Чем дальше в лес, тем больше дров (Виды сложных суждений)

 

В зависимости от союза, с помощью которого простые суждения соединяются в сложные, выделяется пять видов сложных суждений: конъюнктивные, дизъюнктивные, импликативные, эквивалентные и отрицательные суждения.

Конъюнктивное суждение (конъюнкция) – это сложное суждение с соединительным союзом И, который обозначается в логике условным знаком «∧». С помощью этого знака конъюнктивное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: а ∧ b (читается «а и b»), где а и b – это два каких-либо простых суждения. Например, сложное суждение: Сверкнула молния, и загремел гром является конъюнкцией (соединением) двух простых суждений: Сверкнула молния и Загремел гром. Конъюнкция может состоять не только из двух, но и из большего числа простых суждений. Например: Сверкнула молния, и загремел гром, и пошел дождь (а ∧ b ∧ с).

Дизъюнктивное суждение (дизъюнкция) – это сложное суждение с разделительным союзом ИЛИ. Вспомним, что, говоря о логических операциях сложения и умножения понятий, мы отмечали неоднозначность этого союза – он может использоваться как в нестрогом (неисключающем) значении, так и в строгом (исключающем). Неудивительно поэтому, что дизъюнктивные суждения делятся на два вида: нестрогая и строгая дизъюнкция соответственно.

Нестрогая дизъюнкция – это сложное суждение с разделительным союзом ИЛИ в его нестрогом (неисключающем) значении, который обозначается знаком «∨». С помощью этого знака нестрогое дизъюнктивное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a ∨ b (читается «а или b»), где а и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение Он изучает английский, или он изучает немецкий является нестрогой дизъюнкцией (разделением) двух простых суждений: Он изучает английский и Он изучает немецкий. Эти суждения друг друга не исключают, ведь возможно изучать и английский, и немецкий одновременно, поэтому данная дизъюнкция является нестрогой.

Строгая дизъюнкция – это сложное суждение с разделительным союзом ИЛИ в его строгом (исключающем) значении, который обозначается знаком «∨_». С помощью этого знака строгое дизъюнктивное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: а ∨_ b (читается «или а, или b»), где а и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение: Он учится в 9 классе, или он учится в 11 классе является строгой дизъюнкцией (разделением) двух простых суждений: Он учится в 9 классе, Он учится в 11 классе. Обратим внимание на то, что эти суждения друг друга исключают, ведь невозможно одновременно учиться и в 9, и в 11 классе (если он учится в 9 классе, то точно не учится в 11 классе, и наоборот), в силу чего данная дизъюнкция является строгой.

Как нестрогая, так и строгая дизъюнкции могут состоять не только из двух, но и из большего числа простых суждений. Например: Он изучает английский, или он изучает немецкий, или он изучает французский (a ∨ b ∨ с); Он учится в 9 классе, или он учится в 10 классе, или он учится в 11 классе (a ∨_ b ∨_ c).

Импликативное суждение (импликация) – это сложное суждение с условным союзом ЕСЛИ…ТО, который обозначается знаком «=>». С помощью этого знака импликативное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: а => в (читается «если а, то b»), где а и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение Если вещество является металлом, то оно электропроводно представляет собой импликативное суждение (причинно-следственную связь) двух простых суждений: Вещество является металлом и Вещество электропроводно. В данном случае эти два суждения связаны таким образом, что из первого вытекает второе (если вещество – металл, то оно обязательно электропроводно), однако из второго не вытекает первое (если вещество электропроводно, то это вовсе не означает, что оно является металлом).

Первая часть импликации называется основанием, а вторая – следствием; из основания вытекает следствие, но из следствия не вытекает основание. Формулу импликации: а => b, можно прочитать так: «если а, то обязательно b, но если b, то не обязательно а».

Эквивалентное суждение (эквиваленция) – это сложное суждение с союзом ЕСЛИ…ТО не в его условном значении (как в случае с импликацией), а в тождественном (эквивалентном). В данном случае этот союз обозначается знаком «<=>», с помощью которого эквивалентное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: а <=> b (читается «если а, то b, и если b, то а»), где а и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение Если число является четным, то оно делится без остатка на 2 представляет собой эквивалентное суждение (равенство, тождество) двух простых суждений: Число является четным и Число делится без остатка на 2. Нетрудно заметить, что в данном случае два суждения связаны так, что из первого вытекает второе, а из второго – первое: если число четное, то оно обязательно делится без остатка на 2, а если число делится без остатка на 2, то оно обязательно четное.

Понятно, что в эквиваленции (в отличие от импликации) не может быть ни основания, ни следствия, так как две ее части являются равнозначными суждениями.

Отрицательное суждение (отрицание) – это сложное суждение с союзом НЕВЕРНО, ЧТО, который обозначается знаком «». С помощью этого знака отрицательное суждение можно представить в виде формулы: а (читается «неверно, что а»), где а – это простое суждение. Здесь может возникнуть вопрос: где же вторая часть сложного суждения, которую мы обычно обозначали символом b? В записи а, уже присутствуют два простых суждения: а – это какое-то утверждение, а знак «» – его отрицание. Перед нами как бы два простых суждения – одно утвердительное, другое отрицательное. Пример отрицательного суждения: Неверно, что все мухи являются птицами.

 

Союзов в естественном языке много, но все они по смыслу сводятся к рассмотренным пяти видам, и любое сложное суждение относится к одному из них. Например, сложное суждение Уж полночь близится, а Германна все нет является конъюнкцией, потому что в нем союз А употребляется в роли соединительного союза И. Сложное суждение Посеешь ветер, пожнешь бурю, в котором вообще нет союза, является импликацией, так как два простых суждения в нем связаны условным союзом ЕСЛИ…ТО.

Приведем еще несколько примеров сложных суждений с различными союзами естественного языка, которые выступают в роли нескольких рассмотренных нами логических союзов.

Живое существо является человеком только тогда, когда оно обладает мышлением (эквиваленция).

• Человечество может погибнуть то ли от истощения земных ресурсов, то ли от экологической катастрофы, то ли в результате третьей мировой войны (нестрогая дизъюнкция).

• Вчера он получил двойку не только по математике, но еще и по русскому (конъюнкция).

• Проводник нагревается, когда через него проходит электрический ток (импликация).

• Окружающий нас мир либо познаваем, либо нет (строгая дизъюнкция).

• Либо же он совершенно бездарен, либо же полный лентяй (нестрогая дизъюнкция).

• Когда человек льстит, он лжет (импликация).

• Вода превращается в лед лишь при температуре от нуля градусов по Цельсию и ниже (эквиваленция).

Две прямые, лежащие в одной плоскости, не имеют общих точек только тогда, когда они параллельны (эквиваленция).

Вместо того, чтобы пойти в школу, он пошел гулять (конъюнкция).

Английский язык можно изучать либо в школе, либо на курсах, либо с репетитором, либо самостоятельно (нестрогая дизъюнкция).

То ли в мире действует всеобщая закономерность, то ли всеобщая случайность (строгая дизъюнкция).

Он не готовился к занятиям или систематически прогуливал их (нестрогая дизъюнкция).

Чем дальше в лес, тем больше дров (импликация).

Деревья качаются, потому что дует ветер (импликация).

Хотя на море разыгрался шторм, корабль неуклонно двигался своим курсом (конъюнкция).

• Глаза боятся, а руки делают (конъюнкция).

• Бели с утра шел дождь, то к полудню прояснилось (конъюнкция).

• Кончил дело, гуляй смело (импликация).

• Треугольник является равносторонним только тогда, когда все его углы равны (эквиваленция).

 

Любое сложное суждение является истинным или ложным в зависимости от истинности или ложности входящих в него простых суждений. Ниже приведена таблица истинности всех видов сложных суждений в зависимости от всех возможных наборов истинностных значений двух входящих в них простых суждений. Таких наборов всего четыре:

• оба простых суждения истинные;

• первое суждение истинное, а второе ложное;

• первое суждение ложное, а второе истинное;

• оба суждения ложные.

Таблица

Как видим, конъюнкция (а ∧ b) истинна только тогда, когда истинны оба простых суждения, входящих в нее. Надо отметить, что конъюнкция, состоящая не из двух, а из большего количества простых суждений, также истинна только в том случае, когда истинны все входящие в нее суждения. Во всех остальных случаях она является ложной.

Нестрогая дизъюнкция (a ∨ b), наоборот, истинна во всех случаях за исключением того, когда оба входящих в нее простых суждения ложны. Нестрогая дизъюнкция, состоящая не из двух, а из большего количества простых суждений, также ложна только тогда, когда ложны все входящие в нее простые суждения. Строгая дизъюнкция (а ∨_ b) истинна только тогда, когда одно входящее в нее простое суждение истинно, а другое ложно. Строгая дизъюнкция, состоящая не из двух, а из большего количества простых суждений, истинна только в том случае, если истинно только одно из входящих в нее простых суждений, а все остальные ложны.

Импликация (а => b) ложна только в одном случае, – когда ее основание является истинным, а следствие ложным. Во всех остальных случаях она истинна.

Эквиваленция (а <=> b) истинна тогда, когда два составляющих ее простых суждения истинны или же когда они оба являются ложными. Если одна часть эквиваленции истинна, а другая ложна, то эквиваленция ложна.

Проще всего определяется истинность отрицания: когда утверждение (а) истинно, его отрицание (а) ложно; когда утверждение (а) ложно, его отрицание (а) истинно.

 

Есть ли жизнь на Марсе? (Виды и правила вопросов)

 

Вопрос весьма близок к суждению. Это проявляется в том, что любое суждение можно рассматривать как ответ на некий вопрос. Поэтому вопрос – это логическая форма (конструкция), которая направлена на получение ответа в виде некоторого суждения.

Вопросы делятся на исследовательские и информационные.

Исследовательские вопросы направлены на получение нового знания. Это вопросы, на которые пока нет ответов, например: Как родилась Вселенная?

Информационные вопросы имеют своей целью приобретение (передачу от одного лица другому) уже имеющихся знаний (информации), например: Какова температура плавления свинца?

Вопросы также делятся на категориальные и пропозициональные.

Категориальные (восполняющие, специальные) вопросы включают в себя вопросительные слова кто, что, где, когда, почему, как и т. п., указывающие направление поиска ответов и, соответственно, категорию объектов, свойств или явлений, в которой следует искать нужные ответы. Категориальным, например, является вопрос Кто создал Периодическую систему химических элементов?

Пропозициональные (уточняющие, общие) вопросы направлены на подтверждение или отрицание некоей уже имеющейся информации. В этих вопросах ответ как бы уже заложен в виде готового суждения, которое надо лишь подтвердить или отвергнуть. Вопрос Полезно ли изучение математики? является пропозициональным.

Понятно, что и исследовательские, и информационные вопросы могут быть как категориальными, так и пропозициональными. Например: Как создать универсальное доказательство теоремы Ферма? – исследовательский категориальный вопрос; Есть ли во Вселенной планеты, населенные, как и Земля, разумными существами? – исследовательский пропозициональный вопрос; Когда появилась логика? – информационный категориальный вопрос; Верно ли, что число π – это отношение длины окружности к ее диаметру? – информационный пропозициональный вопрос.

 

Приведем еще несколько примеров вопросов.

• Когда был открыт закон Всемирного тяготения? (информационный категориальный вопрос).

• Смогут ли жители Земли расселиться на других планетах Солнечной системы? (исследовательский пропозициональный вопрос).

• В каком году родился Наполеон? (информационный категориальный вопрос).

• Каково будущее человечества? (исследовательский категориальный вопрос).

• Возможно ли предотвратить третью мировую войну? (исследовательский пропозициональный вопрос).

• Что такое тригонометрия? (информационный категориальный вопрос).

• Можно ли измерить расстояние от Земли до Луны? (информационный пропозициональный вопрос).

• Кто является создателем квантовой теории? (информационный категориальный вопрос).

• Чем отличаются естественные науки от гуманитарных? (информационный категориальный вопрос).

• Вел ли Древний Рим продолжительные завоевательные войны? (информационный пропозициональный вопрос).

• В чем смысл человеческой жизни? (исследовательский категориальный вопрос).

• Где находится самое высокое место земного шара? (информационный категориальный вопрос).

• Чему равна скорость света? (информационный категориальный вопрос).

• Что такое любовь? (исследовательский категориальный вопрос).

• Верно ли, что геоцентрическая картина мира появилась еще в древности? (информационный пропозициональный вопрос).

• Как зародилась жизнь во Вселенной? (исследовательский категориальный вопрос).

Достигнут ли люди когда-нибудь всеобщего процветания? (исследовательский пропозициональный вопрос).

• Как доказывается теорема Пифагора? (информационный категориальный вопрос).

• Возможно ли полное преодоление социальной несправедливости? (исследовательский пропозициональный вопрос).

• Кто считается создателем формальной логики? (информационный категориальный вопрос).

 

Любой вопрос имеет определенную структуру и состоит из двух частей. Первая часть представляет собой некую информацию (выраженную, как правило, каким-нибудь суждением), а вторая часть указывает на ее недостаточность и необходимость ее дополнения каким-либо ответом. Первая часть, называется основной (базисной) (ее также иногда называют предпосылкой вопроса), а вторая часть – искомой. Например, в информационном категориальном вопросе Когда была создана теория электромагнитного поля? основная часть – это утвердительное суждение Была создана теория электромагнитного поля, а искомая часть, представленная вопросительным словом когда, указывает на недостаточность информации, содержащейся в базисной части вопроса, и требует ее дополнения, которое следует искать в области (категории) временных явлений.

В исследовательском пропозициональном вопросе Возможны ли полеты землян в другие галактики? основная часть представлена суждением Возможны полеты землян в другие галактики, а искомая часть, выраженная частицей ли, указывает на необходимость подтверждения или отрицания этого суждения. В данном случае искомая часть вопроса свидетельствует не об отсутствии какой-то информации, содержащейся в его базисной части, а об отсутствии знания о ее истинности или ложности и требует это знание получить.

Наиболее важное логическое требование к постановке вопроса заключается в том, чтобы его базисная часть была истинным суждением. В этом случае вопрос считается логически корректным. Если же основная часть вопроса представляет собой ложное суждение, то вопрос следует признать логически некорректным (подобные вопросы не требуют ответа и подлежат отвержению).

Например, вопрос Когда было предпринято первое кругосветное путешествие? является логически корректным, поскольку его основная часть выражена истинным суждением В истории человечества имело место первое кругосветное путешествие. Вопрос В каком году знаменитый английский ученый Исаак Ньютон закончил работу над общей теорией относительности? логически некорректен, так как его основная часть представлена ложным суждением Автором общей теории относительности является знаменитый английский ученый Исаак Ньютон.

Итак, основная (базисная) часть вопроса должна быть истинной и не должна быть ложной. Однако существуют логически корректные вопросы, основные части которых являются ложными суждениями. Например, вопросы Возможно ли создание вечного двигателя? Есть ли разумная жизнь на Марсе? Изобретут ли машину времени? несомненно, следует признать логически корректными, несмотря на то, что их базисные части представляют собой ложные суждения: Возможно создание вечного двигателя, Есть разумная жизнь на Марсе, Изобретут машину времени. Дело в том, что искомые части этих вопросов направлены на выяснение истинностных значений их базисных частей, т. е. требуется выяснить, истинными или ложными являются суждения Возможно создание вечного двигателя, Есть разумная жизнь на Марсе, Изобретут машину времени. В этом случае вопросы логически корректны. Если бы искомые части рассматриваемых вопросов не были направлены на выяснение истинности их основных частей, а имели бы своей целью нечто иное, эти вопросы являлись бы логически некорректными, например: Где был создан первый вечный двигатель? Когда появилась разумная жизнь на Марсе? Сколько будет стоить путешествие на машине времени?

Таким образом, главное правило постановки вопроса следует расширить и уточнить: основная (базисная) часть корректного вопроса должна быть истинным суждением. Если же она является ложным суждением, то его искомая часть должна быть направлена на выяснение истинностного значения основной части; в противном случае вопрос будет логически некорректным.

Нетрудно догадаться, что требование для основной части быть истинной, по преимуществу, относится к категориальным вопросам, а требование того, чтобы искомая часть была выяснением истинности основной части, относится к пропозициональным вопросам.

Надо отметить, что корректные категориальные и пропозициональные вопросы сходны между собой в том, что на них всегда можно дать истинный ответ (как, впрочем, и ложный). Например, на категориальный вопрос Когда закончилась Первая мировая война? можно дать как истинный ответ (В 1918 году), так и ложный (В 1916 году). На пропозициональный вопрос Вращается ли Земля вокруг Солнца? также можно дать как истинный ответ (Да, вращается), так и ложный (Нет, не вращается). Отметим, что оба приведенных вопроса логически корректны.

Итак, принципиальная возможность получения истинных ответов есть основной признак корректных вопросов. Если же получить истинные ответы на некие вопросы принципиально невозможно, то они являются некорректными.

Например, нельзя получить истинный ответ на пропозициональный вопрос Закончится ли когда-нибудь Первая мировая война? так же, как невозможно получить его на категориальный вопрос С какой скоростью вращается Солнце вокруг неподвижной Земли? Любые ответы на эти вопросы необходимо будет признать неудовлетворительными, а сами вопросы – логически некорректными, подлежащими отвержению.

 

 

Умозаключение

 

 

 

Сделаем вывод (Что такое умозаключение)

 

Умозаключение – это форма мышления, в которой из двух или нескольких суждений, называемых посылками, вытекает новое суждение, называемое заключением (выводом). Например:

 

Все живые организмы питаются влагой.

Все растения – это живые организмы.

=> Все растения питаются влагой.

 

В приведенном примере первые два суждения являются посылками, а третье – выводом. Посылки должны быть истинными суждениями и должны быть связаны между собой. Если хотя бы одна из посылок ложна, то и вывод ложен:

 

Все птицы – это млекопитающие животные.

Все воробьи – это птицы.

=> Все воробьи – это млекопитающие животные.

 

Как видим, в приведенном примере ложность первой посылки приводит к ложному выводу, несмотря на то что вторая посылка является истинной. Если посылки между собой не связаны, то вывод из них сделать невозможно. Например, из следующих двух посылок никакого вывода не следует:

 

Все планеты – это небесные тела.

Все сосны являются деревьями.

=>?

 

Обратим внимание на то, что умозаключения состоят из суждений, а суждения – из понятий, т. е. одна форма мышления входит в другую в качестве составной части.

Все умозаключения делятся на непосредственные и опосредованные.

В непосредственных умозаключениях вывод делается из одной посылки. Например:

 

Все цветы являются растениями.

=> Некоторые растения являются цветами.

 

Верно, что все цветы являются растениями.

=> Неверно, что некоторые цветы не являются растениями.

 

Нетрудно догадаться, что непосредственные умозаключения представляют собой уже известные нам операции преобразования простых суждений и выводы об истинности простых суждений по логическому квадрату. Первый приведенный пример непосредственного умозаключения является преобразованием простого суждения путем обращения, а во втором примере по логическому квадрату из истинности суждения вида А делается вывод о ложности суждения вида О.

В опосредованных умозаключениях вывод делается из нескольких посылок. Например:

 

Все рыбы – это живые существа.

Все караси – это рыбы.

=> Все караси – это живые существа.

 

Опосредованные умозаключения делятся на три вида: дедуктивные, индуктивные и умозаключения по аналогии.

Дедуктивные умозаключения (дедукция) (от лат. deductio – «выведение») – это умозаключения, в которых из общего правила делается вывод для частного случая (из общего правила выводится частный случай). Например:

 

Все звезды излучают энергию.

Солнце – это звезда.

=> Солнце излучает энергию.

 

Как видим, первая посылка представляет собой общее правило, из которого (при помощи второй посылки) вытекает частный случай в виде вывода: если все звезды излучают энергию, значит, Солнце тоже ее излучает, потому что оно является звездой.

В дедукции рассуждение идет от общего к частному, от большего к меньшему, знание сужается, в силу чего дедуктивные выводы достоверны, т. е. точны, обязательны, необходимы. Посмотрим еще раз на приведенный пример. Мог бы из двух данных посылок вытекать иной вывод, кроме того, который из них вытекает? Не мог. Вытекающий вывод – единственно возможный в этом случае. Изобразим отношения между понятиями, из которых состояло наше умозаключение, кругами Эйлера. Объемы трех понятий: звезды (3); тела, излучающие энергию (Т) и Солнце (С) схематично расположатся следующим образом (рис. 33).

Если объем понятия звезды включается в объем понятия тела, излучающие энергию, а объем понятия Солнце включается в объем понятия звезды, то объем понятия Солнце автоматически включается в объем понятия тела, излучающие энергию, в силу чего дедуктивный вывод и является достоверным.

Несомненное достоинство дедукции заключается в достоверности ее выводов. Вспомним, известный литературный герой Шерлок Холмс пользовался дедуктивным методом при раскрытии преступлений. Это значит, что он строил свои рассуждения таким образом, чтобы из общего выводить частное. В одном произведении, объясняя доктору Ватсону сущность своего дедуктивного метода, он приводит такой пример. Около убитого полковника Эшби сыщики Скотланд-Ярда обнаружили выкуренную сигару и решили, что полковник выкурил ее перед смертью. Однако Шерлок Холмс неопровержимо доказывает, что полковник не мог выкурить эту сигару, потому что он носил большие, пышные усы, а сигара выкурена до конца, т. е., если бы ее курил полковник Эшби, то он непременно подпалил бы свои усы. Следовательно, сигару выкурил другой человек.

В этом рассуждении вывод выглядит убедительно именно потому, что он дедуктивный – из общего правила: Любой человек с большими, пышными усами не может выкурить сигару до конца, выводится частный случай: Полковник Эшби не мог выкурить сигару до конца, потому что носил такие усы. Приведем рассмотренное рассуждение к принятой в логике стандартной форме записи умозаключений в виде посылок и вывода:

 

Любой человек с большими, пышными усами не может выкурить сигару до конца.

Полковник Эшби носил большие, пышные усы.

=> Полковник Эшби не мог выкурить сигару до конца.

 

Индуктивные умозаключения (индукция) (от лат. inductio – «наведение») – это умозаключения, в которых из нескольких частных случаев выводится общее правило. Например:

 

Юпитер движется.

Марс движется.

Венера движется.

Юпитер, Марс, Венера – это планеты.

=> Все планеты движутся.

 

Первые три посылки представляют собой частные случаи, четвертая посылка подводит их под один класс объектов, объединяет их, а в выводе говорится обо всех объектах этого класса, т. е. формулируется некое общее правило (вытекающее из трех частных случаев).

Легко увидеть, что индуктивные умозаключения строятся по принципу, противоположному построению дедуктивных умозаключений. В индукции рассуждение идет от частного к общему, от меньшего к большему, знание расширяется, в силу чего индуктивные выводы (в отличие от дедуктивных) не достоверны, а вероятностны. В рассмотренном выше примере индукции признак, обнаруженный у некоторых объектов какой-то группы, перенесен на все объекты этой группы, сделано обобщение, которое почти всегда чревато ошибкой: вполне возможно наличие в группе каких-то исключений, и даже если множество объектов из некоторой группы характеризуется каким-то признаком, то это не означает, что таким признаком характеризуются все объекты данной группы. Вероятностный характер выводов является, конечно же, недостатком индукции. Однако ее несомненное достоинство и выгодное отличие от дедукции, которая представляет собой сужающееся знание, заключается в том, что индукция – это расширяющееся знание, способное приводить к новому, в то время как дедукция – это разбор старого и уже известного.

Умозаключения по аналогии (аналогия) (от греч. analogia – «соответствие») – это умозаключения, в которых на основе сходства предметов (объектов) в одних признаках делается вывод об их сходстве и в других признаках. Например:

 

Планета Земля расположена в Солнечной системе, на ней есть атмосфера, вода и жизнь.

Планета Марс расположена в Солнечной системе, на ней есть атмосфера и вода.

=> Вероятно, на Марсе есть жизнь.

 

Как видим, сопоставляются два объекта (планета Земля и планета Марс), которые сходны между собой в некоторых существенных, важных признаках (находиться в Солнечной системе, иметь атмосферу и воду). На основе данного сходства делается вывод о том, что, возможно, эти объекты сходны между собой и в других признаках: если на Земле есть жизнь, а Марс во многом похож на Землю, то не исключено наличие жизни и на Марсе. Выводы аналогии, как и выводы индукции, вероятностны.