Теорема про незміщеність емпіричних початкових моментів.(Доведення)

Емпіричні початкові моменти є незміщеною оцінкою відповідних елементів генеральної сукупності, при умові якщо вони існують.

Для емпіричного початкового моменту n-ого порядку ми маємо:

 

Нехай в нас є - незміщена оцінка параметра , тоді необхідно і достатньо, що умовою збіжності оцінки є збіжність дисперсії оцінки до 0.

Доведення аналогічне доведенню нерівності Чебишева.

 

33. немає

 

34.Означення кількості інформації за Фішером.

Функцію називають кількістю інформації за Фішером.

- щільність

35.Лема про рівність . (Доведення загальний випадок)

Якщо майже для всіх існують похідні , які є мажорвні інтегрованим функціям і виконується умова , то для всіх

, а

Доведення

Використовуючи властивості функції щільності зазначимо:

Візьмемо похідну і маємо:

Введемо наступні позначення:

Маємо:

Візьмемо другу похідну по :

Звідси ми отримуємо

Теорему доведено.

Теорема про нерівність Крамера-Рао (загальний випадок). Доведення.

Нехай задовольняються умови леми про рівність і - незміщена оцінка параметра , така що функція , мажоровна інтегрованою функцією , , тоді виконується нерівність:

, де величина - кількість інформації за Фішером.

Причому рівність досягається тоді і тільки тоді,коли можна подати у вигляді .

Наслідок теореми (про нерівність Крамера-Рао) про ефективність оцінки.

Якщо для оцінки виконується нерівність Крамера-Рао, зокрема перетворення на рівність, то оцінка є ефективною.

 

38.Лема про рівність (для дискретного розподілу). Доведення.

Якщо майже для всіх можливих значень вибірки існують похідні , .

, , , , то для всіх :

,і , де

Доведення аналогічне до леми в питанні 35.

 

Теорема про нерівність Крамера-Рао (дискретний розподіл). Доведення.

Нехай задовольняються умови леми про рівність (для дискретного розподілу) і - незміщена оцінка параметра така що функція для всіх можливих значень вибірки і ряд збігається абсолютно і рівномірно .

Тоді виконується нерівність , причому рівність справджується тоді і тільки тоді, коли можна подати у вигляді

Доведення аналогічне як у питанні 36.

 

Метод моментів побудови точкових оцінок.

Нехай в нас є вибірка , , де розподіл залежить від параметру який в свою чергу є вектором S . Нам потрібно оцінити невідомі параметри .

Першим загальним методом побудови оцінок невідомих параметрів за вибіркою є метод моментів, що запропонований Пірсоном.

Взагалі можна показати, що початковий та центральний емпіричні моменти є конценстендними оцінками відповідно початкового і центрального моментів першого порядку. Згідно з методом моментів певну кількість вибіркових моментів прирівнюють до відповідних моментів ,розподілу .

Ці вибіркові моменти обчислюються при значеннях параметрів , що дорівнюють відповідно .

Перший вибірковий момент:

Розглянемо кількість початкових моментів, що дорівнює кількості невідомих параметрів, які потрібно оцінити, обертають таку саму кількість рівнянь для визначення невідомих параметрів.

 

Метод максимальної правдоподібності побудови точкових оцінок.

Даний метод був запропонований Фішером. Нехай випадкові величини є дискретними. Припустимо,що вид закону розподілу у нас заданий, але невідомий параметр , потрібно знайти . Позначимо, що в результаті випробувань величина прийме значення: , - реалізація вибірки. В якості точкової оцінки приймають таке його значення при якому функція правдоподібності досягає максимуму, тоді оцінку називають оцінкою максимальної правдоподібності. - логарифмічна функція правдоподібності. Шукаємо точку мах функції наступним чином: 1)знаходимо похідну: ; 2) прирівняємо її до нуля і знаходимо корінь даного рівняння, це рівняння правдоподібності; 3) знаходимо другу похідну , якщо друга похідна від’ємна, то - точка мах. Знайдену точку мах приймають в якості оцінки мах правдоподібності параметра .

42. Оцінки максимальної правдоподібності.

В якості точкової оцінки приймають таке його значення при якому ф-ція правдоподібності досягає максимуму. Тоді оцінку наз. оцінкою макс. правдоподібності.