Напряжения в поперечных сечениях вала при кручении

 

Поворот при кручении смежных поперечных сечений друг относительно друга вокруг оси вала вызывает появление в них касательных напряжений t. Сдвиги элементарных площадок смежных сечений происходят в направлениях, перпендикулярных радиусам. Так же направлены и напряжения t, которые вдоль радиусов изменяются по закону прямой линии (рис. 3.1). Внутренний крутящий момент М_кр в поперечном сечении рассматриваемой части вала, действующий со стороны его отброшенной части, является результирующим моментом всех напряжений t, действующих по сечению, относительно оси вала.

, (3.8)

где M_кp - внутренний крутящий момент в рассматриваемом поперечном сечении;

J_p - полярный момент инерции рассматриваемого сечения.

Из формулы (3.8) следует, что максимальные касательные напряжения в конкретном поперечном сечении возникают в точках, наиболее удаленных от оси вала, то есть у его поверхности (при ρ=ρ_max=0,5d).

(3.9)

где - полярный момент сопротивления сечения кручению.

Для сплошного вала

.

Рисунок 3.1 - Схема распределения касательных напряжений по поперечному сечению вала

Подбор сечений валов

 

Для обеспечения надежной работы валы должны удовлетворять условию прочности и условию жесткости. Для валов, работающих на чистое кручение, условие прочности имеет вид

, ( 3. 10 )

где [ t ] - допускаемое касательное напряжение для материала вала.

Отсюда полярный момент сопротивления сечения, удовлетворяющий условию прочности:

.

Валы на чистое кручение никогда не работают, так как всегда кроме кручения испытывают изгиб от собственной силы тяжести, сил тяжести насаженных на него элементов передач и усилий в этих передачах. Однако даже при значительных изгибных нагрузках, при приближенных прикидочных расчетах валы считают работающими на чистое кручение, а действие изгиба косвенно учитывают путем понижения допускаемого напряжения [ t ].

Условие жесткости при кручении для валов имеет вид

, (3.11)

где [ q ] - допустимое значение относительного угла закручивания.

Отсюда полярный момент инерции сечения, удовлетворяющий условию жесткости,

.

При подборе сечений валов используют оба условия: условие прочности (3.10) и условие жесткости (3.11). При этом диаметр вала принимается равным большему из двух полученных значений, округленному в большую сторону до ближайшего стандартного.

Пример расчета

 

На передаточный вал сплошного круглого постоянного поперечного сечения (рис. 3.2,a) насажены четыре шкива. Шкив С получает от двигателя внешний крутящий момент m_С. Шкивы А, В, Д входят в ременные передачи, вторые шкивы которых насажены на три вала, параллельные рассматриваемому, со стороны которых он через эти шкивы получает внешние моменты m_A, m_B, m_Д. Три из четырех указанных моментов известны по величине и направлению, четвертый – неизвестен ни по величине, ни по направлению.

m_С=2100 Нм; m_A=600 Нм; m_Д=800 Нм;

G=8×10⁴ МПа; [ τ ] =20 МПа; [ θ ] =0,25 .

Для заданного вала построить эпюру внутренних крутящих моментов и определить диаметр, обеспечивающий его прочность и жесткость.

 

б

a

Рисунок 3.2 – Расчетная схема вала и эпюра внутренних крутящих моментов М_кр.z

1) Определим внешний момент m_B, для чего используем уравнение равновесия вала (3.2). Будем смотреть на вал слева, считая положительным направление m против часовой стрелки. Искомый момент m_B предварительно направим против часовой стрелки. Моментами трения в опорах вала будем пренебрегать.

Σm_Z = m_А + m_В - m_С + m_Д = 0;

m_В = -m_А + m_С - m_Д = - 600 + 2100 - 800 = 700 Нм.

Знак искомого момента m_В получился положительным, следовательно, его направление было выбрано верно.

2) Определим внутренние крутящие моменты в поперечных сечениях участков вала, используя указанное выше правило знаков (см. стр. 14). При этом будем перемещаться вдоль вала слева направо, отбрасывая левые и рассматривая правые его части.

При 0 £ Z £ 0,2 м: М_кр.z=m_А=600 Нм.

При 0,2 м £ Z £ 0,5 м: М_кр.z=m_А+m_В=600+700=1300 Нм.

При 0,5 м £ Z £ 0,9 м: М_кр.z=m_А+m_В-m_С=600+700–2100=-800 Нм.

Проверим последнее значение М_кр.z ходом справа налево:

При 0 £ Z £ 0,4 м: М_кр.z=-m_Д=-800 Нм.

Эпюра М_кр.z показана на рис. 3.2,б.

3) Определим диаметр вала, обеспечивающий условие его прочности:

.

Для сплошного вала W_p= .

Отсюда 69 мм.

С целью приведения в соответствие размерностей числителя и знаменателя выражения для d значение момента М_кр.max подставляем в него в Н×мм.

4) Определим диаметр вала, обеспечивающий условие жесткости

.

Для сплошного вала J_p= .

Отсюда 78 мм,

где = .

Окончательно принимаем d=80 мм.

5) Проверим прочность и жесткость рассматриваемого вала при d=80 мм.

12,7 МПа< [ t ],

где мм³.

<[ q ],

где мм⁴.

 

Вопросы для самоконтроля

1 Какой вид нагружения называют кручением?

2 В каких случаях вал будет работать начистоекручение?

3 Как по передаваемой мощности определить соответствующий крутящий момент?

4 Какую величину называют полярным моментом инерции сечения? Какова его единица измерения?

5 Какую величину называют полярным моментом сопротивления сечения? Какова его единица измерения?

6Что такое относительный угол закручивания?

7 Как распределяются касательные напряжения по поперечному сечению вала при кручении?

8 В каких точках вала возникают наибольшие касательные напряжения при кручении?

9 Как выглядит условие прочности вала при кручении?

10 Как выглядит условие жесткости вала при кручении?

11 Какие напряжения возникают в поперечных, продольных и наклонных сечениях вала при кручении?

12 В чем заключается закон парности касательных напряжений?