Теоретико-множественный смысл натурального числа.

Натуральное число – есть общее свойство класса конечных равномощных между собой множеств.

Нуль - общее свойство пустого множества, количество элементов в пустом множестве. 0=n(Ø)

Определение отношения «меньше» для натуральных чисел:

Число а меньше b тогда и только тогда, когда при счете число а называют раньше числа b.

Определение отношения «меньше» с теретико-множественной позиции:

Пусть а -число элементов в множестве А, а b -число элементов в множестве B, тогда а будет меньше b тогда и только тогда, когда множество А равномощно отрезку натурального ряда N_a, а множество B равномощно отрезку натурального ряда N_b и отрезок натурального ряда N_a является собственным подмножеством отрезка натурального ряда N_b.

Пример: Почему 5<7? 5<7, т.к. N5 С N7. 5 не больше 7, т.к. N7 не является подмножеством N5.

Теоретико-множественный смысл отношения «меньше»: а меньше b в том случае, когда отрезок натурального ряда (N_a) является собственным подмножеством натурального ряда (N_b)

3. Истомина 4 класс, с. 130, № 307

 

 

Билет 4

 

1. Определение деления натуральных чисел через умножение. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел. Условие существования частного натуральных чисел. Правило деления суммы на число, его теоретико-множественная интерпретация. Примеры заданий из начального курса математики, раскрывающих теоретико-множественный смысл частного.

Натуральные числа — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Частным натуральных чисел а и b называется такое число с, что а=b*с.

Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел.

1. Пусть а = n(А), и множество А разбито на попарно непересекающиеся равномощные между собой подмножества. Тогда если b - число элементов в каждом из этих подмножеств, то частным а и b будет называть число этих подмножеств.

2. Если b есть число этих подмножеств, то частным а и b будет называться число элементов в каждом из этих подмножеств.

Примеры:

1) 12:3

А /// /// /// ///

12 = n(А)

Разбиваем это множество А на попарно непересекающиеся равномощные подмножества, каждое из которых содержит 3 элемента.

Таких подмножеств 4, значит, 12:3=4

b=3

2) Пусть 12=n(А) и b=3

/ / / / / / / / / / / /

I II III (поочередно распределяем элементы по подмножествам - 1й-/, 2й-//, Зй-1///, 4й-/, 5й-//, 6й-/// и т.д.).

Тогда каждое из этих подмножеств будет содержать по 4 элемента.

n(А₁)=n(А₁)=n(Аз)=4, поэтому 12:3=4

Условие существования частного натуральных чисел:

Для того чтобы частное натуральных чисел а и b существовало на множестве натуральных чисел необходимо и достаточно, чтобы b не было равно нулю

А => В

А – достаточное условие для В.

В – необходимое условие для А.

Если частное существует, то, а>=b.

Правило деления суммы на число, его теоретико-множественная интерпретация.

1. Если а кратно в и с кратно в, где а и с - целые неотрицательные числа, а в – натуральное число, то сумма а + с делиться на в и равна сумме частных а: в и с: в.

(а кратно в и с кратно в) => ((а + с): в = а: в + с: в)

Для того чтобы сумму целых неотрицательных чисел разделить на натуральное число, достаточно на это число разделить каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

 

 

Билет 5

Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин. Примеры заданий из начального курса математики, раскрывающих смысл произведения и частного натуральных чисел – мер величин.

Умножение натуральных чисел полученных в результате измерения величин отражает переход от одной единицы измерения к другой. Т. е. если натуральное число m есть значение длины отрезка А при выбранной единице измерения Е, а натуральное число n - есть значение длины отрезка Е, при выбранной единицы длинны Е ₁, то произведение натуральных чисел m и n – есть численное значение длинны отрезка А, при единице длинны Е ₁.

m = m Е (А)

n = m Е ₁ (Е)

m * n = m Е ₁ (А)

A = 5 м = 5 * 1 м = 5 * 10 * 1 дм = (5 * 10 (m _1дм (А) ) = 50 * 1 дм = 50 дм

Под делением натуральных чисел полученных в результате измерения положительных скалярных величин, следует понимать переход от одной единицы измерения к другой. Т. е. если натуральное число m есть численное значение длинны отрезка А при выбранной единице измерения Е, а натуральное число n - есть значение длины отрезка Е ₁ при выбранной единицы длинны Е, то частное натуральных чисел m и n – есть численное значение длинны отрезка А, при единице длинны Е ₁.

m = m Е (А)

n = m Е (Е ₁ )

m: n = m Е ₁ (А)

A = 60 дм = 60 * 1 дм = 60 * 1: 10 м = (60: 10 (m _Е1 (А) ) * 1 = 6 * 1 м = 6 м

5 ящ. = 5 * 1 = 5 * 10 * 1 кг = (5 – 10) *1 кг = 50 кг

Представление натурального числа как результата измерения величин лежит в основе изучения математики в начальной школе по система Эльконина- Давыдова, поэтому наибольшее количество заданий раскрывающих в явном виде смысл умножения и деления натуральных чисел, полученных в результате измерения величин, находит своё отражение в учебниках созданных в указанной системе.

Пример: таких заданий из учебника Александровой Эльвиры Ивановны. (№ 34, 36, 37, 51)

Детям предлагается измерять одну и ту же величину при помощи различных мерок. Предлагаются различные задания на переход от одной мерки к другой.

 

БИЛЕТ № 6

Теоретико-множественный смысл суммы натуральных чисел. Свойства сложения, их теоретико-множественный смысл и назначение. Словесные формулировки свойств сложения, изучаемых в нач школе. Примеры заданий из начального курса математики, раскрывающих теоретико-множественный смысл суммы натуральных чисел.

Сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств. Например, если множество А содержит 5 элементов, а множество В – 4 элемента и пересечение множеств А и В, пусто, то число элементов в их объединении равно сумме 5 + 4.

Теоретико-множественных позиций сумма натуральных чисел а и в представляет собой число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств А и В таких, что а = n(A), b = n(B): а + в = n(A) + n(B) = n(A È B), если А Ç В = Æ.

Словесные формулировки свойств сложения, изучаемых в нач школе:

1. Переместительный закон (коммутативный) – от перемены мест слагаемых сумма не меняется
2. Сочетательный закон (ассоциативный) – сумма не зависит от порядка выполняемых действий или 2 соседних слагаемых можно заменить значением их суммы
3. Распределительный закон умножения (дистрибутивный)

Пример: «Катя нашла 3 гриба, а Маша – 4. Сколько всего грибов нашли девочки?»

В задаче рассматриваются три множества: множество А грибов Кати, множество В грибов Маши и их объединение. Требуется узнать число элементов в этом объединении, а оно находится сложением. Так как n(А) = 3, n(В) = 4 и А Ç В= Æ, то n(A È B) = 3 +4. Сумма 3 + 4 – это математическая модель данной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 3 + 4 = 7. Следовательно, девочки нашли 7 грибов.

 

Билет №7

1. Различные определений понятия «квадрат». Свойства и признаки квадрата. Определение понятия «квадрат» в начальном курсе обучения математике и алгоритм его использования при распознавании квадратов.

Квадрат – это один из видов геометрических фигур, который подробно изучается в курсе математики в начальной школе.

Если говорить о других геометрических фигурах, таких как угол, отрезок, треугольник, круг, то объем содержания, который рассматривается в начальной школе, достаточно узок. В случае же с квадратом, объем, раскрываемых существенных свойств этого понятия значительно более широк. Учащиеся знакомятся с целым рядом существенных свойств указанного понятия, а именно, что у квадрата:

- все стороны равны,

- все углы равны,

- чему равны периметр и площадь квадрата

- что квадрат – это вид прямоугольника.

Т.к. квадрат – это видовое понятие по отношению к понятиям «четырехугольник», «параллелограмм», «прямоугольник», «ромб», то соответственно квадрату можно давать различные определения в зависимости от родового понятия.

Квадрат – это параллелограмм, у которого соседние стороны равны и угол равен 90⁰.

Квадрат – это прямоугольник, у которого соседние стороны равны.

Квадрат – это ромб, у которого угол равен 90⁰.

Квадрат – это четырехугольник, у которого все стороны равны и угол равен 90⁰.

Признаки квадрата:

1. если в четырехугольнике все стороны равны и каждый угол равен 90⁰, то этот четырехугольник – квадрат.

2. если в ромбе угол равен 90⁰, то этот ромб – квадрат.

3. если в прямоугольнике соседние стороны равны, то этот прямоугольник – квадрат.

Т.к. – это и ромб, и прямоугольник, то он обладает всеми теми свойствами, которые присущи как прямоугольнику, так и ромбу, а т.к. квадрат еще является и параллелограммом, то он обладает и всеми свойствами, присущими параллелограмму.

Основные свойства квадрата:

1. диагонали пересекаются под прямым углом

2. диагонали квадрата равны

3. диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 4 равных прямоугольных треугольника.

4. площадь равна а², где а – длина стороны квадрата

5. периметр равен 4а

6. около квадрата можно описать окружность и вписать окружность в него, причем центры вписанной и описанной окружности совпадут.

Квадрат относится к одному из тех понятий, которому по определенным методикам дается явное определение, т.е. квадрат определяется как прямоугольник, у которого все стороны равны. Данное определение содержит определенный элемент избыточности, но для осознания детьми данного понятия эта избыточность методически обоснована.

Указанное определение лежит в основе распознания объектов, принадлежащих объему понятия квадрат в начальной школе.

Для того, чтобы дети распознали, является ли фигура квадратом, надо чтобы они прежде всего определили является ли фигура прямоугольником. Для этого они должны определить, обладает ли фигура следующими свойствами:

- является ли она четырехугольником

- все ли углы в четырехугольнике прямые

- равны ли в прямоугольнике все стороны между собой

Если все эти условия выполняются, то фигура является квадратом.

Квадрат достаточно часто в курсе математики начальной школы используется в качестве счетного материала на начальном этапе изучения математики. Использование квадрата в таком виде дает возможность создать у ребенка целостное представление о том, что такое квадрат. Является ли фигура квадратом, ребенок определяет визуально.

По мере изучения математики у детей расширяется представление о содержании такого понятия как квадрат. Причем следует отметить, что объем рассматриваемых существенных свойств квадрата зависит от того учебника математики, который используется учителем в начальной школе. Но объем некоторых существенных свойств является одинаковым для всех учебников.

Объем существенных свойств квадрата, которые должны знать все дети независимо от системы, по которой они занимаются, указан в стандартах по математике для начальной школы. Вот некоторые из них:

· это четырехугольник

· в квадрате все стороны равны

· в квадрате все углы прямые

· периметр квадрата

· площадь квадрата (а х а)

В некоторых учебниках еще рассматриваются такие понятия как:

- диагональ квадрата

- ось симметрии квадрата.

 

Билет 8

1. Понятия их объём. Отношения рода и вида между понятиями. Явные и неявные определения понятий. Примеры (2-3) явных и неявных определений понятий, изучаемых в начальном курсе математики.

Каждое понятие характеризуется термином, содержанием и объемом. Под объемом понятия следует понимать множество объектов, относящихся к этому понятию. Содержанием понятия называется совокупность всех существенных свойств данного понятия. Следует отметить, что чем больше объем понятия, тем меньше его содержание.

Приведем пример: В содержание такого понятия как четырехугольник входят: сумма углов четырехугольника равна 360^о и т.п., а в то же время в объем понятия входит множество таких четырехугольников как трапеция, параллелограмм, ромб и т.д.

Если взять такое понятие как квадрат, то к объему этого понятия можно отнести только четырехугольники, которые являются квадратами, а в содержание этого понятия входят все свойства четырехугольника, параллелограмма и все свойства специфичные для квадрата (S = a², диагонали одновременно равны и перпендикулярны).

Если объемы понятий совпадают, то такие понятия называют тождественными. Пример: равносторонний треугольник и равноугольный треугольник.

* Существенные свойства – это свойства, без которых указанное понятие существовать не может.

Одно понятие может определяться через другое, и в этом случае говорят, что эти понятия находятся в отношении рода-вида. Понятие четырехугольника является родовым по отношению к понятию квадрат, а квадрат есть видовое понятие по отношению к четырехугольнику. Видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Но нельзя сказать, что родовое понятие обладает всеми свойствами видового понятия.

Следует отметить, что одно и то же понятие может быть по отношению к одному родовым, а по отношению к другому видовым. Например: параллелограмм – родовое понятие по отношению к квадрату и видовое понятие по отношению к понятию четырехугольник. А также одно и то же понятие может иметь несколько родовых понятий. Например, для квадрата родовыми понятиями могут быть: параллелограмм, ромб, прямоугольник.

Определение – это логическая операция, раскрывающая содержание данного понятия. Определения бывают явные и неявные.

 

Явные	Неявные
Имеют форму равенства и состоят из двух частей: - определяемое понятие - определяющее понятие: родовое понятие и видовое отличие. Квадрат – это ромб, у которого углы прямые. Квадрат – определяемое понятие. Ромб – определяющее понятие, в котором ромб – это родовое понятие, а прямые углы – видовое отличие.	контекстуальные это такое неявное определение понятия, при котором суть (содержание понятия) раскрывается через рассказ. x+6=15 числа: 0, 5, 9, 10. Текст: к какому числу надо прибавить 6, чтобы получилось 15? Обозначим неизвестное число латинской буквой икс. x+6=15 – это уравнение Решить уравнение – значит найти неизвестное число	остенсивные определение понятия раскрывается через показ объектов, принадлежащих объему данного понятия. Пример понятия равенства и неравенства.

 

Требования к определению понятий:

· В определении должна отсутствовать избыточность, т.е. в определении должно быть указано именно столько существенных свойств определяемого понятия, которых было бы достаточно для распознания объектов, принадлежащих данному объему понятия.

Пример: Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые (достаточно было указать на один прямой угол).

· В определении должен отсутствовать порочный круг, т.е. одно понятие не может определяться через другое, которое в свою очередь определяется через первое.

Пример: Сложение – это когда числа складываются.

· В определении должны быть указаны все свойства, позволяющие однозначно выделять объекты, принадлежащие объему данного понятия.

Пример: Прямоугольный треугольник – это такой треугольник, у которого два угла острые, а один нет.

Важную роль в курсе математики в начальной школе играют так называемые неявные определения. С помощью этих определений в начальной школе дети получают те или иные представления, знания, умения о математических понятиях. Обычно в начальной школе используют контекстуально-остенсивные определения понятий, используя одновременно рассказ и показ для раскрытия содержания понятия. Пример: углы (Истомина 1 класс), уравнения (Моро 2-3 класс).