Вибіркові характеристики вибірки, коли дані не повторюються

Вибірковий момент r -го порядку

Вибіркове середнє

Вибіркова дисперсія

Вибіркові характеристики вибірки, коли дані повторюються

Вибірковий момент r -го порядку

Вибіркове середнє

Вибіркова дисперсія

 

 

Означення емпіричної функції розподілу

Нехай нам відомо статистичний розподіл в.в. . Позначимо випадкову величину, яка дорівнює кількості елементів вибірки, які менші за х і покладемо , де дане відношення визначає відносну частоту події, де

Отже, емпіричною функцією розподілу (функцією розподілу вибірки) в.в. називається функція , що визначає відносну частоту події, де .

Основні властивості емпіричної функції розподілу

a.

b. - неспадна сходинкова функція

c. , де - найменша варіанта

d. , де - найбільша варіанта

Як визначається функція розподілу, якщо всі компоненти вибірки різні?

Як визначається емпірична функція розподілу, якщо всі компоненти вибірки повторюються?

21. Як визначається мода у випадку, коли дані вибірки повторюються?

У випадку коли дані вибірки повторюються мода визначається наступним чином:

Складаємо варіаційний ряд і визначаємо варіанту яка найчастіше повторюється.

22. Як визначається медіана у випадку, коли дані вибірки повторюються?

Складаємо варіаційний ряд і шукаємо варіанту яка ділить цей ряд пополам. Якщо кількість варіант не парна, то медіаною є елемент (n=2k)

Якщо кількість варіант є парною,то медіаною є

Як визначаються мода та медіана у випадку, коли дані вибірки згруповані по інтервалах?

- початок медіального інтервалу, тобто це початок такого інтервалу,в якому міститься серединний елемент.

h-довжина медіального інтервалу

n-об’єм вибірки

- накопичена проміжку, що передує медіані

- частота медіанного інтервалу

- початок модального інтервалу, тобто такого якому відповідає перша з нагромаджених частот,що перевищує половину всіх спостережень.

- довжина інтервалу

- частота модального інтервалу.

- частота домодального інтервалу

- частота післямодального інтервалу

24. Статистична оцінка.

Статистична оцінка невідомого параметра теоретичного розподілу називається функція від випадкової величини , які отримуються в результаті n спостережень.

Статистичні оцінки поділяться на:

1. Точкові

2. Інтервальні

Точкова оцінка.

Точковою оцінкою називають таку статистичну оцінку,яка визначається одним числом результати n випробувань випадкової величини .

Основні властивості оцінок.

1.Незміщеність

2. Конзистентність (слушність)

3. Ефективність

27. Незміщеність оцінки.

Означає що математичне сподівання оцінки співпадає з самою оцінкою.

або .

Наочно незміщеність оцінки параметра можна трактувати наступним чином: при багаторазовому використанні оцінки як значення , середнє значення

Конзистентність (слушність) оцінки.

Часто можна розгляядати не одну оцінку , що побудувона за вибіркою , а послідовність оцінок , які побудовані також за вибіркою. В цій ситуації природньо говорити про асимптотичну поведінку послідовності оцінок.

Конзистендність(слушність)- це збіжність оцінки до оцінюваного параметру за ймовірністю при збільшені об’єму вибірки.

Послідовність оцінок називається сильноконзистендною, якщо вона збігається до оцінюваного параметра з ймовірністю «1», при збільшенні об’єму вибірки.

 

Ефективність оцінки.

Ефективність-це властивість незіщеної оцінки мати найменшу дисперсію.

Послідовність оцінок будемо називати асимптотично незміщеною параметра , якщо

або

30. Чи є оцінка для математичного сподівання незміщеною, консистентною та ефективною?

31.Чи є оцінка для дисперсії незміщеною, консистентною та ефективною?

Відповідь для двох:

1.будемо розглядати математичне сподівання.

Математичне сподівання будемо оцінювати як середнє арифметичне в результаті випробувань:

В якості оцінки для дисперсії виберемо:

Перевіримо чи є дані оцінки ефективними!

-однаково розподілені, так само як .

Нехай .

Чи є незміщенна оцінка матиматичного сподівання, яке визначається як вибіркове середнє:

Доведемо, що в нас є незміщенна оцінка дисперсії

Математичне сподівання не дорівнює оцінці.

Дана оцінка дисперсії є зміщеною оцінкою істинною, при великих об’ємах, розходження не суттєве.

Для отримання незміщеної оцінки дисперсії, нам потрібно нашу емпіричну дисперсію домножити на

Зазначимо, згідно закону великих чисел при збільшенні n величина збігається за ймовірністю до математичного сподівання.

Щоб довести конзистентність оцінки дисперсії треба виразити дисперсію через 2-ий початковий момент.

Другий член збігається за ймовірністю до теоретичного математичного сподівання .

Якщо математичне сподівання невідомі, то оцінка є незміщеною оцінкою дисперсії.