Поняття математичної статистики

Поняття математичної статистики

Мат. Статистика – це наука, яка вивчає методи збору, класифікації та обробки даних спостереження (статистичних даних) з метою отримання на їх основі обгрунтованих висновків.

Мат. Статистика базується на поняттях та методах теорії ймовірностей, причому в деякому розумінні мат. Статистика розв’язує задачі обернені задачам теорії ймовірностей, тобто мат. Статистика виявляє структуру статистичних моделей за результатами проведених спостережень.

Основні задачі мат. Статистики

А) Розробка методів збору і групування статистичних даних, отриманих в результаті спостережень або ж опрацювання статистичних звітів чи даних у результаті спеціально поставлених експериментів.

Б) Розробка методів аналізу статистичних даних залежно від мети досліджень:

— оцінка невідомої ймовірності випадкової події на основі спостережень; оцінка невідомої функції розподілу випадкової величини за даними, які отримані в результаті спостережень; оцінка параметрів розподілу, вид якого відомий; оцінка залежності в.в. від однієї або декількох вип. величин.

— точність точкового оцінювання, тобто це задача оцінювання близькості між точковою оцінкою параметра та істинним значенням параметра.

— перевірка статистичних гіпотез про вид невідомого розподілу або величину параметрів розподілу вид якого невідомий.

Поняття генеральної сукупності

Генеральна сукупність – це сукупність всіх значень деякої ознаки досліджуваних об’єктів.

Що таке вибірка?

Вибірковою сукупністю або вибіркою називається сукупність випадково відібраних об’єктів з генеральної сукупності.

Об’єм сукупності

Об’єм сукупності – це число об’єктів цієї сукупності

Основні способи відбору

1) Відбір, що не потребує розподілу генеральної сукупності на частини

a. Простий випадковий відбір без повернення

b. Простий випадковий повторний відбір

2) Відбір, в якому генеральна сукупність розбивається на частини

a. Типовий відбір

b. Механічний відбір

c. Серійний відбір

Простий відбір – це при якому об’єкти вибираються по одному із всієї генеральної сукупності.

Типовий відбір – відбір, при якому об’єкти вибираються з кожної типової частини.

Механічний відбір – це при якому всю генеральну сукупність ділять на декілька груп і з кожної групи вибирають по одному об’єкту.

Серійний відбір – це при якому об’єкти вибираються не по одному, а серіями.

Статистичний розподіл вибірки

Статистичний розподіл вибірки – це перелік варіант та відповідних їм частот або відносних частот. У випадку, коли обсяг дискретного рядку достатньо великий, то його можна перетворити на інтервальний, тобто статистичний розподіл можна задавати у вигляді послідовності інтервалів та відповідних їм частот (за частоту приймають в даному випадку суму частот елементів вибірки, які попали в даний інтервал).

Визначення частоти

Число, яке показує скільки разів зустрічалась варіанта х_і називається частотою і позначається n_i.

Визначення відносної частоти

Відносна частота показує долю конкретної варіанти у вибірці.

 

Визначення накопичувальної частоти

Накопичувальна частота – це сумарна частота варіант, які розміщені у варіаційному ряді нижче відповідної варіанти (якщо ряд дискретний) або верхнього кінця проміжку (якщо ряд інтервальний).

Варіаційний ряд, елемент вибірки

Впорядкована за зростанням послідовність називається варіаційним рядом. Елемент називається і -м членом варіаційного ряду або і -ю варіантою або і -ю впорядкованою статистикою.

Полігони частот та відносних частот

Полігон частот – ламана лінія, яка відображає залежність між варіантою та частотою і утворюється шляхом з’єднання прямим лініями точок (), де - відповідно варіанта і її частота.

Полігон відносних частот – ламана лінія, яка відображає залежність між варіантою і відносною частотою і утворюється шляхом з’єднання прямими лініями точок , де - відповідно варіанта і її відносна частота.

Як визначається функція розподілу, якщо всі компоненти вибірки різні?

Точкова оцінка.

Точковою оцінкою називають таку статистичну оцінку,яка визначається одним числом результати n випробувань випадкової величини .

Основні властивості оцінок.

1.Незміщеність

2. Конзистентність (слушність)

3. Ефективність

27. Незміщеність оцінки.

Означає що математичне сподівання оцінки співпадає з самою оцінкою.

або .

Наочно незміщеність оцінки параметра можна трактувати наступним чином: при багаторазовому використанні оцінки як значення , середнє значення

Ефективність оцінки.

Ефективність-це властивість незіщеної оцінки мати найменшу дисперсію.

Послідовність оцінок будемо називати асимптотично незміщеною параметра , якщо

або

30. Чи є оцінка для математичного сподівання незміщеною, консистентною та ефективною?

31.Чи є оцінка для дисперсії незміщеною, консистентною та ефективною?

Відповідь для двох:

1.будемо розглядати математичне сподівання.

Математичне сподівання будемо оцінювати як середнє арифметичне в результаті випробувань:

В якості оцінки для дисперсії виберемо:

Перевіримо чи є дані оцінки ефективними!

-однаково розподілені, так само як .

Нехай .

Чи є незміщенна оцінка матиматичного сподівання, яке визначається як вибіркове середнє:

Доведемо, що в нас є незміщенна оцінка дисперсії

Математичне сподівання не дорівнює оцінці.

Дана оцінка дисперсії є зміщеною оцінкою істинною, при великих об’ємах, розходження не суттєве.

Для отримання незміщеної оцінки дисперсії, нам потрібно нашу емпіричну дисперсію домножити на

Зазначимо, згідно закону великих чисел при збільшенні n величина збігається за ймовірністю до математичного сподівання.

Щоб довести конзистентність оцінки дисперсії треба виразити дисперсію через 2-ий початковий момент.

Другий член збігається за ймовірністю до теоретичного математичного сподівання .

Якщо математичне сподівання невідомі, то оцінка є незміщеною оцінкою дисперсії.

 

Гамма-розподіл

В.в. має гамма розподіл з параметрами якщо її щільність має вигляд:

Де Г-ф-ція визначається як

46. розподіл

Задається щільністю:

n-кількість ступенів свободи n=1,2….

- квантіль.

Розподіл Стьюдента

В.в. має -розподіл Стьюдента, якщо її щільність задається формулами:

при .

n-кількість ступені свободи

Розподіл Фішера-Снедекора

Нехай є дві незалежні в.в , що мають розподіл з n ступенями свободи.

має розподіл Фішера-Снедекора з степенями свободи.

49. Теорема про розподіл , де з ступенями свободи i=

Нехай у нас є вип. Величин, які є взаємонезалежними та мають розподіл

Відповідно з ступенями свободи, тоді мають розподіл з ступенями свободи.

50. Теорема про розподіл , де (0,1)

Нехай у нас є взаємонезалежні вип.. величини, що мають один і той самий стандартний нормальний розподіл N(0,1),, то сума квадратів має розподіл з n ступенями свободи.

51 Квантіль розподілу випадкової величини , що відповідає ймовірності називається таке значення , яке випадкова величина не переважає з ймовірності : .

52. Теорема про розподіл величини де (0,1) η розподіл з n ступенем свободи.

Нехай є дві незалежні вип. величини при чому має нормальний стандартний розподіл (0,1) η , тоді велечина

Довірча ймовірність

. Величина це як ймовірність того, що випадковий інтервал накриває точку .Ймовірність будемо називати довірчою ймовірністю,

Довірчий інтервал

Інтервал - називаємо довірчим інтервалом.

Довірчі границі

Інтервал , який визначається, як має випадкові кінці, їх називають довірчими границями.

Критерій згоди (означення)

Критерії згоди – критерії перевірки гіпотез про розподіл випадкової величини.

90. Критерій Колмогорова, використання критерію Колмогорова, правило перевірки гіпотези

Графік лінійної регресії

Графік лінійної регресії відповідний графік називається графіком лінійної регресії

Вибіркова коваріація

1. Вираз

Де густина розподілу випадкового вектора . Називається коваріацією двох випадкових величин.

 

Поняття математичної статистики

Мат. Статистика – це наука, яка вивчає методи збору, класифікації та обробки даних спостереження (статистичних даних) з метою отримання на їх основі обгрунтованих висновків.

Мат. Статистика базується на поняттях та методах теорії ймовірностей, причому в деякому розумінні мат. Статистика розв’язує задачі обернені задачам теорії ймовірностей, тобто мат. Статистика виявляє структуру статистичних моделей за результатами проведених спостережень.