V. десятков тысяч класс тысяч

VI. сотен тысяч

VII.

VIII. класс миллионов

IX.

Представление натурального числа в десятичной системе счисления:

2382 = 4 * 10³ * 3 * 10 ² + 8 * 10 + 2

Следует отметить, что представление числа в 10 сс. находит своё отражение в несколько адаптированном виде в курсе математики в начальной школе и называется там представлением числа в виде суммы разрядных слагаемых.

4382 = 4000 + 300 + 80 + 2

Представление числа в 10 сс. даёт способ сравнения натуральных чисел, который состоит в следующем:

Х = а _п * 10 ^п + а _{п -1} * 10 ^п -¹ +...+ а₁ * 10 + а₀

Y = b _m * 10 ^m + b _{m -1} * 10 ^m -¹ +... + b₁ * 10 + b₀

Тогда:

1) если n > m, то x > y

2) n = m, то:

1. а _п > b _m => x > y (5 844 и 3 849, 5 > 3);

2. а _п = b _m

а _{п -1} = b _{m -1;}

а _{к+ 1} = b _{к +1}

а _к > b _к => x > y (45 8 23 > 45 8 19)

Ознакомление учащихся с особенностями 10 сс. происходит практически в процессе всего обучения математики в курсе начальной школы.

Т. е.:

- сначала дети знакомятся с этими особенностями на этапе изучения чисел первого десятка;

- получают представления о таких понятиях, как разряд единиц.

- познания детей расширяется на этапе изучения натуральных чисел и действий над ними в концентре сотни;

- вводятся такие понятия и названия как «разряд», «первый», «второй разряд единиц», «разряд десятков», «однозначное и двузначное число», «счётная единица», «десяток»;

- получают представления об алгоритме образования натурального числа и об алгоритме построении названия натурального числа.

Самое главное:

- дети знакомятся и осознают тот факт, что 10 единиц разряда единиц дают единицу следующего разряда.

Особенности ДСС:

- основание – число 10;

- набираем 10 единиц младшего разряда и получаем единицу следующего разряда.

*проблемность: возможность получить различные варианты ответов; чтобы обосновать правильность своего решения ребенок должен провести рассуждение.

• Задания, указывающие на то, что в основании лежит число 10:

Истомина 2 класс с.11 №33

Истомина 3 класс с.13 №52, с. 131 №421

Истомина 2 класс с.108 №323, с.117 №361

Задания комбинаторного плана:

Даны цифры 2 и 3. Составь с помощью этих цифр всевозможные двузначные числа:

Истомина 3 класс с.132 №426

Истомина 2 класс с.113 №345-346

 

 

Билет 13 1. Высказывания и высказывательные формы. Смысл логических связок «и», «или», «неверно, что» в составных высказываниях. Высказывания с кванторами, способы установления их значения истинности. Особенности формулирования высказываний с квантором общности в начальном курсе обучения математики и установления их значения истинности. Математические предложения подразделяются на элементарные и составные, и среди множества этих простых предложений выделяют высказывания и высказывательные формы (предикаты). Высказыванием называется такое предположение, относительно которого имеет смысл задать вопрос, истинно оно или ложно. Определить истинно высказывание или ложно – это значит найти значение истинности высказывания.Высказывания бывают элементарные и составные. Составные образуются из элементарных при помощи логических связок: и, или, если…то, не и т.д. Значение истинности элементарных высказываний определяется на основании тех знаний, умений и навыков, которыми владеют учащиеся. Значение истинности составных высказываний устанавливается по определенным правилам с помощью таблиц истинности. Высказывание вида А VB («или») называется дизъюнкциейвысказываний А и В. Для того, чтобы определить ее значение истинности, составляем таблицу:

А	В	А V В
и	и	и
и	л	и
л	и	и
л	л	л

Пример: 48 кратно 5 или 6. А: 48 кратно 5 В: 48 кратно 6 А В АVВ л и и   А B («и») – конъюнкция высказываний А и В. А - «не» А

А	А
и	л
л	и

Правила построения отрицания конъюнкции и дизъюнкции: 1. 48 кратно 5 и 6; 48 не кратно 5 или 48 не кратно 6. 2. 48 кратно 5 или 6; 48 не кратно 5 и 48 не кратно 6. Для того, чтобы построить отрицание высказывания, можно перед ним поставить слова неверно, что… Высказывательная форма –предположение, содержащее одно или несколько переменных, которое обращается высказыванием при подстановке в него вместо переменного или переменных конкретных значений. Это предложение, относительно которого не имеет смысл задавать вопрос истинно оно или ложно. Множество истинности высказывательной формы называются те значения переменного, при которых высказывательная форма превращается в истинное высказывание. Те значения переменного, на которых высказывательная форма определена, называется областью определения высказывательной формы. Для того, чтобы высказывательную форму преобразовать в высказывание, существуют специальные слова, называемые кванторами. Различают кванторы общности и кванторы существования. К кванторам общности () относятся слова: все, любой, каждый и т.д.К кванторам существования () относятся слова: некоторые, хотя бы один и т.д. Для того, чтобы обосновать истинность высказывания, содержащего квантор общности, надо привести доказательство. Пример: Любое из чисел 1, 2, 3 является решением неравенства х+1<8. Доказательство будем проводить методом полной индукции, т.е. рассмотрим все частные случаи, сравним их и сделаем общий вывод:х1=1 1+1< 8 – верно; х2=2 2+1< 8 – верно; х3=3 3+1< 8 – верно что и требовалось доказать Ложность высказывания, содержащего квантор общности, обосновывается при помощи приведения контрпримера. Пример: Все натуральные числа кратны 3. Данное высказывание ложно. Приводим соответствующий пример, который является контрпримером, опровергающим данные: число 5 не кратно 3. Для того, чтобы обосновать истинность высказывания, содержащего квантор существования, надо привести пример, опровергающий данное утверждение. Пример: Существуют числа кратные 3. Приводим пример: число 9 кратно 3, следовательно данное высказывание истинно. Для того, чтобы обосновать ложность высказывания, содержащего квантор существования, надо привести доказательство. Пример: Среди чисел 3, 5, 7 существуют числа, которые являются решением уравнения х – 7 = 6. Доказательство проведем методом полной индукции. Для этого подставим в уравнение вместо х каждое из чисел и получим в каждом частном случае неверное числовое равенство. Правило построения отрицания, содержащих кванторы: Для того, чтобы построить отрицание высказывания, содержащего квантор общности (существования), достаточно квантор общности (существования) заменить на квантор существования (общности), а предложение, идущее следом, его отрицанием. Примеры: 1. Любой квадрат является параллелограммом = Некоторые квадраты не являются параллелограммами. 2. Существуют натуральные числа кратные 5. = Все натуральные числа не кратны 5. Высказывания, содержащие кванторы, играют в курсе математики в начальной школе очень большую роль, т.к. с помощью таких высказываний учащимся разъясняются многие математические понятия, изучаемые в курсе математики в начальной школе. С помощью высказываний, содержащих квантор общности, раскрываются такие понятия как: - свойства арифметических действий (коммутативное, ассоциативное) - рассказывается о геометрических фигурах (все острые углы меньше 90^0) - свойства натурального ряда чисел (при прибавлении к любому числу 1 получается число, которое за ним непосредственно следует) .

 

Но учитывая возрастные и умственные возможности учащихся для облегчения формулировок, раскрывающих суть тех или иных математических понятий, кванторы общности принято опускать. Пример: При прибавлении к любому натуральному числу 1 получается число, которое за ним непосредственно следует. = Если к натуральному числу прибавить 1, то получится следующее за ним число. Как видно, квантор общности в данном случае опущен, но его присутствие в неявном виде обязательно.

Пример: Для любых натуральных чисел a и b верно равенство a + b = b + a. = От перестановки слагаемых сумма не меняется.

Для обоснования истинности высказывания, содержащего квантор общности, в начальной школе предлагается рассмотреть конкретные примеры.

Пример: 2+3= 4+1= 3+1=

3+2= 1+4= 1+3=

Детям предлагается решить пары примеров. Решая примеры, сравнивая результаты, дети приходят к соответствующему выводу. Такой подход позволяет учащимся начальной школы лучше осознать суть указанного свойства, способствует развитию мышления, т.к. на уроке создается ситуация поиска, присутствует исследовательский компонент, что вызывает у учащихся дополнительный интерес, что в свою очередь положительно влияет на развитие мотивации к изучению математики.

3. Истомина 2 класс, № 142 – 143 с. 56 – 57. 1)

 

 

Билет №14

1. Уравнение первой степени с одной переменной. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений. Примеры уравнений из учебников математики для начальной школы и способы их решения.

Пусть f(х) и g(х) два выражения с переменной, определенные на некотором множестве Х, тогда высказывательная форма вида f(x)=g(x) называется уравнением с одной переменной. Х – область определения уравнения.

Решить уравнение - значит найти все те значения переменной х из области определения уравнения, при которых уравнение превращается в истинное числовое равенство.

Решить уравнение - значит найти множество истинности высказывательной формы f(x)=g(x).

Два уравнения называются равносильными на некотором множестве X, если множества их решений совпадают.

Пример:

3(х – 2) = 0 равносильные уравнения, т.к множества их решений

3х – 6 = 0 совпадают