Определение умножения натуральных чисел через сложение.

Результатом действия умножения является произведение.

Произведением целых неотрицательных чисел а и в называется такое целое неотрицательное число, которое удовлетворяет следующим условиям:

1. если b > 1 => а * b = а + а +...+ а (b раз)

2. если b = 1 => а * в = а; (а * 1 = а)

3. если b=0 => а * в = 0; (а * 0 = 0)

Пример:

3*4=3+3+3+3=12

3 - слагаемое

4 - количество раз.

1 * 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 5

5*1=5 (по определению произведения)

0 * 2 = 0 + 0 = 0

2 * 0 = 0 (по определению)

Теоретико-множественный смысл произведения.

Пусть, А - число элементов, в каждом попарно непересекающихся равномощных между собой В множеств.

А = n(А1) = n(А2) =... = n(А_b)

А1, А2,..., A_b - попарно непересекающиеся равномощные между собой множества.

Тогда произведение а * в будем называть числом элементов в объединении этих В множеств.

а * b = n(А1 U А₂ U... U А_b)

Пример:

4 = n(А1) = n(А2) //// - А1

4 * 2 = n(А1 U А₂ ) = 8 **** - А2

Определение произведения целых неотрицательных чисел через декартово произведение множеств:

Пусть А – целое неотрицательное число, определяющее число элементов в некотором множестве А, а В – число элементов в некотором множестве В.

а = n(А) и b= n(В).

Тогда, произведением а и в будем называть число элементов в декартовом произведении множеств А и В.

а * b= n(А х В)

Пример:

Пусть 3 – это число элементов во множестве А, а 4 – число элементов во множестве В. Тогда декартово произведение будет содержать 8 элементов. Следовательно: 2 * 4 = 8.

2 * 4

2 = n(А)

4 = n(В)

А х В = 8 => 2 * 4 = 8

Свойства умножения и теоретико-множественная интерпретация.

1) Коммутативное свойство: для любых целых неотрицательных чисел а и b верно равенство: а * b = b * а

2) Ассоциативное: для любых целых неотрицательных чисел а, b и с верно равенство: (а * b) * с = а * (b * с).

3) Дистрибутивное свойство умножения относительно сложения: для любых целых неотрицательных чисел а, b и с верно равенство: (а + b) * с = а * с + b * с.

(а+b)*с = а*с+b*с => А х(ВUC) = (АхВ) и (АхС)

(а-b)*с = а*с-b*с => А х (В\С)=(АхВ) \(АхС)

Билет 21

1. Понятие соответствия между множествами. Взаимно однозначные соответствия. Определение числовой функции. Способы задания функции.. Примеры числовых функций из начального курса математики, заданных при помощи: а) таблицы, б) выражения с переменной, в) формулы.

Соответствием между элементами множества Х и элементами множества Y называется любое подмножество декартова произведения множеств Х и Y.

Способы задания соответствия:

1. соответствие может быть задано с помощью перечисления элементов, входящих в него:

Х={1; 2; 3}

Y= {2; 4}

T= {(1;2); (1;4); (2;4); (3;4)}

2. при помощи характеристического свойства:

Т: “х<y”

3. при помощи графика:

Y

4. при помощи графа:

Соответствие между элементами множества Х и элементами множества Y называется взаимнооднозначным, при котором каждому элементу из множества Х соответствует единственный элемент из множества Y, и каждый элемент из множества Y соответствует единственному элементу из множества Х. Пример: соответствие, которое задается формулой х=у, причем множество Х и множество Y есть множества действительных чисел.

Если множества конечны, то отношение взаимнооднозначно только, если они содержат одинаковое количество элементов.

Если между множествами можно установить взаимнооднозначное соответствие, то такие множества называются равномощными.

N=x

Y= {y/y? N; y=2n}

Числовой функцией называется такое соответствие между некоторым числовым множеством Х и множеством действительных чисел Y, при котором каждому элементу из множества Х ставится единственный элемент из множества Y.

Х является областью определения функции. Y – область значения функции.

Y – это множество всех тех действительных чисел х, которые являются элементами множества Х.

Способы задания функции:

1. при помощи уравнения-формулы

2. при помощи таблицы

3. с помощью графика

Истомина Н.Б. 4 класс № 593 с. 227

 

Билет 22

1. Понятие дроби и положительно рационального числа. Запись любого натурального числа в виде дроби. Отношение «равно», «меньше», «больше» на множестве положительных рациональных чисел. Различные способы установления этих отношений. Подходы к трактовке понятия дроби в начальном курсе математики.

Пусть дан некоторый отрезок … и единичный отрезок …, который состоит из е = ne₁. Если отрезок а состоит из т отрезков (а = те₁), то длина отрезка а может быть представлена в виде а=те/n, где символ т/n называется дробью, причем т и n – натуральные числа.

Дроби называются равными, если они выражают длину одного и того же отрезка при одной и той же единице длины.

Основное свойство дробей заключается в следующем: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, неравное нулю, то получится дробь равная данной.

Сократить дробь – это значит заменить дробь ей данной но с меньшим числителем и знаменателем.

Неразрывно с понятием дроби связано понятие положительного рационального числа – множества равных между собой дробей, каждая из которых является записью этого положительного рационального числа. Например: а = 1/2 (а – положительное натуральное число, записью которого является дробь 1/2).

*Любое натуральное число может быть записано в виде дроби со знаменателем 1. Например: 4 = 4/1, 6 = 6/1 и т.п.

*Можно ли считать, что записью натурального числа является дробь 8/4? Да, т.к. эту дробь можно сократить на 4 и получится дробь 2/1, что равно натуральному числу 2.

*Любое натуральное число можно записать в виде несократимой дроби. (дробь называется несократимой, если наибольший общий делитель числителя и знаменателя =1).

Прежде чем вводить понятия больше/меньше для положительных рациональных чисел следует рассмотреть правила сравнения дробей:

1. если знаменатели дробей равны, то больше та дробь, числитель которой больше, например: а/m >b/m, если a>b.

2. если дроби имеют одинаковый числитель, то больше та дробь, знаменатель которой меньше, например: m/a > m/b, если a < b.

3. m/n > p/k, если mk > pn

Введем понятие «меньше» на множестве рациональных чисел:

Пусть a и b положительные рациональные числа, тогда a < b, если существует такое положительное рациональное число с, что a + c = b.

Множество положительных рациональных чисел можно упорядочить при помощи отношения меньше/больше, т.к. отношения меньше/больше являются отношениями порядка.

В начальной школе дети получают первое представление о дробях. Прием ознакомления с понятием дроби неразрывно связан с ознакомлением учащихся с понятием «доли». При ознакомлении с понятием дроби рекомендуется сначала ввести понятие доли:

- научить ее записывать,

- научить сравнивать доли с опорой на наглядность,

- научить решать задачи на нахождение доли от числа и числа по его доли.

После того, как дети получат представление о понятии доли, их знакомят с понятием дроби. Познакомить учащихся с понятием дроби значит:

- научить детей практически образовывать дробь

- научить называть дробь и показывать форму записи

- сформировать навык сравнения дробей с опорой на наглядность

- познакомить с решением задач на нахождение дроби от числа.

Ознакомление учащихся с образованием дробей должно обязательно проходить с помощью наглядных пособий. Для этого детям предлагается рассмотреть геометрическую фигуру (круг).

Разделим этот круг на несколько равных частей (на 4).

Далее следует показать ту или иную часть круга и

назвать ее. (Какую часть круга мы закрасили? Сколько было? Сколько закрасили?)

Далее учащимся сообщается, что полученная запись называется дробью и читается так 3/4. Число, которое находится над чертой называется числитель, а под чертой – знаменатель. Следует подчеркнуть, что число, которое стоит под чертой, указывает, на сколько равных частей мы разделили целое, а число, которое стоит над чертой, указывает, сколько таких равных частей мы взяли.

Аналогично проводится работа по получению других дробей, также записывается и рассказывается, что обозначает каждая дробь.

Для того, чтобы учащиеся осознали, что такое дробь, необходимо систематически работать над осознанием и пониманием детьми, что обозначает каждое число в записи дроби. Термины числитель и знаменатель можно вводить, а можно нет, но знание детьми того факта, что знаменатель обозначает, на сколько равных частей мы разделили целое, а числитель – сколько таких частей мы взяли, необходимо.

Также для осознания детьми понятия дроби эффективны следующие задания:

1. Дана иллюстрация, по ней записывают и называют дробь и в обратном порядке.

– 3/4.

 

 

2. Особо эффективным следует считать такое наглядное пособие:

Примерные вопросы:

- сколько вторых долей в целом прямоугольнике? сколько четвертых? и т.д.

- покажи в соответствующей полоске дробь 3/4

Т.к. сравнение дробей у учащихся осуществляется с помощью наглядности, то данное пособие является наиболее эффективным при обучении детей сравнению дробей. Например: покажи ту часть, которая соответствует дроби 3/8, а теперь ту, что соответствует дроби 1/4. Что больше 3/8 или 1/4?

Можно предлагать ученикам задания, в которых нужно не только сравнить дроби, но и записать результат сравнения при помощи математических знаков.

Задача: Длина ленты – 16 см. От неё отрезали – 3/8. Чему равна длина той части, которую отрезали?

1. разделить отрезок на 8 равных частей.
2. Теперь нужно из 8 частей взять 3 части.
3. 16 разделить на 8, а затем умножить на 3. (16: 8 * 3)

 

 

Билет 23

1. Определения отрезка, луча, угла, ломаной линии. Основные свойства этих фигур. Содержание данных понятий в начальном курсе обучения математике, виды определений. Примеры заданий из учебника математики для начальной школы, раскрывающих объём и содержание понятия угла.

По существующим на сегодняшний день программам по математике для начальной школы, а также выработанным стандартом необходимо отметить, что изучению геометрического материала уделяется достаточно большое внимание.

При ознакомлении учащихся начальной школы с различными геометрическими понятиями основной упор делается на те знания учащихся о геометрических понятиях, которые они почерпнули из практической своей деятельности.

Очень важно отметить, что ознакомление учащихся с различными геометрическими понятиями происходит постепенно с первых дней обучения ребёнка в школе.

Пример: при письме ребёнку предлагается выполнить упражнение: поставить точку, обвести квадратик, соедини нижнюю и верхнюю вершины клетки.

Кроме этого, различные геометрические фигуры предлагается использовать в виде счётного материала, тем самым закрепляя представления учащихся о различных геометрических фигурах.

Одно из первых геометрических понятий, с которым знакомятся учащиеся, является точка. Учащимся предлагается поставить две точки на некотором расстоянии друг от друга и соединить эти точки по прямой. В результате появляется геометрическая фигура на плоскость, которая называется отрезком.

Отрезок – множество точек плоскости лежащих на одной прямой и ограниченных с двух сторон.

С появлением отрезка учащиеся знакомятся с некоторым содержанием такого понятия как «отрезок».

Например:

- Между двумя точками этого отрезка существует бесконечное число точек этого отрезка.

- А точки, ограничивающие этот отрезок, являются его концами.

- Концы отрезка обозначаются заглавными латинскими буквами, и тем самым отрезку даётся имя.

Понятие «угла» является также одним из геометрических понятий.

Угол - это геометрическая фигура образованная двумя лучами, исходящими из 1 точки, эта точка называется вершиной угла, а лучи его сторонами.

На письме угол обозначается с помощью специального знака.

Различают понятие «угла» и «плоского угла».

Под углом понимается понятие луча исходящего из одной точки.

Под плоским углом - часть плоскости ограниченной двумя лучами, исходящими из 1 точки.

Развёрнутым углом называется угол, у которого стороны лежат на одной прямой (радианная мера = 180°).

Прямой угол – половина развёрнутого угла и его радианная мера = 90°.

В начальной школе у детей часто понятие об угле ассоциируется с понятием «плоского угла». Это связано, прежде всего, с тем, что наглядная модель угла, которая часто вырезается преподавателем из бумаги, и в качестве наглядной модели используется плоский угол.

Кроме понятия «прямого угла» дети знакомятся с такими понятиями как:

Острый угол – определяется как,угол, который меньше прямого угла.

И с понятием тупого угла - угол больше прямого угла.

Острым углом называется угол меньше 90°. А тупым называется угол, который больше 90°.

· При изучении понятия «угла», дети должны распознавать объекты принадлежащие объёму такого понятия как «угол».

· Должны научиться с помощью линейки выполнять простейшее построение угла. Важно чтобы ребёнок с помощью прямоугольного треугольника мог построить прямой угол, а с помощью линейки как острый, так и тупой угол.

· Важно учить детей обосновывать свои умозаключения при определении вида того или иного угла. Т.е. когда ребёнок говорит, что данный угол является острым, он должен уметь обосновывать своё суждение. Это обычно предлагается делать при помощи модели прямого угла.

Ребёнок накладывает модель прямого угла на рассматриваемый угол, и в зависимости от того как модель располагается к рассматриваемому углу делается соответствующий вывод.

Важно учить ребёнка делать эту операцию технически правильно, т. е. следить за тем, что бы углы модели совпадали с углами прямого угла.

Особо интересны и важны для детей задания, в которых им предлагается найти углы в различных геометрических фигурах, а так же в предметах и объектах окружающих ребёнка.

Луч -это часть прямой ограниченной с одной стороны.

С понятием луча связано понятие «числовой луч», которое активно используется при изучении различных математических понятий, а также определённых вычислительных приёмов.

В курсе математики так же рассматривается понятие «ломаная линия».

Ломаная линия – совокупность отрезков, у которых каждый конец отрезка является началом следующего.

Ломаные линии бывают:

1. Замкнутые – когда начало первого отрезка совпадает с концом последнего.

2. Если ломаная линия не имеет самопересечения, то она называется - простой.

3. Имеющая самопересечения, т. е. не является простой.

 

 

А1, А2, А3, А4 – вершины ломаной.

Отрезки А1 А2; А2 А3; А3 А4 – являются её звеньями.

Учащимся в начальной школе предлагаются различные линии, такие как: кривая, прямая, ломаная, и они должны научиться различать эти линии между собой и знать какая линия как называется.

Важно уделять внимание формулированию детьми обоснования своих суждений.

Пример: среди множества объектов, которые являются различными линиями им нужно найти ту линию, которая является прямой.

Учитель должен сказать, что строить эту линию нужно при помощи линейки. У этой лини нет ни конца, ни края – эта линия прямая.

Изучение геометрических понятий проходит достаточно продуктивно и системно уже с первых дней обучения ребёнка в школе. Истомина Наталья Борисовна предлагает изображать различные геометрические фигуры как: отрезок, точка, ломанная, предлагая учащимся рисовать различные бордюры (орнаменты).