Сформулируйте признак касательной (теорему, обратную теореме о свойстве касательной).

Признак касательной - если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то онаявляется касательной.

42. Какой угол называется центральным углом окружности? В каких случаях градусная мера центрального угла считается равной a, а в каких 360° - a?

Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом. Если центральный угол меньше развернутого угла, то его градусная мера считается равной a, а если больше развернутого угла, то 360° - a.

 

43. Объясните, что такое дуга окружности? Как она обозначается? Чему равна градусная мера дуги? В каких случаях градусная мера дуги считается равной a, а в каких 360° - a?

Если на окружности отметить две точки, то они разделят её на две дуги. Дуга – часть окружности, расположенная между двумя точками, этой окружности. Чтобы различать эти дуги, на каждой из них отмечают промежуточную точку. Когда ясно, окакой из двух дуг идёт речь, используется обозначение без промежуточной точки.

 

Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла, т.е. если дуга меньше полуокружности, то ее градусная мера считается равной a. Если же дуга больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной 360° - a. Градусная мера

полуокружности равна180°.

 

Объясните, какая дуга называется полуокружностью.

 

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром окружности.

 

 

Какой угол называется вписанным? В каком случае говорят, что вписанный угол опирается на дугу?

Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

 

Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, накоторую опирается.

 

 

I случай II случай III случай

Замечание. Так как градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла, то теорему о вписанном угле можно сформулировать следующим образом: угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.

 

Сформулируйте и докажите теорему о вписанных углах,опирающихся на одну и ту же дугу.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

 

Сформулируйте и докажите теорему о вписанных углах, опирающихся на полуокружность.

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой. (Вписанный угол, опирающийся на диаметр – прямой.)

 

Что такое хорда окружности? Какая хорда называется диаметром?

Диаметр - отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется.

Диаметр – самая большая хорда, любой диаметр – хорда, но не всякая хорда является диаметром.

 

Сформулируйте и докажите теорему об отрезках пересекающихся хорд.

Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

 

Следствие: Если через данную точку S провести несколько хорд, то произведение отрезков хорды есть величина постоянное для всех хорд, т.е. SA× SB = SC× SD = SK× SL = SM× SN = … = const.

 

Чему равен угол между хордой окружности и касательной к окружности, проведённой через конец хорды?

Острый угол между хордой окружности и касательной к окружности в конце хорды равен половине угла между радиусами, проведёнными к концам хорды.

 

 

 

Каким замечательным свойством обладают медианы, высоты и биссектрисы треугольника?

Медианы, биссектрисы, высоты (или их продолжения) треугольника пересекаются в одной точке.

 

Какая окружность называется вписанной в треугольник? Какой треугольник называется описанным около окружности?

Если все стороны треугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в треугольник, а треугольник – описанным около этой окружности.

Какая окружность называется вписанной в многоугольник? Какой многоугольник называется описанным около окружности?

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.