И на любой стадии коллапса мы можем связать функции m и a с помощью

A

,а

R = −

k

к + 1

ln[ −

M

,а

ка

2

].

Рассматривая гладкий начальный профиль, где начальный градиент плотности равен нулю в центре,

мы должны иметь A(r, a) = rg(r, a), где g(r, a) также является подходяще дифференцируемым [28].

У нас также есть

G(r, a) = b(r)e

РА

,

(3.13)

Где

b(r) = 1 + r

2

b

0

(r),

(3.14)

А b(r) - функция скорости для разрушающихся оболочек. Как показано в уравнении (2.20), мы

Можно использовать уравнение (2.6), чтобы получить

B(r)e

РА

− e

− 2 ν

˙

R

2

= 1 −

F

Ра

⇒

√

a a = −ρ

−

k

к+1

e

РА

ab

0

(r) + ah(r, a) + M (r, a),

(3.15)

с h(r, a) =

e

РА

− 1

r

2

, давая

⇒ t(r, a) =

1

a

√

˜

Реклама

a

ρ

−

k

к+1

b

0

(r)ae

РА

+ ah(r, ˜

a) + M (r,

а)

.

(3.16)

Недалеко от центра

t(r, a) = t(0, a) + rx(a) + O(r

2

).

(3.17)

Когда t(r, a) дифференцируемо, мы расширяем Тейлора вблизи r = 0, и приведенный выше интеграл равен

оценивается при r = 0, где

35

χ (а) =

dt

Д-р

= −

1
2

1

a

d

a

√

˜

aB

1

(0, ˜

а)

B(0,

а)

3
2

,

(3.18)

с

B(r, a) = ρ

−

k

к+1

b

0

(r)аэ

РА

+ ah(r, ˜

a) + M (r,

а),

(3.19)

B

1

(r, a) = B

,р

(r, a).

(3.20)

Для получения (119) нам требовалось, чтобы интеграл (118) был дифференцируемым, что возможно

потому что она конечна по определению, и до тех пор, пока все функции A(r, a), b

0

(r) и M (r, a)

Являются соответствующим образом дифференцируемыми. Они должны быть не менее C

2

для r = 0 и C

1

для r = 0. В центральном

Оболочка достигнет сингулярности через некоторое время

t

s

0

=

1

0

√

Ada

B(0, a)

.

(3.21)

Для того, чтобы другие оболочки достигли сингулярности, потребуется время

t

s

(r) = t

s

0

+ rx(0) + O(r

2

),

(3.22)

Которая определяет кривую сингулярности, которая развивается в пространстве-времени в результате

Коллапс. Из уравнения (3.15) - (3.18)

√

a a = χ (a)B(0, a) + O(r

2

).

(3.23)

Мы видим, что χ (0), представляющее касательную кривой сингулярности, зависит от M, b

0

, и

h, которые определяются значениями исходных данных при t = t

i

Учитывая плотность и материю

Поэтому профилей изначально достаточно, чтобы полностью определить касательную к сингулярности

Изгиб в центре. Теперь нам нужно выяснить природу сингулярности и определить

Когда она будет обнажена и когда превратится в черную дыру.

3.1.2

Природа сингулярности

Теперь мы можем определить заключительную стадию коллапса либо как голую сингулярность, либо как черную

отверстие, используя исходные данные и допустимые эволюции. И снова видимый горизонт-это

задается R = F в сжимающемся облаке, и если область вокруг центра попадает в ловушку

Перед сингулярностью она будет покрыта и образуется черная дыра, в противном случае направленная в будущее

Кривые, подобные нулю/времени, могут вырваться, и мы получим локально или глобально голую сингулярность. Мы

Теперь изучите, существуют ли семейства будущих направленных и исходящих нулевых геодезических, которые

Завершитесь в прошлом в сингулярности.

Сначала мы рассмотрим уравнение для нулевых радиально исходящих геодезических, заданное

dt

Д-р

= e

ψ−ν

,

(3.24)

Где особенность задается a(t

s

(r), r) = 0 ⇒ R(t

s

(r), r) = 0. Если какое-либо будущее будет направлено

существуют нулевые геодезические, которые происходят из сингулярности в прошлом, мы должны иметь R → 0 как

t → t

s

. Написание геодезического уравнения в терминах (u = r

α

, R) [28], мы получаем

36

Д-р

du

=

1

α

r

− (α− 1)

R

1 +

˙

R

R

e

ψ−ν

.

(3.25)

Из уравнения (2.6) мы находим, что

1 +

˙

R

R

e

ψ−ν

=

1 −

Ф
Р

√

G(

√

Г −

√

H)

,

(3.26)

и принимая α =

5
3

[16] мы получаем

Д-р

du

=

3
5





R

u

+

√

aa

R

u





1 −

Ф
Р

√

G(

√

Г −

√

H)

.

(3.27)

Если существуют нулевые геодезические, которые заканчиваются в сингулярности в прошлом и имеют определенную

Касательная, тогда

Д-р

du

> 0 в точке сингулярности в плоскости (u, R) и имеет конечное значение. Итак, все точки

r > 0 покрываются, поскольку уравнение кажущегося горизонта F/R → ∞ как dR/du → −∞, и

√

H

Р Это означает, что никакие исходящие геодезические с нулевым значением не могут возникать

Из этих прошлых моментов.

Однако сингулярность r = 0 может быть голой. Определение касательной к нулю исходящего

Геодезические, как

x

0

= lim

t → t

s

Лим

r → 0

R

u

=

Д-р

du

|

t → t

s

;r → 0

.

(3.28)

Используя (3.27) и (3.23), мы имеем

x

0

=

3
5

x

0

+

χ (0)

B(0, 0)

x

1/2
0

,

(3.29)

⇒ x

3/2
0

=

3
2

χ (0)

B(0, 0).

(3.30)

Теперь мы рассмотрим необходимые/достаточные условия для существования голой сингулярности.

Уравнение для нулевой геодезической, возникающей из сингулярности, имеет вид R = x

0

U,который в (t, r)

Координаты, это эквивалентно

t

s

(r) = t

s

(0) + x

0

r

5/3

.

Если χ (0) > 0 ⇒ x

0

> 0, и у нас есть нулевая радиально исходящая геодезическая, выходящая из

сингулярность, приводящая к голой сингулярности, однако, если χ (0)