Правила вывода из сложных суждений

 

Различают два вида дедуктивных умозаключений в зависимости от того, учитывается ли в них внутренняя структура (логическая форма) простых суждений, входящих в посылки и заключение, или не учитывается. Займемся анализом правил дедуктивных выводов из сложных суждений, т.е. выводов, в которых внутренняя структура простых суждений не учитывается. Рассмотрим пример такого умозаключения:

1. Если ночью идет сильный дождь, то по утрам трава в поле мокрая.

2. В эту ночь шел сильный дождь.

3. Сегодня утром трава в поле мокрая.

Заключение 3. получено из посылок 1. и 2. по правилу дедуктивной логики, которое носит название модус поненс (сокращенно МП):

Если Х, то Y; Х

Y

Над чертой (она символизирует слово «значит», или «следовательно») расположены формы посылок умозаключения, а под чертой – форма его заключения. Смысл данного правила состоит в следующем. Если одна из посылок умозаключения имеет логическую форму условного суждения (Если Х, то Y), а другая совпадает с содержанием основания условного суждения (X), тогда признание этих посылок в качестве истинных суждений является достаточным для признания следствия условного суждения(Y). По этому правилу осуществляются, к примеру, такие умозаключения: Если у пациента высокая температура, то он болен. У данного пациента высокая температура. Значит, он болен \ Если лед нагревается, он тает. Данный кусочек льда нагревается. Следовательно, он тает \ Если обвиняемый совершил кражу, он подлежит привлечению к уголовной ответственности. Обвиняемый N. совершил кражу. Значит, он подлежит привлечению к уголовной ответственности.

Следующее дедуктивное правило носит название модус толленс
(сокращенно МТ):

Если Х, то Y; не- Y

Не-Х

Смысл его таков: если одна из посылок имеет структуру условного суждения (Если Х, то Y), а другая посылка совпадает с отрицанием следствия этого суждения (не-Y), тогда признание истинности этих посылок является достаточным основанием для отрицания истинности суждения Х, т.е. признания суждения не-Х. Примеры выводов по этому правилу: Если у пациента высокая температура, то он болен. Пациент N. не болен. Значит, у него нет высокой температуры \ Если лед нагревается, он тает. Данный кусочек льда не тает. Следовательно, он не нагревается \ Если обвиняемый совершил грабеж, он привлекается к уголовной ответственности по ст. 161 УК РФ. Обвиняемый N. не привлекается к уголовной ответственности по этой статье. Значит, он не совершил грабежа.

Сформулируем первое правило исключения дизъюнкции (сокращенно ИД₁):

X или Y; не- X

Y

Здесь слово «или» обозначает нестрогую дизъюнкцию, но на его месте может быть и строгая дизъюнкция «либо». Примеры умозаключений по этому правилу: Данное преступление совершено умышленно или по неосторожности. Умысла не было. Значит, преступление совершено по неосторожности \ Маша вышла замуж или состоит в гражданском браке. Маша замуж не выходила. Следовательно, Маша состоит в гражданском браке.

Второе правило исключения дизъюнкции формулируется с использованием строгой дизъюнкции (сокращенно ИД₂):

 

Х либо Y; Y

Не-X

Смысл его таков: признание одного из членов строгой дизъюнкции влечет отрицание другого. Пример соответствующего этому правилу умозаключения: Правонарушение является либо преступлением, либо проступком. Это правонарушение – проступок. Значит, оно не является преступлением.

Сформулируем еще один важный дедуктивный принцип, который назовем правилом исключения двойного отрицания (сокращенно ИО):

Неверно, что не-Х

Х

В соответствии с этим правилом из суждения с двойным отрицанием выводимо это же суждение, но уже без отрицаний. Например, если в качестве посылки фигурирует суждение Неверно, что Волга не впадает в Каспийское море, то из нее на основе правила ИО можно вывести суждение Волга впадает в Каспийское море.

Теперь рассмотрим правило, именуемое доказыванием от «противного» (сокращенно ДП). Представим себе ситуацию, в которой мы не уверены, что из истинных посылок Г некоторого умозаключения дедуктивно выводимо его заключение В, т.е. не уверены в том, что ложность В исключена. Предполагаем (принимаем допущение), что В – ложно, т.е. истинно суждение не-В. Задача теперь состоит в том, чтобы попытаться из множества посылок Г и допущения не-В вывести некоторое суждение Х, а затем убедиться, что на самом деле истинноего отрицание не-Х. (или, наоборот, вывести суждение не-Х, а затем убедиться, что на самом деле истинно суждение Х). Напомним, что по закону противоречия суждение и его отрицание не могут быть оба истинными. Поэтому, если наша попытка окажется удачной, то это будет означать, что заключение В не может быть ложным, т.е., что оно истинно.

Краткая запись рассматриваемого правила такова:

 

Из Г и не-В выводимо Х и не-Х

Из Г выводимо В

 

Рассмотрим пример «работы» этого правила. Пусть нам дано следующее умозаключение: Джон никогда не ходит на дело без Брауна. По крайней мере, один из рецидивистов – Смит или Джон – замешан в преступлении. У Брауна оказалось неоспоримое алиби. Значит, в деле замешан Смит. Спрашивается, построено ли данное умозаключение логически корректно? Принимаем допущение «от противного»: Смит не замешан в деле. Но тогда в деле замешан Джон, поскольку истинно, по условию задачи, суждение По крайней мере, один из рецидивистов – Смит или Джон – замешан в преступлении. А если в деле замешан Джон, то к преступлению причастен и Браун, поскольку Джон никогда не ходит на дело без Брауна. Но это противоречит другому условию задачи: У Брауна неоспоримое алиби. Значит, наше допущение ошибочно, и Смит должен быть признан виновным.

Корректность нашего умозаключения может быть установлена и без правила ДП. На первом шаге из первой посылки Если Джон идет на дело (q), то и Браун с ним (r) и третьей посылки У Брауна оказалось неоспоримое алиби (не-r) выводимзаключение Джон не замешан в преступлении (не-q) поправилу МП:

1. Если q, то r

2. не-r

3. не-q

 

На втором шаге из посылки По крайней мере, один из рецидивистов – Смит или Джонс – замешан в преступлении (p или q) и полученного заключения предыдущего вывода Джонс не замешан в в преступлении (не-q) выводим искомое В деле замешан Смит (p) по правилу УД₁:

1. p или q

2. не-q

3. p

 

Практикум

 

1. Определите, по каким дедуктивным правилам вывода построены следующие умозаключения:

а) Если хотят наслаждаться искусством, то должны быть художественно образованными людьми. Я хочу наслаждаться искусством. Значит, я должен быть художественно образованным человеком.

б) Если река выходит из берегов, то вода заливает прилегающие территории. Неверно, что вода реки залила прилегающие территории. Следовательно, неверно, что река вышла из берегов.

в) Только Джон или Смит принимали непосредственное участие в этой краже. Но у Смита оказалось алиби. Значит, Джон совершил кражу.

*Рассмотрим следующее умозаключение: Если какой-либо человек при виде чужой доблести ярится, то он мерзок. Этот человек не является мерзким. Следовательно, неверно, что он при виде чужой доблести ярится. Сначала запишем это умозаключение «столбиком»:

1. Если какой-либо человек при виде чужой доблести ярится, то он мерзок.

2. Неверно, что этот человек является мерзким.

3. Неверно, что он при виде чужой доблести ярится.

Введем следующие параметры вместо простых суждений: p – Человек при виде чужой доблести ярится; q – Человек мерзок. Теперь запишем формулы посылок и заключение в нашей логической символике:

1. Если р, то q

2. не - q

3. не - р

Нетрудно усмотреть, что наше умозаключение построено на основе правила Мт.

2. Из простых суждений Ян весь день сегодня находится дома и у Яна хорошее настроение постройте умозаключения по правилам Мп, Мт, Ид ₁.

4.2.2. Основные разновидности схем выводов
из сложных суждений