достаточность для определенных целей ее вырази­тельных и дедуктивных средств. Аксиоматическая система является полной, если все ее формулы, истинные при рассматриваемой интер­претации, доказуемы. Полная система содержит все возможные тео­ремы, не противоречащие интерпретации. Для уточнения семанти­ческого понимания П. может быть выдвинуто требование, чтобы либо само предложение, либо его отрицание было теоремой, т. е. чтобы предложение было или доказуемо, или опровержимо.

А 1931 г. К. Гёдель показал, что достаточно богатые аксиоматичес­кие системы (включающие арифметику натуральных чисел) в прин­ципе не могут быть полными: в них имеются предложения, которые не могут быть ни доказаны ни опровергнуты.

Требование П. не является необходимым; неполные аксиомати­ческие системы могут представлять и теоретический, и практичес­кий интерес.

ПОНИМАНИЕ

— универсальная операция мышления, связанная с усвоением нового содержания, включением его в систему устояв­шихся идей и представлений. П. наделяет смыслом объекты социаль­но-культурной и природной реальности и вводит их тем самым в привычный и связный мир человека. Оно всегда обусловлено соци­ально-историческими и культурными предпосылками. Уяснение смысла объекта как целого предполагает П. его частей; в свою оче­редь, уяснение смысла частей требует П. смысла целого (т.наз. «гер­меневтический круг»).

Теория и искусство истолкования, и прежде всего истолкования текста, именуется герменевтикой (от греч. hermeneuo — разъяс­няю). Как особая отрасль знания она начала складываться еще в по­здней античности. В ср. века некоторые проблемы герменевтики разра­батывались в рамках толкования священного писания (экзегетики).

П. является той точкой, в которой пересекаются все проблемы такого сложного и многоаспектного явления, как человеческая ком­муникация. Обыденность П., иллюзия легкой, почти автоматической

[271]

его достижимости долгое время затемняли его сложность и комп­лексный характер. Хотя эта проблема начала активно обсуждаться еще в XIX в., в полном объеме и во всей своей сложности она встала только в последние десятилетия.

Наряду с объяснением П. является одной из основных функций научного познания.

Логическая структура П. пока не особенно ясна, нередко предпо­лагается, что оно вообще лишено отчетливой структуры. Весьма рас­пространенной является восходящая к старой герменевтике идея, что истолковываться и пониматься может только текст, наделенный определенным смыслом: понять означает раскрыть смысл, вложен­ный в текст его автором. Узкая трактовка П., будучи приложенной к познанию природы, ведет к неясным рассуждениям о «книге бытия», которая должна «читаться» и «пониматься» подобно другим текстам. Поскольку у этой «книги» нет ни автора, ни зашифрованного смыс­ла, естественнонаучное П. оказывается П. лишь в некотором пере­носном, метафорическом значении.

Иногда П. истолковывается как неожиданное прозрение, внезап­ное ясное видение какого-то до тех пор бывшего довольно туман­ным и несвязным целого. Такое сведение П. к «озарению», «инсай­ту», или «прозрению», делает операцию П. редкостью не только в естественных, но и в гуманитарных науках.

Определенный интерес представляет концепция, утверждаю­щая, что П. есть оценка на основе некоторого образца, стандарта, нормы или принципа. Пониматься может все, для чего существует такой общий образец, начиная с явлений неживой природы и кончая поступками, индивидуальными психическими состояния­ми и текстами. Результатом П. является оценка понимаемого объекта с определенной устоявшейся точки зрения. Истолкование, де­лающее возможным П., представляет собой поиск стандарта оцен­ки и обоснование его приложимости к рассматриваемому конк­ретному случаю. Напр., понять действие исторического лица зна­чит вывести обязательность этого действия из тех целей и ценностей, которых оно придерживалось («В ситуации типа С сле­довало сделать х;деятель A находился в ситуации типа С; значит, деятель А должен был сделать х»). Поведение становится понят­ным, как только удается убедительно подвести его под некоторый общий принцип или образец; понятное в действиях человека — это отвечающее принятому правилу, а потому правильное и в определенном смысле ожидаемое. П. природы также является оцен­кой ее явлений с точки зрения того, что должно в ней происхо­дить, т. е. с позиции устоявшихся и опирающихся на прошлый

 

[272]

опыт познания представлений о «нормальном» или «естественном» ходе вещей.

ПОНЯТИЕ

- общее имя, имеющее относительно ясное и устой­чивое содержание и сравнительно четко очерченный объем. П. явля­ются, напр., «дом», «квадрат», «молекула», «кислород», «атом», «любовь», «бесконечный ряд» и т. п. Отчетливой границы между теми именами, которые можно назвать П., и теми, которые не относятся к П., не существует. «Атом» уже с античности является достаточно оформив­шимся П., в то время как «кислород» и «молекула» до XVIII в. вряд ли могли быть отнесены к П.

Имя «П.» широко используется и в повседневном языке, и в языке науки. Однако в истолковании содержания этого имени един­ства мнений нет. В одних случаях под П. имеют в виду все имена, включая и единичные, и пустые. К П. относят не только «столицу» и «европейскую реку», но и «столицу Белоруссии» и «самую большую реку Европы». В других случаях П. понимается как общее имя, отра­жающее предметы и явления в их общих и существенных признаках. Иногда П. отождествляется с содержанием общего имени, со смыс­лом, стоящим за таким именем.

Термин «П.» широко употреблялся в традиционной логике,кото­рая начинала с анализа П., затем переходила к исследованию сужде­ния, которое мыслилось составленным из П., и далее к описаниям умозаключения, составленного из суждений как более простых эле­ментов. В современной логике термины «П.», суждение и умозаключе­ние употребляются редко. Схема изложения логики «понятие -> суж­дение -> умозаключение» отброшена как устаревшая. Изложение со­временной логики начинается с логики высказываний,которая лежит в фундаменте всех иных логических систем и в которой простое высказывание не разлагается на составляющие его части.

ПОРОЧНЫЙ КРУГ

— логическая ошибка в определении понятий и в доказательстве, суть которой заключается в том, что некоторое понятие определяется с помощью другого понятия, которое в свою очередь определяется через первое, или некоторый тезис доказывает­ся с помощью аргумента, истинность которого обосновывается с по­мощью доказываемого тезиса. Пример П. к. в определении: «Вращение есть движение вокруг собственной оси». Понятие «ось» само опреде­ляется через понятие «вращение» («ось — прямая, вокруг которой происходит вращение»). Частным случаем П.к. в определении поня­тий могут быть тавтологии, напр., «Демократ есть человек демократи­ческих убеждений». Примером П. к. в доказательстве могут служить многочисленные попытки математиков (до открытия Лобачевского) доказать независимость пятого постулата от других постулатов гео-

[273]

метрии Евклида, использовавших при этом в качестве аргументов положения, эквивалентные доказываемому пятому постулату.

«ПОСЛЕ ЭТОГО ЗНАЧИТ ПО ПРИЧИНЕ ЭТОГО» (лат. post hoc ergo propter hoc)

— логическая ошибка, заключающаяся в том, что простую последовательность событий во времени принимают за их причинную связь. Напр., когда после появления кометы возникали какие-то несчастья, часто комету считали причиной несчастья; когда в трубке возникала пустота и вода в ней поднималась, то думали, что пустота есть причина поднятия воды и т. д. Данная ошибка лежит в основе многочисленных суеверий, легко возникающих в результате соединения во времени двух событий, никак не связан­ных друг с другом.

ПОСПЕШНОЕ ОБОБЩЕНИЕ

— логическая ошибка в индуктив­ном выводе. Суть ее заключается в том, что, рассмотрев несколько частных случаев из какого-либо класса явлений, делают вывод обо всем классе. Напр.: 1 — простое число, 2 — простое число, 3 — простое число; следовательно, все натуральные числа — простые. Ошибка П.о. особенно часто совершается в повседневной жизни, когда люди по одному-двум случаям судят о целом классе.

ПРАВИЛО ВЫВОДА

— правило, определяющее переход от посы­лок к следствиям. П. в. указывает, каким образом высказывания, ис­тинность которых известна, могут быть видоизменены, чтобы полу­чить новые истинные высказывания. Напр., правило отделе­ния устанавливает, что если истинны два высказывания, одно из которых имеет форму импликации,а другое является основанием (антецедентом)этой импликации, то и высказывание, являющееся следствием (консеквентом)импликации, истинно. Это правило, на­зываемое также правилом модус поненс,позволяет «отделить» след­ствие истинной импликации, при условии, что ее основание истинно. Скажем, от посылок «Если цирконий — металл, он электропроводен» и «Цирконий — металл» можно перейти к заключению «Цирконий электропроводен».

ПРАВИЛО ЛОККА

— правило, формулируемое так: если некото­рое свойство A принадлежит любому, но фиксированному элементу изучаемого множества М (т. е. является параметром), то это свойство принадлежит и всем элементам данного множества. Символически оно записывается так:

А ( а )

" хА (х)

Над чертой в посылке А (а)указывается принадлежность свой­ства А любому, но фиксированному элементу а некоторого множе­ства, под чертой, т. е. в заключении, говорится о том, что свойство А принадлежит всем элементам этого множества. П. Л. широко исполь-

[274]

зуется в логико-математических системах. Оно часто истолковыва­ется как правило обобщения и обосновывает, напр., почему мы можем доказывать теоремы в геометрии, имеющие общий харак­тер, на индивидуальном чертеже. Так, доказывая теорему о том, что сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым, мы пользуемся некоторым треугольником ABC,нарисованным на доске. Этот треугольник, однако, рассматривается нами как любой треу­гольник, поскольку от длины сторон, величины его углов, от его площади мы отвлекаемся: они не принимаются во внимание нами при доказательстве нашей теоремы. Этот треугольник выступает как параметр а. Доказывая, что ему принадлежит свойство А (а именно, что сумма его внутренних углов равна двум прямым), мы тем самым доказываем принадлежность этого свойства всякому треугольнику.

ПРАГМАТИКА

— раздел семиотики, изучающий отношения между знаковыми системами и теми, кто воспринимает, интерпрети­рует и использует их. Для исследования прагматических свойств и отношений, существенных для адекватного восприятия и понимания текстов, чисто лингвистических и логических методов часто оказы­вается недостаточно и приходится прибегать также к методам пси­хологии, психолингвистики, этологии.

ПРАВИЛО ОТДЕЛЕНИЯ, см.: Модус поненс.

ПРЕВРАЩЕНИЕ (лат. obversio)в традиционной логике

— вид непосредственного умозаключения, характеризующегося тем, что в исходных суждениях вида A, Е, I, О (см.: Суждение)предикат Р заменяется на не - Р (т.е. на его дополнение), и наоборот, и при этом качество суждения изменяется (утвердительное суждение преобра­зуется в отрицательное, и наоборот), а его общность (т. е. количество суждения) остается прежней. Так, из истинного суждения вида «Все S суть Р»путем его П. можно получить истинное суждение вида «Ни одно S не есть не - Р»(ср.: «Все тигры — хищные животные» и «Ни один тигр не является не-хищным животным»). Из истинного суждения вида «Ни одно S не есть Р»можно путем П. получить истинное суждение вида «Все S суть не - Р»(ср.: «Ни один кит не есть рыба» и «Все киты суть не-рыбы»). Из истинного суждения вида «Некоторые S суть Р»путем П. можно получить истинное суж­дение вида «Некоторые S не суть не - Р»(ср.: «Некоторые металлы являются жидкими» и «Некоторые металлы не являются не-жидкими»). Из истинного суждения вида «Некоторые S не суть Р»путем П. можно получить истинное суждение вида «Некоторые S есть не - Р»(ср.: «Некоторые учащиеся не являются отличниками» и «Неко­торые учащиеся являются не-отличниками»).

«ПРЕДВОСХИЩЕНИЕ ОСНОВАНИЯ» (лат. petitio principii)

- ошиб­ка логическая в доказательстве, заключающаяся в том, что в качестве

[275]

аргумента (основания), обосновывающего тезис, приводится поло­жение, которое хотя и не является заведомо ложным, однако нуж­дается в доказательстве. Так, социологическое учение англ. эконо­миста и священника Т. Р. Мальтуса (1766-1834) опиралось на два основных аргумента: население растет в геометрической прогрес­сии, в то время как средства к существованию возрастают лишь в арифметической прогрессии. Оба эти аргумента были недоказанны­ми, поэтому Мальтус совершал ошибку П. о. Ошибка стала явной, когда было показано, что население растет гораздо медленнее, чем предполагал Мальтус, а объем средств к существованию, напротив, возрастает намного быстрее.

ПРЕДИКАТ (от лат. praedicatum -сказанное)

- языковое выра­жение, обозначающее какое-то свойство или отношение. П., указы­вающий на свойство отдельного предмета (напр., «быть зеленым»), называется одноместным. П., обозначающий отношение, назы­вается двухместным, трехместным и т. д., в зависимости от числа членов данного отношения («любит», «находится между» и т. д.).

В традиционной логике П. понимался только как свойство, преди­кативная связь означала, что предмету (субъекту) присущ опреде­ленный признак. Это ограничение существенно ослабляло вырази­тельные возможности языка логики. В частности, в системах аксиом математических теорий всегда имеются аксиомы, невыразимые по­средством одноместных П.

В современной логике предикация рассматривается как частный случай функциональной зависимости. П. называются функции, значе­ниями которых служат высказывания. Напр., выражение «... есть зеле­ный» (или «х есть зеленый») является функцией от одной перемен­ной, «... любит...» («х любит у») — функция от двух переменных, «...находится между... и...» («х находится между у и z») ~ функция от трех переменных и т. д. Эти выражения превращаются в высказыва­ния при соответствующей подстановке имен вместо переменных или при связывании переменных кванторами (см.: Логика предикатов).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

- соединение слов, имеющее самостоятельный смысл, т. е. выражающее законченную мысль. Логика заимствует этот термин из грамматики и использует при определении высказывания как грамматически правильного П., взятого вместе с его содержани­ем. Термин «П.» употребляется также в искусственном (формализо­ванном) языке логики для обозначения тех последовательностей символов, которые при их содержательной интерпретации дают П. естественного языка.

Для описания П. часто используется теория немецкого логика Г. Фреге (1848-1925), согласно которой П. является именем определен­ного рода. Как и в обычном имени, содержание П. включает смысл

 

[276]

и обозначаемый объект — денотат. Смысл П. можно охарактеризо­вать как то, что бывает усвоено, когда П. понято, или как то об­щее, что имеют два П. в различных языках, если они правильно переведены. В качестве объектов, обозначаемых П., выступают два абстрактных предмета, называемых истинностными значениями, — истина и ложь; устанавливается, что все истинные П. обозначают ис­тину, а все ложные П. обозначают ложь. Так, П. «И. С. Тургенев — автор романа "Отцы и дети"» и «Ф. М. Достоевский - автор романа "Бесы"» имеют разный смысл, но обозначают один и тот же объект — исти­ну; П. «Луна обитаема» и «Марс — спутник Фобоса», имеющие разный смысл, обозначают один и тот же объект — ложь.

Преимуществом такого взгляда на П. является возможность не­посредственного применения к ним всего того, что говорится об именах. Отождествление П. с именами определенного рода упрощает логическую теорию и придает ей единообразие. Тем не менее оно во многом представляется неестественным. Наиболее обычным упот­реблением П. является не просто называние ч.-л., скажем, абстрак­тных объектов, подобных истине и лжи, а формулировка утвержде­ний. Истолкование П. как частного случая имен заставляет считать такие разные П., как «Волга впадает в Каспийское море» и «Лоша­ди едят овес», обозначающими один и тот же объект, что явно не соответствует обычным представлениям о П.

Существуют и многие другие теории содержания П., однако ни одна из них не является общепринятой.