Класс, множество (в логике и математике)

- конеч­ная или бесконечная совокупность объектов, выделенная по об­щему для них признаку (свойству или отношению), мыслимая как нечто целое. Объекты, составляющие К., называются его элемента­ми. Примером К. (м.) могут быть следующие: «реки России», «чет­ные числа». Первый К. является конечным, второй - бесконечным. Элементами первого К. являются отдельные реки — Волга, Ока, Енисей и др. Элементами второго К. являются числа - 0, 2, 4, 6, 8 и т. д. до бесконечности. Элементами К. могут быть, в свою очередь, К. Так, элементами К. «типы животных» являются К. простейших жи­вотных, губок, кишечнополостных и т. д. К. бывают единичны­ми, общими и нулевыми (пустыми). Единичные К. состоят из одного элемента (напр., «самая большая река в Европе»); общие К. состоят из двух и более элементов (напр., «химический элемент», «машина»); нулевые К. не включают в свой состав ни одного эле­мента (напр., «круглый квадрат», «число меньше двух и больше трех»).

Объект определенной области принадлежит данному К., явля­ется его элементом, если он обладает признаками, по которым образован К. В противном случае он исключается из К. Так, если нам дана область натуральных чисел и мы хотим выделить те из них, которые являются элементами К. простых чисел, то в К.. про­стых чисел войдет, напр., число 7, т. к. оно обладает свойством

 

[144]

простых чисел («7 — простое число» — истина), а число 8 не войдет (т. к. «8 — простое число» — ложь). Образуя К. к.-л. объектов, мы начинаем их рассматривать лишь под углом зрения некоторых свойств, от иных же свойств абстрагируемся. Так, образуя К. квад­ратов, мы учитываем такие свойства плоских многоугольников, как «быть четырехугольником», «иметь равные углы», «иметь равные стороны». Площадь, длина сторон и т. п. не учитываются. Это озна­чает, что отдельные квадраты, составляющие К.квадратов, отож­дествляются нами, становятся неразличимыми в некоторых свой­ствах (см.: Абстракция).

Общее понятие о К. возникает как результат абстракции не толь­ко от природы его элементов, но и от их порядка.

КЛАССИФИКАЦИЯ

— многоступенчатое, разветвленное деле­ние логического объема понятия. Результатом К. является система соподчиненных понятий: делимое понятие является родом, но­вые понятия — видами, видами видов (подвидами) и т. д. Наибо­лее сложные и совершенные К. дает наука, систематизирующая в них результаты предшествующего развития к.-л. отраслей знания и намечающая одновременно перспективу дальнейших исследо­ваний. Блестящим примером научной К. является периодическая система элементов Д. И. Менделеева, фиксирующая закономер­ные связи между химическими элементами и определяющая мес­то каждого из них в единой таблице. Эта система позволила сде­лать подтвердившиеся вскоре прогнозы относительно неизвестных еще элементов. Большую роль в развитии биологии сыграла К. жи­вотных и растений К. Линнея. Хорошо известна К. элементарных частиц, даваемая современной физикой.

К. подразделяется на е с т е с т в е н н у ю и искусственную. В качестве основания первой берутся существенные признаки, из которых вытекают многие производные свойства упорядочива­емых объектов. Искусственная К. использует для упорядочива­ния объектов несущественные их признаки, вплоть до ссылки на начальные буквы имен этих объектов (алфавитные указатели, имен­ные каталоги в библиотеках и т. п.).

Было время, когда естественная К. объявлялась высшей целью изучения природы и венцом научного ее познания. В XX в. пред­ставление о роли К. в процессе познания заметно изменилось. Про­тивопоставление естественной и искусственной К. во многом утра­тило свою остроту. Далеко не всегда удается существенное четко отделить от несущественного, особенно в обществе и живой приро­де; кроме того, существенное в одном отношении может оказаться гораздо менее важным в другом отношении. Поэтому роль К., в

 

[145]

том числе естественной, не должна переоцениваться, тем более не должно преувеличиваться ее значение в области сложных и динамичных социальных объектов и явлений. Как стало очевид­ным еще в прошлом веке, абсолютно резкие разграничительные линии несовместимы с теорией развития.

КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА, см.: Логика классическая.

КОНВЕНЦИЯ (от лат. conventio -соглашение)

- договор, согла­шение, условие. Разнообразные К. играют значительную роль в на­уке и в повседневной жизни. Спор, дискуссия, коллективное об­суждение к.-л. проблем всегда опираются на соглашение относительно значений используемых слов, терминов, выражений. При построении аксиоматических систем символической логики аксиомы часто принимаются конвенционально в зависимости от удобства, простоты или конкретных целей построения. Для описа­ния пространственных свойств объективного мира ученые часто по соглашению используют ту или иную систему геометрии.

КОННОТАЦИЯ (от лат. connotatio — добавочное значение)

— до­полнительные черты, оттенки, сопутствующие основному содержа­нию понятия, суждения. В обыденной речи и в художественном твор­честве к основному семантическому значению понятий и суждений часто добавляются дополнительные оттенки, служащие для выра­жений эмоционального или оценочного отношения говорящего к предмету речи. Напр., слова «военные» и «военщина» совпадают по своему семантическому значению, однако во втором слове при­сутствует негативный оттенок, которого нет в первом слове.

КОНСТРУКТИВНАЯ ЛОГИКА

- одно из направлений современ­ной логики, изучающее рассуждения о конструктивных объек­тах и процессах. Конструктивные объекты представляют собой или отдельные, ясно отличаемые друг от друга знаки, или последова­тельности таких знаков, получаемые посредством некоторого кон­структивного процесса, протекающего по четким дискретным пра­вилам. Примером конструктивного объекта могут служить легко отождествляемые и различаемые буквы к.-л. алфавита; конструк­тивный процесс — построение из них слов по однозначно опреде­ленным правилам. В конструктивном процессе используется аб­стракция потенциальной осуществимости, позволяющая отвлекаться от реальных конструктивных возможностей человека, связанных с ограниченностью его деятельности в пространстве и времени. Можно, напр., рассуждать о сколь угодно длинных, но ко­нечных формулах, которые реально никогда не смогут быть запи­саны. Вместе с тем в таком процессе не используется абстрак­ция актуальной бесконечности, когда невозможность

 

[146]

полного обозрения к.-л. бесконечного образования не учитывает­ся. Бесконечное множество, напр. множество всех натуральных чи­сел, нельзя рассматривать как единый, завершенный объект. Суще­ствование конструктивного объекта считается доказанным лишь в том случае, если указан способ потенциально осуществимого его построения (конструирования).

Ограничение рассуждений конструктивными объектами и про­цессами ведет к отказу от закона исключенного третьего в приме­нении к бесконечным множествам. Отвергаются также закон сня­тия двойного отрицания (см.: Закон двойного отрицания), закон Клавия,некоторые варианты косвенного доказательства и др.

Термином «К. л.» иногда обозначается интуиционистская логи­ка. Чаще под К. л. понимается логическая теория, совпадающая по классу доказуемых формул с интуиционистской логикой, но не обращающаяся к представлению об «изначальной интуиции» и использующая при задании смысла логических операций понятие алгоритма и некоторые особые положения о конструктивных про­цессах (А. А. Марков, Н. А. Шанин и др.).

КОНТЕКСТ (от лат. contextus — сцепление, соединение, связь)

— относительно законченный по смыслу отрывок текста или устной речи, в пределах которого наиболее точно и конкретно выявляется смысл и значение отдельного входящего в него слова, фразы, сово­купности фраз. В логике и методологии научного познания К. по­нимается как отдельное рассуждение, фрагмент научной теории или теория в целом. В дополнение к основному семантическому значению, которым обладает слово или предложение, взятые сами по себе, К. придает им добавочное значение, более того, он может существенно изменить это основное значение слов и предложе­ний. Поэтому в разных К. слова и предложения могут приобретать различные значения. Иногда К. целиком придает значение некото­рому термину. В таких случаях говорят о контекстуальном опреде­лении термина (см.: Определение контекстуальное).Вопрос о кон­текстуальном значении научных терминов привлекает широкое внимание в методологии научного познания в связи с анализом развития научного знания, переходом терминов из старой теории в новую и изменением их значений при таких переходах.

КОНТЕКСТУАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ, см.: Определение контек­стуальное.

КОНТРАДИКТОРНАЯ ПРОТИВОПОЛОЖНОСТЬ (от лат. contradictorius — противоречащий)

— отношение между противо­речащими друг другу суждениями. В традиционной логике про­тиворечащими друг другу считаются общеутвердительные

[147]

и частноотрицательные суждения, имеющие один и тот же субъект и предикат («Все цветы красивы» и «Некоторые цветы не­красивы»), а также общеотрицательные и частноутвердительные суждения («Ни один цветок не красив» и «Некото­рые цветы красивы»).

К. п. характеризуется следующими особенностями: 1) суждения не могут быть одновременно истинными; 2) они не могут быть одновременно ложными; 3) из двух противоречащих друг другу суждений одно непременно истинно, а другое ложно, третьего не дано. Последнее свойство контрадикторных суждений широко ис­пользуется в процессах рассуждения и доказательства. Если нам удалось показать ложность некоторого суждения, то мы можем с уверенностью утверждать, что противоречащее ему суждение ис­тинно, и наоборот.

КОНТРАПОЗИЦИИ ЗАКОН

- общее название для ряда логи­ческих законов, позволяющих с помощью отрицания менять мес­тами основание и следствие (антецедент и консеквент)условного высказывания.

Один из этих законов, называемый иногда законом про­стой контрапозиции, звучит так: если первое влечет вто­рое, то отрицание второго влечет отрицание первого. Напр.: «Если верно, что число, делящееся на шесть, делится на три, то верно, что число, не делящееся на три, не делится также на шесть».

С использованием символики логической (р, q — некоторые высказывания; -> — импликация, «если, то»; ~ — отрицание «неверно, что») данный закон представляется формулой:

(p - >q)- > (~q - >~р),

если дело обстоит так, что если р,то q,то если не - q,то не - р. Другой К. з.:

(~p - >~q)- > (q - >p).

если верно, что если не - р,то не - q,то если q,то р. Напр.: «Если верно, что рукопись, не оцененная рецензентом положительно, не публикуется, то верно, что публикуемая рукопись оценивается рецензентом положительно».

Еще два К. з.:

(p - >~q)- > (q - >~p),

если дело обстоит так, что если р,то не - q,то если q,то не - р. Напр.: «Если квадрат не является треугольником, то треугольник не квадрат»;

(~p - >q)- > (~q - >p), если верно, что если не - р,то q,то если не - q,то р. Напр.: «Если не

 

[148]

являющееся очевидным сомнительно, то не являющееся сомни­тельным очевидно».

Закон сложной контрапозиции представляется формулой (& —

конъюнкция, «и»):

(p&q - >r)- > (p&~r - >~q),

если дело обстоит так, что если р и q,то r,то если р и не - r,то не - q. Напр.: «Если верно, что монотонная и ограниченная последо­вательность сходится, то монотонная и не сходящаяся последова­тельность неограниченна».

КОНТРАРНАЯ ПРОТИВОПОЛОЖНОСТЬ (от лат. contrarius -про­тивоположный)

— отношение между противными, или про­тивоположными, суждениями (см.: Логический квадрат).

КОНЦЕПТ (от лат. conceptus— понятие)

— содержание понятия, то же, что и смысл. В семантической концепции Р. Карнапа между языковыми выражениями и соответствующими им денотатами,т. е. реальными предметами, имеются еще некоторые абстрактные объекты - К.

КОНЪЮНКЦИЯ (от лат. conjunctio -союз, связь)

- логическая операция, с помощью которой два или более высказываний объе­диняются в новое сложное высказывание. Это новое высказыва­ние называется конъюнктивным высказыванием или просто К.

Символически конъюнктивная связка обозначается знаками «∙», «&», «Ù». Если А, В, С...представляют простые высказывания, то конъюнктивное высказывание выглядит следующим образом: А&В или А&В&С и т. п. В обыденной речи К. соответствует союз «и», поэтому К. читается так: А и В. Напр.: «Пассажиры заняли свои места, и поезд тронулся».

Значение истинности сложного конъюнктивного высказыва­ния зависит от истинностных значений входящих в него простых высказываний и определяется на основе следующей таблицы ис­тинности:

А	В	А&В
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	л

Эта таблица говорит о том, что конъюнктивное высказывание истинно только в одном случае, когда все входящие в него про­стые высказывания истинны. Напр., высказывание «Киев стоит на Днепре, и Киев — столица Украины» истинно, а высказывание

[149]

«Киев стоит на Днепре, и Киев - столица Белоруссии» ложно. Сле­дует иметь в виду, что К. учитывает только истинностные значения простых высказываний и не учитывает смысловые связи между ними. Поэтому К. может соединять высказывания, между которыми нет никакой содержательной связи. Напр., «Дважды два четыре, и снег бел» и т. п. Для К. справедлив закон коммутативности: А&В эквива­лентно В&А,хотя в высказываниях с союзом «и» этот закон дей­ствует далеко не всегда. Напр., если в высказывании «Подул ветер, и деревья закачались» поменять местами члены К., высказывание станет бессмысленным с точки зрения здравого смысла.

КОСВЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

- доказательство, в котором истинность тезиса устанавливается путем показа ошибочности противоположного ему допущения.

При прямом доказательстве задача состоит в том, чтобы найти убедительные аргументы, из которых логически вытекает тезис. В К. д. рассуждение идет как бы окольным путем. Прямые аргументы для выведения из них доказываемого положения не отыскиваются. Вме­сто этого формулируется антитезис, отрицание этого положе­ния, и тем или иным способом показывается его несостоятельность.

Поскольку К. д. использует отрицание доказываемого положе­ния, оно называется также доказательством от противно­го. Напр., врач, убеждая пациента, что тот не болен малярией, мо­жет рассуждать так: «Если бы действительно была малярия, имелся бы ряд характерных для нее симптомов, в частности общая слабость и озноб. Однако таких симптомов нет. Значит, нет и малярии».

К. д. проходит, таким образом, следующие этапы: выдвигается антитезис и из него выводятся следствия с намерением найти сре­ди них ложное; устанавливается, что в числе следствий действи­тельно есть ложное; делается вывод, что антитезис неверен; из лож­ности антитезиса делается заключение, что тезис является истинным.

В зависимости от того, как устанавливается ложность антите­зиса, можно выделить несколько вариантов К. д. Иногда ложность антитезиса удается установить простым сопоставлением вытека­ющих из него следствий с фактами, эмпирическими данными. Так, в приведенном примере рассуждение идет по схеме: если неверно первое, то второе; но второе неверно, значит, верно первое.

Нередко анализ самой логической структуры следствий антите­зиса позволяет сделать вывод, что он ошибочен. Так, если в чис­ле следствий встретились и утверждение, и отрицание одного и того же, можно сразу заключить, что антитезис неверен. Ложным будет он и в том случае, если из него выводится внутренне проти­воречивое высказывание о тождестве утверждения и отрицания.

 

[150]

Напр., для доказательства тезиса «Квадрат — это ромб с пря­мыми углами» выдвигается антитезис: «Неверно, что квадрат есть ромб с прямыми углами». Из последнего выводится как то, что у квадрата все углы прямые (т. к. быть квадратом значит иметь четы­ре прямых угла), так и то, что у квадрата углы не являются пря­мыми. Раз из антитезиса вытекает и утверждение, и отрицание одного и того же, значит, он неверен, а правильным является противоположное утверждение - тезис.

Рассуждение здесь идет в соответствии с законом косвенного доказательства:если из отрицания высказывания вытекает логи­ческое противоречие, само высказывание истинно.

Существует разновидность К. д., когда прямо не приходится ис­кать ложных следствий антитезиса. Согласно закону Клавия,если из отрицания высказывания вытекает это высказывание, оно являет­ся истинным. Напр., из отрицательного высказывания «Ни одно суждение не является отрицательным» вытекает: «Некоторые суж­дения являются отрицательными»; значит, истинно это утверди­тельное высказывание, а не исходное отрицательное.

К. д. — эффективное средство обоснования выдвигаемых поло­жений. Однако его специфика в определенной мере ограничивает сферу применения. Эта специфика состоит в том, что из антите­зиса, являющегося ложным, выводятся следствия до тех пор, пока не будет получено ложное утверждение или логическое противо­речие. Имея дело с К. д., приходится все время сосредоточиваться не на верном положении, справедливость которого необходимо обосновать, а на ошибочных утверждениях. Более серьезные воз­ражения против К.д. связаны с использованием в нем закона (сня­тия) двойного отрицания. Этот закон не признается универсаль­ным, неограниченно приложимым интуиционистской логикой.

КРУГ В ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ (лат. — circulus in demonstrando)

— ло­гическая ошибка в доказательстве, заключающаяся в том, что ис­тинность доказываемого положения (тезиса) обосновывается с помощью аргумента, истинность которого обосновывается с по­мощью доказываемого тезиса. Данную ошибку называют также «порочным кругом». В качестве примера можно привести доказа­тельство конечности и ограниченности Вселенной, приводивше­еся противниками учения Коперника. Защитники геоцентризма доказывали конечность Вселенной, опираясь на утверждение о том, что Вселенная в течение суток совершает полный оборот вокруг неподвижного центра, совпадающего с центром Земли. В свою очередь, истинность этого аргумента они доказывали, опира­ясь на утверждение о конечности Вселенной, т. к. при условии ее

[151]

бесконечности нельзя понять, каким образом бесконечная Все­ленная могла бы в течение одних суток совершить полный оборот около своего центра. Иными словами, тезис (положение о конеч­ности мира) доказывался посредством аргумента (суточное вра­щение мира вокруг центра), который сам доказывался при помо­щи доказываемого тезиса (положения о конечности мира).

В относительно коротких рассуждениях К. в д. сравнительно нетрудно обнаружить. Однако в доказательствах, включающих в себя длинные цепи умозаключений, круг может остаться незаме­ченным. Доказательство, содержащее в себе круг, не достигает своей основной цели — оно не обосновывает истинности доказыва­емого тезиса.

КРУГ В ОПРЕДЕЛЕНИИ

— логическая ошибка, связанная с на­рушением одного из правил определения и состоящая в том, что при определении некоторого понятия в определяющей части ис­пользуется понятие, которое, в свою очередь, определяется с помо­щью данного определяемого понятия. Напр., в определении «Вра­щение есть движение вокруг своей оси» будет допущена ошибка круга, если понятие «ось» само определяется через понятие «вра­щение»: ось есть прямая, вокруг которой происходит вращение. Частным случаем этой ошибки является тавтология — повторе­ние в определяющей части самого определяемого понятия, хотя, быть может, в несколько ином словесном выражении, напр.: «Фильтрование — процесс разделения с помощью фильтра» (см.: Определение).

 

[152]

Л

ЛЕММА (от греч. lemma — предположение)

- в математике вспо­могательное предложение, употребляемое при доказательстве од­ной или нескольких теорем. В логике — условно-разделительное, или лемматическое, умозаключение (см.: Дилемма).

«ЛЖЕЦА» ПАРАДОКС

- один из наиболее известных логиче­ских парадоксов. В простейшем его варианте человек произносит одну фразу: «Я лгу». Или говорит: «Высказывание, которое я сей­час произношу, является ложным». Или: «Это высказывание лож­но». Если высказывание ложно, то говорящий сказал правду и, зна­чит, сказанное им не является ложью. Если же высказывание не является ложным, а говорящий утверждает, что оно ложно, то его высказывание ложно. Оказывается, таким образом, что, если гово­рящий лжет, он говорит правду, и наоборот.

Традиционная лаконичная формулировка парадокса гласит: если лгущий говорит, что он лжет, то он одновременно лжет и говорит правду.

В ср. в. была распространенной такая формулировка «Л.» п.: «Ска­занное Платоном - ложно, — говорит Сократ. - То, что сказал Сократ, — истина, - говорит Платон». Возникает вопрос: кто из них высказывает истину, а кто — ложь?

Открытие «Л.» п. приписывается древнегреческому философу Евбулиду (IV в. до н. э.). Оно произвело громадное впечатление. Философ-стоик Хрисипп (ок. 281-208 до н. э.) посвятил ему три книги. Некто Филет Косский, отчаявшись разрешить парадокс, покончил с собой. Предание говорит, что известный древнегре­ческий логик Диодор Кронос (ум. ок. 307 до н. э.) уже на склоне лет дал обет не принимать пищу до тех пор, пока не найдет реше-

[153]

ние «Лжеца», и вскоре умер, ничего не добившись. В древности «Лжец» рассматривался как хороший пример двусмысленного выражения. В ср. в. «Л.» п. был отнесен к т. наз. «неразрешимым предложениям» и сделался объектом систематического анализа.

Особым вниманием «Л.» п. пользуется в современной логике. Нередко он именуется «королем логических парадоксов», ему по­священа обширная научная литература. И тем не менее, как и в случае многих других парадоксов, остается неясным, какие имен­но проблемы скрываются за данным парадоксом и как следует избавляться от него.

Чаще всего «Л.» п. считается характерным примером тех труд­ностей, к которым ведет смещение двух языков: языка предметно­го,на котором говорится о лежащей вне языка действительности, и метаязыка,на котором говорят о самом предметном языке. В повседневности нет различий между этими языками: и о дей­ствительности, и о языке говорится на одном и том же языке. Если язык и метаязык разграничиваются, утверждение «Я лгу» уже не может быть сформулировано.

Проблемы, связывавшиеся на протяжении веков с «Л.» п., ра­дикально менялись в зависимости от того, рассматривался ли он как пример двусмысленности, или же как выражение, внешне пред­ставляющееся осмысленным, но по своей сути бессмысленное, или же как образец смешения языка и метаязыка. И нет уверенности в том, что с этим парадоксом не окажутся связанными в будущем и другие проблемы (см.: Антиномия).

ЛОГИКА (от греч. logos — слово, понятие, рассуждение, разум), или: Формальная логика,

— наука о законах и операциях пра­вильного мышления. Согласно основному принципу Л., пра­вильность рассуждения (вывода) определяется только его логиче­ской формой,или структурой, и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. Различие между формой и содержанием может быть сделано явным с помощью особого язы­ка, или символики, оно относительно и зависит от выбора языка.

Отличительная особенность правильного вывода в том, что от истинных посылок он всегда ведет к истинному заключению. Та­кой вывод позволяет из имеющихся истин получать новые исти­ны с помощью чистого рассуждения, без обращения к опыту, интуиции и т. п. Неправильные выводы могут от истинных посы­лок вести как к истинным, так и к ложным заключениям.

Л. занимается не только связями высказываний в правильных выводах, но и многими иными проблемами: смыслом и значением выражений языка, различными отношениями между терминами

[154]

(понятиями), операциями определения и логического деления по­нятий, вероятностными и статистическими рассуждениями, па­радоксами и логическими ошибками и т. д. Но главные темы логи­ческих исследований - анализ правильности рассуждения, формулировка законов и принципов, соблюдение которых являет­ся необходимым условием получения истинных заключений в процессе вывода.

Правильным является, напр., рассуждение, следующее схеме: «Если есть первое, то есть и второе; есть первое, значит, есть и второе» (см.: Модус поненс).По этой схеме из высказываний «Если сейчас день, то светло» и «Сейчас день» вытекает высказывание «Сейчас светло». Какие бы конкретные истинные высказывания ни подставлялись в указанную схему, заключение обязательно бу­дет истинным.

В правильном рассуждении заключение вытекает из посылок с логической необходимостью,общая схема такого рассуждения вы­ражает логический закон. Рассуждать логически правильно — зна­чит рассуждать в соответствии с законами Л.

Л. не просто перечисляет некоторые схемы правильного рас­суждения. Она выявляет различные типы таких схем, устанавлива­ет общие критерии их правильности, выделяет исходные схемы, из которых по определенным правилам могут быть получены другие схемы данного типа, исследует проблему взаимной совместимости схем и т. д.

В современной Л. логические процессы изучаются путем их ото­бражения в языках формализованных,или логических, исчислений. Построение исчисления отличается тщательностью, с которой формулируются его синтаксические и семантические правила, от­сутствием исключений, характерных для естественного языка. Ис­следованием формального строения логических исчислений, пра­вил образования и преобразования входящих в них выражений занимается логический синтаксис. Отношения между исчисления­ми и содержательными областями, служащими их интерпретаци­ями или моделями,исследуются семантикой логической.

Современная Л. слагается из большого числа логических систем, описывающих отдельные фрагменты, или типы, содержательных рассуждений. Эти системы принято делить на Л. классическую,включающую классические Л. высказываний и Л. предикатов,и Л. неклассическую,в которую входят модальная Л., интуиционист­ская Л., многозначная Л., неклассические теории логического следо­вания, паранепротиворечивая Л., Л. квантовой механики и др. Каж­дая из этих Л. также включает, как правило, соответствующие Л.

[155]

высказываний и Л. предикатов. Таким образом, хотя Л. как наука едина, она слагается из множества более или менее частных сис­тем, ни одна из которых не может претендовать на выявление ло­гических характеристик мышления в целом. Единство Л. проявляет­ся прежде всего в том, что входящие в нее «отдельные» Л. пользуются при описании логических процессов одними и теми же методами исследования. Все они отвлекаются от конкретного содержания выс­казываний и умозаключений и оперируют только их формальным, структурным содержанием. В каждой применяется язык символов и формул, строящийся в соответствии с общими для всех систем принципами. И наконец, «сконструированная» Л. вызывает ряд воп­росов, характерных для любой системы: нет ли в ней противоре­чий, охватывает ли она все истины рассматриваемого рода и др. (см.: Непротиворечивость, Полнота, Разрешения проблема).Между разными логическими системами имеются определенные связи. Одни системы могут быть эквивалентны другим, или включаться в них, или быть их обобщением и т. д. Единство Л. проявляется также в том, что разные Л. не противоречат друг другу: законами одной из них не являются отрицания законов, принятых в другой.

История Л. насчитывает около двух с половиной тысячелетий и разделяется на два основных этапа. Первый начался с трудов Ари­стотеля (384-322 до н. э.) и продолжался до второй половины XIX - начала XX в., второй — с этого времени до наших дней. На первом этапе Л. развивалась очень медленно, это дало И. Канту по­вод заявить, что она является с самого начала завершенной наукой, не продвинувшейся после Аристотеля ни на один шаг. Ошибоч­ность такого представления была ясно показана в последние сто с небольшим лет, когда в Л. произошла научная революция и на смену традиционной Л. пришла современная Л.,называемая также математической или символической Л. В основе последней — идеи Г. Лейбница (1646-1716) о возможности представить доказатель­ство как математическое вычисление. Д. Буль (1815-1864) истол­ковал умозаключение как результат решения логических равенств, в результате чего теория умозаключения приняла вид своеоб­разной алгебры, отличающейся от обычной алгебры лишь от­сутствием численных коэффициентов и степеней. С работ Г. Фреге (1848-1925) начинается применение Л. для исследования оснований математики. Значительный вклад в развитие Л. в даль­нейшем внесли Б. Рассел (1872-1970), А. Н. Уайтхед (1861-1947), Д. Гильберт (1862-1943) и др. В 30-е годы фундаментальные ре­зультаты получили К. Гёдель (1906-1978), А. Тарский (1901-1983), А.Чёрч(р. 1903).

 

[156]

На первых порах современная Л. ориентировалась почти всеце­ло на анализ только математических рассуждений. Это поддержи­вало иллюзию, что развитие Л. не зависит от эволюции теорети­ческого мышления и не является в к.-л. смысле отображением последней.

В 20-е годы XX в. предмет логических исследований существенно расширился. Начали складываться многозначная Л.,предполага­ющая, что наши утверждения являются не только истинными или ложными, но могут иметь и другие истинные значения; модальная Л.,рассматривающая понятия необходимости, возможности, слу­чайности и т. п.; деонтическая Л.,изучающая логические связи нормативных высказываний, и др. Все эти новые разделы не были непосредственно связаны с математикой, в сферу логического ис­следования вовлекались уже естественные и гуманитарные науки.

В дальнейшем сложились и нашли интересные применения: Л. времени,описывающая логические связи высказываний о про­шлом и будущем; паранепротиворечивая Л.,не позволяющая вы­водить из противоречий все что угодно; эпистемическая Л.,изуча­ющая понятия «опровержимо», «неразрешимо», «доказуемо», «убежден», «сомневается» и т. п.; оценок Л.,имеющая дело с поня­тиями «хорошо», «плохо», «безразлично», «лучше», «хуже» и т. п.; Л. изменения,говорящая об изменении и становлении нового; причинности Л.,изучающая утверждения о детерминизме и при­чинности; парафальсифицирующая Л.,не позволяющая отвергать положения, хотя бы одно следствие которых оказалось ложным; релевантная Л. и др. Экстенсивный рост Л. не завершился и сейчас. Основные ее ветви, или разделы, можно сгруппировать так:

о базисная Л., в которую входят классическая Л., модальная Л., многозначная Л., неклассические теории логического следования;

>> металогика, исследующая сами логические теории, их внут­реннюю структуру и связи с описываемой ими реальностью;

о разделы математического направления, включающие теорию доказательства, теорию множеств, теорию функций, Л. вероятно­стей, обоснование математики;

о разделы, ориентированные на приложение в естественных и гуманитарных науках, такие, как индуктивная Л.,изучающая про­блематичные выводы, логические теории времени, причиннос­ти, норм, оценок, действия, решения и выбора и др.;

>> разделы, находящие применение при обсуждении опреде­ленных философских проблем: Л. бытия, Л. изменения, Л. части и целого, логические теории вопросов, знания, убеждения, вооб­ражения, стремления и т. п.

[157]

Границы между этими областями не являются четкими, одни и те же ветви Л. могут иметь одновременно отношение к филосо­фии и естествознанию, к математике и металогике и т. д.

Прояснение и углубление оснований современной Л. сопро­вождалось пересмотром и уточнением таких центральных ее по­нятий, как логическая форма, логический закон, доказательство, логическое следование и др.

Законы Л. долгое время представлялись абсолютными истина­ми, никак не связанными с опытом. Однако возникновение кон­курирующих логических теорий, отстаивающих разные множества законов, показало, что Л. складывается в практике мышления и что она меняется с изменением этой практики. Логические зако­ны - такие же продукты человеческого опыта, как и аксиомы евклидовой геометрии, тоже казавшиеся когда-то априорными. Именно постоянно повторяющаяся практика выявляла некото­рые общие и инвариантные отношения между вещами, вовлечен­ными в трудовую деятельность, и закрепляла их в сознании в виде некоторых логических структур, лежащих в основе формулирова­ния правил логики.

Доказательство,и в особенности математическое, принято было считать императивным и универсальным указанием, обязатель­ным для всякого непредубежденного ума. Развитие Л. показало, однако, что доказательства вовсе не обладают абсолютной, вне­временной строгостью и являются только опосредствованными средствами убеждения. Даже способы математической аргумента­ции на деле историчны и социально обусловлены. В разных логи­ческих системах доказательствами считаются разные последова­тельности утверждений, и ни одно доказательство не является окончательным.

Перемены, происшедшие в Л. в XX в., приблизили ее к реально­му мышлению и тем самым к человеческой деятельности, одной из разновидностей которой оно является.

Для правильного понимания предмета и задач формальной Л. важно четко представлять ее соотношение с диалектической Л. Ди­алектика как Л. исследует становление и развитие понятий и пред­ставлений, их отношения, переходы, противоречия. Диалектиче­ские принципы историзма, конкретности истины, единства абстрактного и конкретного, практики как критерия истины и т. д. направлены на познание закономерностей мышления, взятого в его движении и развитии, в последовательном постижении ре­альности. Формальная Л. главное внимание направляет на прояс­нение структуры готового знания, на описание его формальных свя-

 

[158]

зей и элементов. Диалектическая и формальная Л. - две разные науки, различающиеся как предметами своего исследования, так и методами.

Современная Л. находит применение во многих областях. В час­тности, она оказала влияние на развитие математики, прежде всего теории множеств, формальных систем, алгоритмов, рекурсивных функций; идеи и аппарат Л. используются в кибернетике, вычис­лительной технике, в электротехнике и др.