Умозаключения из суждений с отношениями

- умо­заключения, в которых посылки и заключение представляют собой суждения с отношениями родства, равенства, по степени, по величи­не, по времени и т. п. Они основываются на некоторых общих логи­ческих свойствах отношений (см.: Отношение типа равенства, От­ношение симметричное, Отношение транзитивное, Отношение реф­лексивное, Отношение функциональное и др.). Примерами таких умозаключений могут быть следующие:

1)	a = b	2)	a>b
	b = c		b>c
	a=c		a > с

УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ

- мыслительный процесс, в ходе которого из одного или нескольких суждений, называемых посылками, вы­водится новое суждение, называемое заключением или следствием. Умозаключения часто подразделяют на дедуктивные (см.: Дедук­ция)и индуктивные (см.: Индуктивная логика, Индуктивное умо­заключение).В дедуктивных У., если посылки истинны и при этом соблюдены соответствующие правила логики, то заключение будет истинным. В индуктивных У. при истинности посылок и при соблю­дении соответствующих логических процедур (напр., правил обоб­щения) заключение в общем случае может оказаться как истин­ным, так и ложным. Современная формальная логика на основе различных логических систем моделирует процессы У., протекаю­щие в мозгу человека. Правила логики выявляются на основе фор­мализации конкретных по содержанию У. В естественном конкретно-содержательном мышлении некоторые посылки часто пропускают­ся, не формулируются в явной форме, тем более не формулируются в явной форме и правила вывода: они применяются человеком на интуитивной основе Это ведет к появлению логических ошибок. Зна­ние всех подразумеваемых посылок, их логической формы, выяв­ляемой на основе формализации, а также правил логики позволяет контролировать использование различных форм умозаключающей деятельности мышления. В процессе рассуждения, представляющего собой сознательный, последовательно осуществляемый мыслитель­ный процесс, в процессе доказательства к.-л. положений мы часто пользуемся цепочками У. (см.: Сорит).Условием правильности та­ких рассуждений и доказательств является не только истинность посылок (аргументов, оснований), но и соблюдение правил логики

3) Смоленск севернее Рязани.

Рязань севернее Тулы.

Смоленск севернее Тулы.

4) Иван — сын Петра.

Петр — сын Андрея. _____

Иван — внук Андрея.

5) Точка A лежит на прямой между точками В и С.

Точка D лежит на той же прямой между точками A и B.

Точка D лежит на данной прямой между точками В и С.

[345]

Эти умозаключения широко используются в процессе мышления различного конкретного содержания.

УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЕ

- 1) умозаключение, связанное с переносом результата статистического исследования в некоторой выборке на всю популяцию; 2) умозаключение, связан­ное с переносом вероятности, характеризующей частоту элементов с фиксированным свойством Р в некотором множестве (популяции), на отдельные элементы этого множества.

Пример У. с. (1): допустим, мы хотим узнать, какой процент муж­чин в большом городе бреется электробритвой. Мы берем достаточ­но обширную выборку (напр., 1000 человек) в соответствии с пра­вилами статистического анализа и выясняем, что 800 из них бреют­ся электробритвой. Относительная частота исследуемого свойства равна 0,8. Затем мы переносим это свойство на мужчин всего города (на всю популяцию). По характеру такое умозаключение является ин­дуктивным (см.: Индуктивная логика).

 

[346]

Пример У. с. (2):

а) Относительная частота бреющихся электробритвой мужчин в городе равна 0,8.

б) Этот мужчина из города.

в) Вероятность того, что этот мужчина бреется электробритвой, равна 0,8.

Заключение (в) вытекает из посылок (а) и (б). Его можно ин­терпретировать так: утверждение (в) на основе (а) и (б) имеет вероятность 0,8. Здесь оценка 0,8 относится к предложению (гипоте­зе) и является логической (см.: Вероятность),тогда как в посылке (а) она является обычной статистической, частотой.

Формирование У. с. предполагает использование частотной веро­ятности.

УНИВЕРСУМ РАССУЖДЕНИЯ,см.: Предметная область.

УСЛОВНОЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ

— сложное высказывание, форму­лируемое обычно с помощью связки «если..., то...» и устанавливаю­щее, что одно событие, состояние и т. п. является в том или ином смысле основанием или условием другого. Напр.: «Если есть огонь, то есть дым», «Если число делится на 9, оно делится на 3» и т. п. У. в. слагается из двух более простых высказываний. То из них, которому предпослано слово «если», называется основанием, или антеце­дентом (предыдущим); высказывание, идущее после слова «то», на­зывается следствием, или консеквентом (последующим). Утвер­ждая У. в., мы прежде всего имеем в виду, что не может быть так, чтобы то, о чем говорится в его основании, имело место, а то, о чем говорится в следствии, отсутствовало. Иными словами, не может слу­читься, чтобы антецедент был истинным, а консеквент — ложным.

Типичной функцией У. в. является обоснование одного выс­казывания ссылкой на другое высказывание. Напр., электропровод­ность серебра можно обосновать ссылкой на то, что оно металл: «Если серебро — металл, оно электропроводно».

Выражаемую У. в. связь обосновывающего и обосновываемого (основания и следствия)трудно охарактеризовать в общем виде, и только иногда природа ее относительно ясна. Эта связь может быть, в частности, связью логического следования,имеющей место между посылками и заключением правильного умозаключения («Если все живые многоклеточные существа смертны и медуза является таким существом, то она смертна»). Связь может представлять собой за­кон природы («Если тело подвергнуть трению, оно начнет на­греваться») или причинную связь («Если Луна в новолуние находится в узле своей орбиты, наступает солнечное затмение»). Рас­сматриваемая связь может иметь также характер социальной зако­номерности, правила, традиции и т. п. («Если меняется базис, меня-

[347]

ется и надстройка», «Если обещание дано, оно должно быть выпол­нено»).

Связь, выражаемая У. в., предполагает, что консеквент с опре­деленной необходимостью «вытекает» из антецедента и что есть некоторый общий закон, сумев сформулировать который, мы мо­жем логически вывести консеквент из антецедента. Напр., У. в. «Если висмут — металл, он пластичен» предполагает общий закон «Все металлы пластичны», делающий консеквент данного высказы­вания логическим следствием его антецедента.

И в обычном языке, и в языке науки У. в., кроме функции обоснования, может выполнять также целый ряд других задач. Оно может формулировать условие, не связанное с к.-л. подразумевае­мым общим законом или правилом («Если захочу, разрежу свой плащ»), фиксировать какую-то последовательность («Если прошлое лето было сухим, то в этом году оно дождливое»), выражать в своеобразной форме неверие («Если вы решите задачу, я докажу великую теорему Ферма»), противопоставление («Если в огороде растет бузина, то в Киеве живет дядька») и т. п. Многочисленность и разнородность функций У. в. существенно затрудняет его анализ.

У. в. находит очень широкое применение во всех сферах рассужде­ний. В логике оно представляется, как правило, посредством импликативного высказывания, или импликации. При этом логика прояс­няет, систематизирует и упрощает употребление «если..., то...», освобождает его от влияния психологических факторов.

Логика отвлекается, в частности, от того, что характерная для У.в. связь основания и следствия в зависимости от контекста может выражаться не только с помощью «если..., то...», но и с помощью других языковых средств. Напр.: «Так как вода жидкость, она пере­дает давление во все стороны равномерно», «Хотя пластилин и не металл, он пластичен», «Если бы дерево было металлом, оно было бы электропроводно» и т. п. Эти и подобные им высказывания пред­ставляются в логике посредством импликации, хотя употребление в них «если..., то...» не совсем естественно.

В логических системах абстрагируются от особенностей обычного употребления У.в., что ведет к различным импликациям. В частно­сти, в классической логике вводится импликация материальная,пред­полагающая, что истинность или ложность импликации определя­ется исключительно истинностью или ложностью ее антецедента и консеквента и никак не зависит от наличия между ними связи по форме и содержанию.

УСЛОВНОЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ

- умозаключение,включающее посылки, представляющие собой условные суждения (см.: Условное высказывание).У. у. может состоять лишь из одной условной посыл-

 

[348]

ки, может включать кроме условной и другие посылки, не являю­щиеся условными, а также может состоять из многих посылок -условных суждений. Примером У.у., состоящего из одной условной посылки, может быть простое умозаключение, называемое простой контрапозицией условного суждения (см.: Контрапозиции законы).Структура его такова:

Если S есть Р ,то S ₁есть Р ₁. _____

Если S₁ не есть Р ₁,то S не есть Р. (1)

Это означает, что для получения заключения требуется взять отрицание основания и отрицание следствия в условной посылке и поменять их местами. Пример:

Если к.-л. животное является млекопитающим, то оно является и позвоночным.

__________________________

Если к.-л. животное не является позвоночным, то оно не яв­ляется и млекопитающим.

Простейшим видом умозаключений, содержащим и другие по­сылки, не являющиеся условными, может быть условно - категори­ческое умозаключение:вторая посылка в нем является категоричес­ким суждением. Пример:

Если данное вещество является натрием, то спектр его раска­ленных паров дает желтую линию.

Данное вещество является натрием.

Спектр его раскаленных паров дает яркую желтую линию.

 

Первая посылка в этих У. у. — условное суждение, вторая — катего­рическое. Если структуру условного суждения записать в виде выра­жения «A É В»,где А, В — категорические суждения, É — связка, «если..., то», то можно представить четыре разновидности (модуса)условно-категорического умозаключения:

Здесь знак «ù» есть знак отрицания суждения и читается «невер­но, что...». Среди перечисленных разновидностей (модусов) лишь модусы (1) и (2) являются правильными: они во всех случаях при истинности посылок дают истинные заключения. Модус (1) назы­вается модусом поненс (утверждающим), модус (2) - модусом тол-

[349]

ленc (отрицающим). Модусы (3) и (4) при истинности посылок могут давать и ложные заключения. Пример модуса (4):

Если число п делится на 10, то оно делится и на 5.

Данное число п не делится на 10.

Данное число п не делится на 5.

Понятно, что если некоторое фиксированное число не делится на 10, то оно в зависимости от значения п может оказаться делимым на 5: к таким числам относятся 15, 25, 35 и т. д. Суждения A и В в составе условного суждения «A É В»могут иметь более сложную структуру: они могут быть, напр., или конъюнктивными, или дизъ­юнктивными. Тогда об умозаключениях, имеющих структуру (1) и (2), говорят как о модусе поненс или о модусе толленс, но не называют их условно-категорическими умозаключениями (см.: Мо­дус поненс, Модус толленс).У. у. может включать посылки, пред­ставляющие собой лишь условные суждения. Пример:

A É b
ù А É В	(I)
В

Если треугольник прямоугольный, то в нем против большего угла лежит и большая сторона.

Если треугольник не является прямоугольным, то в нем против большего угла лежит и большая сторона.

Против большего угла в треугольнике всегда лежит и большая сторона.

Распространенной структурой У.у. является следующая:

А É В В É С	(II)
А É С

Пример:

Если произведение художественной литературы лишено ис­кренности и правдивости, то оно не волнует читателя, не про­буждает у него глубоких чувств.

Если произведение художественной литературы не волнует чи­тателя, не пробуждает у него глубоких чувств, то оно не оказывает на него благотворного воспитательного воздействия.

___________________________________________________

Если произведение художественной литературы лишено ис­кренности и правдивости, то оно не оказывает на читателя благотворного воспитательного воздействия.

[350]

Такие У. у., у которых не только посылки, но и заключения представляют собой условные суждения, называются чисто услов­ными (чисто гипотетическими). Они могут включать не только две посылки, но и гораздо больше.

Если принимать во внимание не только переменные А, В, С для суждений, но и их отрицания, то при соблюдении следующих струк­тур мы будем получать при истинности посылок истинные заклю­чения. Таковы, напр., логические структуры:

 

Пример:

Если я буду свободен, то я буду дома.

Если я не буду свободен, то я буду в школе.

1) Если я не буду дома, то я буду в школе.

2) Если я не буду в школе, то я буду дома.

Это У. у. построено в соответствии со структурой (III).

УЧЕТВЕРЕНИЕ ТЕРМИНОВ (лат. quaternio terminorum)

— логи­ческая ошибка в простом категорическом силлогизме,обусловлен­ная нарушением правила, гласящего, что в силлогизме должно быть только три термина. Ошибка состоит в том, что в силлогизм вклю­чают четыре термина. Обычно это происходит благодаря тому, что слово, играющее роль среднего термина, в одной посылке выражает одно понятие, а в другой посылке — иное понятие. Напр.:

Все вулканы — горы.

Все гейзеры — вулканы. ______

Следовательно, все гейзеры — горы.

В первой посылке слово «вулканы» обозначает горы, из которых изливается огнедышащая магма; во второй посылке это же слово обозначает всякое извержение из недр земли. Поэтому в приведен­ном силлогизме оказывается четыре разных термина, чем и обус­ловлено ложное заключение.

Ошибка У. т. по сути дела разрушает силлогизм. Посылки силло­гизма устанавливают отношение крайних терминов к среднему, и это позволяет нам сделать вывод об отношении самих крайних тер­минов. Но чтобы вывод оказался возможен, средний термин должен быть одним и тем же в обеих посылках. При У. т. в силлогизме не оказывается среднего термина и мы ничего не можем сказать об отношении крайних терминов. (См.: Силлогизм.)

[351]

Ф

ФАКТ (от лат. factum — сделанное, совершившееся)

— 1) сино­ним понятия истина, событие, результат; нечто реальное, в противоположность вымышленному; конкретное, единич­ное, в отличие от абстрактного и общего; 2) в логике и мето­дологии научного познания — особого рода предложения, фиксиру­ющие эмпирическое знание. Как форма эмпирического знания Ф. противопоставляется теории или гипотезе.

В понимании природы Ф. в современной методологии науки можно выделить две тенденции: фактуализм и теоретизм. Сторон­ники фактуализма исходят из той идеи, что научные Ф. лежат вне теории и совершенно не зависят от нее. Поэтому подчеркивается автономность Ф. по отношению к теории. Если под Ф. понимают реальное положение дел, то его независимость от теории очевидна. Когда Ф. истолковывается как чувственный образ, то подчеркивается независимость чувственного восприятия от языка. Если же говорят о Ф. как о некоторых предложениях, то обращают внимание на особый характер этих предложений по сравнению с предложениями теории: они либо выражают чувственно данное, либо включают в себя резуль­таты наблюдения, либо верифицируются специфическим образом и т. п. Во всех случаях фактуализм резко противопоставляет Ф. и тео­рию. Из этого вытекает представление об инвариантности Ф. и языка наблюдения по отношению к сменяющим друг друга теориям. В свою очередь, с признаками инвариантности тесно связан примитивный кумулятивизм в понимании развития научного знания. Уста­новленные Ф. не могут исчезнуть или измениться, они могут лишь накапливаться, причем на ценность и смысл Ф. не влияет время их хранения: Ф., установленные, скажем, Фалесом, в неизменном виде

 

[352]

дошли до наших дней. Это ведет к пренебрежительной оценке позна­вательной роли теории и к инструменталистскому истолкованию пос­ледней. Надежное, обоснованное, сохраняющееся знание — это лишь знание неизменных Ф., а все изменчивое, преходящее в познании имеет значение лишь постольку, поскольку помогает открывать Ф. Ценность теории лишь в том, что после себя она оставляет новые Ф.

Теоретизм также понимает под Ф. чувственные образы или пред­ложения. Однако, в противоположность фактуализму, он подчерки­вает тесную связь Ф. с теорией. Если Ф. истолковывается как чув­ственный образ, то теоретизм подчеркивает зависимость чувственно­го восприятия от языка и концептуальных средств теории. Ф. в этом случае оказывается сплавом чувственного восприятия с некоторым предложением, которое формулируется теорией. Изменение этих предложений приводит к изменению Ф. Напр., глядя на картинку, изображающую два профиля, повернутые друг к другу, мы можем «увидеть» два разных «факта»: два профиля или вазу. Какой именно «факт» мы установим, зависит от теории, которой мы руководству­емся. Чувственное же восприятие остается в обоих случаях одним и тем же. Т. о., теоретизм приходит к выводу о полной зависимости Ф. от теории. Эта зависимость с его точки зрения настолько велика, что каждая теория создает свои специфические Ф. Ни о какой устойчи­вости, инвариантности Ф. по отношению к различным теориям не может быть и речи. Поскольку Ф. детерминируются теорией, по­стольку различия между теориями отражаются в соответствующих различиях между Ф. Это приводит теоретизм к признанию несрав­нимости конкурирующих теорий и к антикумулятивизму в понимании развития научного знания. Сменяющие друг друга тео­рии не имеют общих Ф. и общего языка наблюдения. Старая теория ничего не может передать новой и целиком отбрасывается вместе со своими Ф. после победы новой теории. Поэтому в развитии науки нет преемственности.

Можно согласиться с фактуализмом в том, что Ф. в определенной мере не зависят от теории и именно поэтому для теории важно соответствовать Ф. и иметь фактуальное подтверждение. Независи­мые от теории Ф. ограничивают произвол ученого в создании новых теорий и могут заставить его изменить или отбросить противореча­щую Ф. теорию. Для того чтобы Ф. могли влиять на создание, разви­тие и смену научных теорий, они должны быть в определенной сте­пени независимы от теории. Но сказать, что Ф. совершенно не зави­сят от теории, значит разорвать все связи между теорией и Ф. и лишить теорию всякой познавательной ценности. Можно согласить­ся и с теоретизмом относительно того, что теория в определенной

[353]

степени влияет на Ф., что Ф. «теоретически нагружены», что теория влияет на наше восприятие мира и на формирование Ф. Если мы признаем познавательную ценность теории, ее влияние на наше вос­приятие и понимание мира, мы не можем не признать ее влияния на Ф. Вместе с тем лишить Ф. всякой устойчивости по отношению к теории, сделать их целиком зависимыми от теории — значит отвер­гнуть их значение для процесса научного познания.

ФАЛЬСИФИКАЦИЯ (от лат. falsus — ложный, facio - делаю)

-процедура, устанавливающая ложность теории или гипотезы в ре­зультате эмпирической проверки. Понятие Ф. является фун­даментальным в методологической концепции К. Поппера, который обосновал важность этой процедуры для развития науки.

С логической точки зрения процесс Ф. описывается схемой модус толленс. Из проверяемой теории Т дедуцируется некоторое эмпири­ческое предложение a, т. e. согласно правилам классической матема­тической логики имеет место Т ->> A. Посредством эмпирических методов познания (наблюдения, измерения или эксперимента) пред­ложение А сопоставляется с реальным положением дел. Выясняется, что A ложно и истинно предложение ~А (не - А).Из Т -> A и ~А следует ~ Т,т. е. ложность теории Т.

Когда речь идет об изолированном предложении или гипотезе невысокого уровня общности и абстрактности, фальсифицирую­щий вывод часто оказывается полезным и помогает отсечь ложные предложения. Однако если мы рассматриваем сложную, иерархичес­ки упорядоченную систему предложений — теорию, то дело обстоит вовсе не так просто. Процедура Ф. обнаруживает только столкнове­ние теории с фактом, но не говорит нам, какой член противоречия ложен - теория или факт. Почему мы обязаны считать, что ложной является именно теория? Быть может, ложным является факт, кото­рый установлен в результате «грязного» эксперимента, неправильно истолкован и т. п.?

К этому добавляется еще одно соображение. Из одной теории обычно нельзя вывести эмпирического предложения. Для этого к теории нужно присоединить специальные правила, дающие эмпири­ческую интерпретацию терминам теории, и предложения, описываю­щие конкретные условия эмпирической проверки. Т. о., эмпиричес­кое предложение А следует не из одной теории Т, а из Т плюс правила эмпирической интерпретации плюс предложения, описыва­ющие конкретные условия. Если учесть это обстоятельство, то сразу же становится ясным, что из ложности предложения А мы не имеем права делать вывод о ложности теории Т. Ложная посылка может входить в добавляемые правила или предложения. Вот поэтому в

 

[354]

реальной науке, обнаружив столкновение теории с некоторым фак­том, ученые вовсе не спешат объявлять теорию ложной. Они еще и еще раз проверяют чистоту экспериментов, предпосылок, на которые опираются истолкование экспериментальных результатов, звенья фальсифицирующего вывода и т. д. Только тогда, когда таких фак­тов накопится достаточно много и появится гипотеза, успешно их объясняющая, ученые начинают склоняться к мысли о том, что их теория, возможно, ложна.

Несмотря на все трудности применения, процедура Ф. использу­ется в качестве одного из критериев научности гипотез и теорий. Всякая гипотеза или теория должна допускать возможность своего опровержения — только в этом случае она заслуживает серьезного рассмотрения. Если некоторая гипотеза в принципе неопровержима, то это означает, что она ничего не говорит о мире и не может прийти в столкновение с фактами. Следовательно, она ненаучна. Поэтому при выдвижении новых гипотез и теорий следует указы­вать, при каких условиях можно будет считать, что они опроверг­нуты. Если такие условия сформулировать нельзя, нет смысла рас­сматривать предложенную гипотезу или ставить эксперимент для ее опровержения.

ФИГУРА СИЛЛОГИЧЕСКАЯ, см.: Силлогизм.

ФИЗИЧЕСКАЯ МОДАЛЬНОСТЬ, см.: Онтологическая модальность.

«ФИЛОСОФСКАЯ ЛОГИКА»

- название, используемое иногда для обозначения разнообразных приложений идей и аппарата совре­менной формальной логики для анализа понятий и проблем фило­софии. Хотя формальная логика еще в прошлом веке отделилась («отпочковалась») от философии и перестала быть «философской дисциплиной», традиционная связь между этими науками не обо­рвалась. Обращение к философии является необходимым условием прояснения оснований логики. С другой стороны, применение в фи­лософии понятий и методов логики позволяет глубже осмыслить некоторые философские проблемы. «Философская логика» не явля­ется собственно логикой. Это — философия, точнее отдельные ее фрагменты, но трактуемые с применением не только естественного языка, дополненного определенной философской терминологией, но и с помощью искусственных (формализованных) языков логики. Последние позволяют придать ряду философских проблем недоста­ющую им точность, провести более ясные границы между философ­скими принципами, выявить логические их связи и т. п. Далеко не все философские проблемы допускают «логическую обработку», сама возможность последней не означает, что проблема, являющаяся по сути своей философской, превращается в проблему логики.

[355]

Из числа философских проблем, при обсуждении которых целесо­образно использовать логику, можно упомянуть проблемы научного закона, необходимости, причинности, детерминизма, объяснения и понимания, изменения и становления, искусственного интеллекта, ценностей и моральных принципов и др. Рассмотрение всех этих тем с привлечением логики не означает подмены ею философии. Логика только предоставляет средства, позволяющие философии с большей строгостью и убедительностью решать свои проблемы. В свою оче­редь, логика, используемая в философском анализе, сама получает мощные импульсы в результате обратного воздействия своих прило­жений. Имеет место именно взаимодействие логики и философии в исследовании определенных проблем, а не простое применение гото­вого аппарата логики к некоторому внешнему для него материалу.

ФОРМАЛИЗАЦИЯ (от лат. forma — вид, образ)

— отображение результатов мышления в точных понятиях и утверждениях. При Ф. изучаемым объектам, их свойствам и отношениям ставятся в соот­ветствие некоторые устойчивые, хорошо обозримые и отождествимые материальные конструкции, дающие возможность выявить и зафиксировать существенные стороны объектов. Ф. уточняет содер­жание путем выявления его формы и может осуществляться с раз­ной степенью полноты.

Выражение мышления в естественном языке можно считать пер­вым шагом Ф. Дальнейшее ее углубление достигается введением в обычный язык разного рода специальных знаков и созданием час­тично искусственных и искусственных языков.

Логическая Ф. направлена на выявление и фиксацию логической формы выводов и доказательств. Полная Ф. теории имеет место тог­да, когда совершенно отвлекаются от содержательного смысла ее исходных понятий и положений и перечисляют все правила логи­ческого вывода, используемые в доказательствах. Такая Ф. включает в себя три момента: 1) обозначение всех исходных, неопределяе­мых терминов; 2) перечисление принимаемых без доказательства формул (аксиом); 3) введение правил преобразования данных фор­мул для получения из них новых формул (теорем).

В формализованной теории доказательство не требует обращения к содержанию используемых понятий, их смыслу. Доказательство является здесь последовательностью формул, каждая из которых либо есть аксиома, либо получается из аксиом по правилам вывода. Про­верка такого доказательства (но не его отыскание) превращается в чисто механическую процедуру, которая может быть передана вы­числительной машине.

Ф. играет существенную роль в уточнении научных понятий. Мно­гие проблемы не могут быть не только решены, но даже сформули-

 

[356]

рованы, пока не будут формализованы связанные с ними рассуж­дения. Так обстоит дело, в частности, с широко используемым по­нятием алгоритма и вопросом о том, существуют ли алгоритмичес­ки неразрешимые проблемы.

Только с Ф. арифметики появилась возможность поставить воп­рос, охватывает ли формализованная арифметика всю содержатель­ную арифметику. Как показал К. Гёдель, достаточно богатая содер­жанием теория (охватывающая арифметику натуральных чисел) не может быть полностью отображена в ее формализованной версии; как бы ни пополнялась дополнительными утверждениями после­дняя, в теории всегда останется невыявленный, неформализованный остаток (см.: Гёделя теорема).