Побудова довірчих інтервалів для математичного сподівання нормального розподілу при невідомої дисперсії.

Розглянемо випадкову величину , що має розподіл Студента із (n-1) степенями свободи.

Знайдемо число , яке б задовольняло рівність

Перепишемо вище наведену рівність і отримаємо довірчий інтервал

Зауважимо, якщо n>30 то розподіл Студента прямує до нормального розподілу.

63. Статистична гіпотеза – це деяке твердження(припущення) про вид розподілу випадкової величина, яке потрібно перевірити за даними вибіркової сукупності.

64. Гіпотеза або альтернатива називається простою, якщо їй відповідає лише одне значення параметра .

Приклад: .

65. Гіпотеза або альтернатива називається складною, якщо їй відповідає не одне значення параметра .

Приклад: .

66.Критерій перевірки гіпотези – називають деяку функцію , яка характеризує степінь відповідності вибіркових даних статистичній гіпотезі.

67. Область прийняття гіпотези – це замкнутий інтервал дійсної осі такий, що при попаданні критерію, що підраховується за даними вибірки, в дану область гіпотеза приймається. Має вигляд .

68. Критична область – це інтервал або інтервали дійсної осі такі, що при попаданні критерію, що підраховується за даними вибірки, в дану область гіпотеза не приймається. Складається із тих точок, що не увійшли в область прийняття рішення .

69. Помилкою першого роду називають відхилення справедливої гіпотези, тобто ми не приймаємо гіпотезу коли вона є справедливою.

70.Помолкою другого роду називають прийняття гіпотези, коли вона не справджується.

71.Рівнень значущост і – це максимально допустима ймовірність помилок першого роду, позначається . Заданий рівень значущості забезпечується за рахунок вибору критичної області і області прийняття рішень, вибирається таким чином .

72.Функція потужності критерію називають ймовірність відхилення основної гіпотези, яка обрахована, що істинне значення параметра .

- ймовірність підрахування даного параметра .

73. За нульову гіпотезу слід приймати те припущення неправильне відхилення якого приводить до менш незначних наслідків.

74. Критичним рівнем значущості називається максимальний рівень значущості при якому гіпотеза приймається.

75. Етапи перевірки статистичних гіпотез:

Визначення нульової гіпотеза та альтернатив.

Задання рівня значущості.

Вибрати критерій перевірки.

Визначити критичну область.

За результатами експерименту підрахувати фактичне значення критерію.

Визначаємо чи належить критерій критичній області, якщо так, то гіпотеза не приймається, інакше приймається.

76. Визначення області прийняття гіпотези та критичну область для гіпотези при альтернативі

Виберемо критерій. Оскільки емпіричним аналогом є частота, яка в свою чергу при об’ємі n визначається числом .

Критерій .

Із ростом ймовірності p число появи події А, що отримується в результаті спостережень має тенденцію до збільшення. Таким чином велике значення критерію говорить на користь альтернативи. Критична область для гіпотези при альтернативі визначається наступним чином . Оскільки в дійсності частота події А не може перевищувати кількість випробувань, критична область визначається , необхідно визначити .

Ми знаємо, що - рівень значущості повинен вибиратися так, щоб .Оскільки частота події А може трактуватися як кількість успіхів в n випробуваннях Бернулі з ймовірністю , то частота підкорюється біноміальному розподілу.

.

Підбираємо мінімальне значення , при якому рівність виконується. Враховуючи теорему Мавра-Лапласа і враховуючи, що критерій R має:

МR=n ; DR= n (1- ), тоді визначається

- функція Лапласа.

 

- де квантіль стандартного нормального розподілу.

Критична область .

77. Визначення області прийняття гіпотези та критичну область для гіпотези при альтернативі .

Виберемо критерій. Оскільки емпіричним аналогом є частота, яка в свою чергу при об’ємі n визначається числом .

Критерій .

Із ростом ймовірності p число появи події А, що отримується в результаті спостережень має тенденцію до збільшення. Таким чином велике значення критерію говорить на користь альтернативи. Критична область для гіпотези при альтернативі визначається наступним чином . Оскільки в дійсності частота події А не може перевищувати кількість випробувань, критична область визначається , необхідно визначити .

Ми знаємо, що - рівень значущості повинен вибиратися так, щоб .Оскільки частота події А може трактуватися як кількість успіхів в n випробуваннях Бернулі з ймовірністю , то частота підкорюється біноміальному розподілу.

.

Підбираємо мінімальне значення , при якому рівність виконується. Враховуючи теорему Мавра-Лапласа і враховуючи, що критерій R має:

МR=n ; DR= n (1- ), тоді визначається

- функція Лапласа.

 

- де квантіль стандартного нормального розподілу.

Критична область .

78. Визначення області прийняття гіпотези та критичну область для гіпотези ( при альтернативі

Критична область при якій гіпотеза спростовується.

Гіпотеза приймається в тому випадку, коли частота появи події А є досить малою і відповідно критична область матиме вигляд .

повинно бути найбільше число що задовольняє нерівність:

де - рівень значущості.

При великих об’ємах використовують нормальний розподіл, при цюму різниця між відкритими і закритими інтервалами стає не суттєвою.

Тоді, , звідки визначимо .

;

Критична область .

79. Визначення області прийняття гіпотези та критичну область для гіпотези при альтернативі

Гіпотеза відхиляється як при малих значеннях так і при великих, тобі будується область прийняття рішення гіпотези. І визначається як:

Знаємо ,

де МR= , DR=

Тоді , звідки визначаємо .

Область прийняття рішень

.

81. Визначення області прийняття гіпотези та критичної області при перевірці гіпотези , якщо

Розглянемо гіпотезу та альтернативу . - розподілені за нормальним законом. - верхня - границя із - ступенем свободи. гіпотеза відхиляється у протилежному випадку ні. Отже область прийняття гіпотези будується: отже область прийняття гіпотези .

82. Визначення області прийняття гіпотези та критичної області при перевірці гіпотези , якщо

Розглянемо гіпотезу та альтернативу . - розподілені за нормальним законом. - верхня - границя із - ступенем свободи. гіпотеза відхиляється у протилежному випадку ні. Отже область прийняття гіпотези будується: отже область прийняття гіпотези .

83. Визначення області прийняття гіпотези та критичної області при перевірці гіпотези , якщо

Розглянемо гіпотезу та альтернативу . - розподілені за нормальним законом. - верхня - границя із - ступенем свободи. гіпотеза відхиляється у випадку . Отже область прийняття гіпотези .

84. Вибір критерію для перевірки гіпотези про дисперсію нормального розподілу

Нехай - реалізація вибірки , які мають , відносно значення дисперсії висувається гіпотеза: . В якості критерію візьмемо наступну величину: яка має - розподіл з - ступенем свободи, де - вибіркова дисперсія на основі вибірки. - значення. Яке пропонується.

85. Визначення області прийняття гіпотези та критичної області при перевірці гіпотези , якщо

Розглянемо гіпотезу при альтернативі - фіксоване, то більшим значенням істинної дисперсії будуть відповідати більші значення емпіричної дисперсії. Область прийняття гіпотези: . Критична область: . Критерій має - розподіл з - ступенем свободи, тоді: . Область прийняття гіпотези в даному випадку визначається: .

86. Визначення області прийняття гіпотези та критичної області при перевірці гіпотези , якщо

Розглянемо гіпотезу при альтернативі - фіксоване, то більшим значенням істинної дисперсії будуть відповідати більші значення емпіричної дисперсії. Область прийняття гіпотези: . Тоді це є квантіль - розподіл з - ступенем свободи, тоді: . Область прийняття гіпотези в даному випадку визначається: .

87. Визначення області прийняття гіпотези та критичної області при перевірці гіпотези , якщо

Розглянемо гіпотезу при альтернативі - фіксоване, то більшим значенням істинної дисперсії будуть відповідати більші значення емпіричної дисперсії. Область прийняття гіпотези: . , . Область прийняття гіпотези в даному випадку визначається: .