В общем случае, учитывая любую кривую R

γ

(r) у нас будет некоторое t

γ

(r) = t(r, R

γ

(r)). Кривые, которые

наиболее релевантными для решений уравнения (2.37) при гравитационном коллапсе являются:

R

s

(r) = 0, кривая сингулярности, ⇒ t

s

(r) = t(r, 0) и t

s

= (

∂ т
∂ р

)

R=0

Это дает нам

Время, в которое оболочка r становится сингулярной. Это указывает на сильную особенность кривизны

вдоль кривой, где расходятся физические величины, такие как плотность энергии ρ.

R

ах

(r) = F (r), видимый горизонт, ⇒ t

ах

(r) = t(r, F (r)) и t

ах

= (

∂ т
∂ р

+

∂ Т

∂ Р

F)

R=F

.

Это дает нам время, в течение которого оболочка r оказывается в ловушке за видимым горизонтом.

Видимая кривая горизонта является границей области, в которой образуются захваченные поверхности,

Задается условием g

µ ν

∂ Р

µ

∂ Р

ν

= 0.

R

sc

(r) = 0, сингулярность пересечения оболочки, ⇒ t

sc

Дается R (r, t

sc

(r)) = 0. Это дает

Время, в которое оболочка r пересекает другую оболочку. Мы интерпретируем это как распад

Система координат. Особенность видна в уравнении (2.3), но является слабой кривизной

Особенность, которую можно устранить подходящим изменением координат.

Теперь мы применяем условия регулярности к нашим уравнениям, чтобы сделать их физически разумными.

Регулярность ρ при r = 0, t

i

= 0 означает

F (r)

=

r

3

М (р),

F (r)

=

r

2

B(r).

Еще раз используя свободу калибровки, мы устанавливаем R(r, t) = ra(r, t) таким образом, что a(r, 0) = 1. Тогда мы

Можно переписать уравнение (2.37) как

а = −

M

a

+ в,

(2.40)

и еще одно условие для коллапса задается b + M ≥ 0.

Плотность энергии определяется уравнением (2.3)

ρ =

F

R

2

R

,

и для того, чтобы модель была физически разумной, нам требуется ρ ≥ 0, удовлетворяющее слабой энергии

состояние, и радиально не увеличивающееся наружу. Условие 1 подразумевает F ≥ 0 и R > 0.

Случай, когда F < 0 и R < 0 не допускается, поскольку это означало бы M

центр. F > 0 ⇒ 3M >> − rM ⇒ M (0) >>> 0. R >>>> 0 означает, что мы избегаем пересечения оболочки

Сингулярности.

Второе условие физической реальности состоит в том, чтобы плотность энергии была неубывающей функцией

из r, дающего ρ ≥ 0,

18

⇒ F ≤ F

2Р

R

+

R

R

.

(2.41)

Выбор плотности энергии таким образом, чтобы ее можно было разложить в степенной ряд вблизи r = 0 [26]

ρ = ρ

0

(t) + ρ

1

(t)r + O(r

2

),

(2.42)

с ρ

0

(t) = 3 м

0

/a(o, t)

3

, и ρ

1

(t) = 4M (0)/a(0, t)

3

− 12 М

0

A (0, t)/a(0, t)

4

Первоначально,

когда a = 1, a = 0, мы имеем ρ

0

(0) = 3 М

0

и ρ

1

(0) = 4M (0), поэтому при ρ ≤ 0 ⇒ M (0) ≤ 0.

В большинстве астрофизических моделей у нас есть только четные члены в r, появляющиеся в разложении, так что это

требуется, чтобы M (0, t) = 0, что подразумевает отсутствие остриев в центре для плотности энергии. Вместо

у нас должно быть M (0) ≤ 0.

Интегрируя уравнение (2.40) в плоской области (b = 0), мы находим

t(r, a) = −

2а

3/2

3

√

M

+ k(r)

(2.43)

,

И когда мы вводим начальные условия t

i

= 0, R(r, t

i

) = r

⇒ k(r) =

2р

2/3

3

√

F

=

2

3

√

M

= t

s

(r),

(2.44)

t(r, a) = t

s

(r) −

2а

3/2

3

√

M

.

(2.45)

Где t

s

(r) = t(r, 0) - кривая сингулярности.

2.2.2

Формирование сингулярности

Скаляр Кречмана, R

Abcd

R

Abcd

, для метрики LTB это [26]

К =

F

2

R

6

+

F F

R

5

R

+

3F

2

R

4

R

2

,

(2.46)

и мы можем видеть, что при R = 0 или R = 0 образуются сингулярности. Мы уже сделали

установлено, что R = 0 является сингулярностью пересечения оболочки и, как правило, является "слабым", поскольку это связано с

Для координации разбивки и может быть удалена путем изменения координат. Это условие

для избежания пересечения оболочки R > 0, поэтому, как только мы решим уравнение движения для t(r, a)

мы можем оценить R = −

∂ т
∂ р

˙

R, чтобы найти дальнейшие условия. Требование не пересекать оболочку подразумевает

∂ т
∂ р

> 0, так как

Р

Для случая с незначительными ограничениями [19]:

R = −

∂ Т

∂ Р

˙

R

=

−

∂

∂ Р

t

s

(r) −

2а

3/2

3

√

M

−

Ф
Р

,

⇒ 2R

=

√

r

√

R

+

1
3

R

3/2

− р

3/2

√

R

F

F

.

(2.47)

19

Условие отсутствия пересечения оболочки дает

3F > F

р −

R

3/2

r

1/2

⇔ М (1 − а

3/2

) < 0,

(2.48)

и так как a ∈ [0, 1], мы должны иметь, что M Мы можем найти кривую пересечения оболочки с помощью

установка R = 0, и мы делаем это в уравнении (2.47), чтобы получить

t

sc

(r) =

2

√

M

3 М + rM

,

(2.49)

и из этого мы видим, что M = const ⇒ t

sc

= t

s

, и M

sc

≥ t

s

, где они

равны только при r = 0, и пересечений оболочек не происходит.

С другой стороны, применяя условие, что кривая сингулярности не увеличивается,

что является условием образования черной дыры, кривая сингулярности, заданная (2.44)

Указывает

t

s

=

√

r

√

F

1 −

Ф р

3F

≤ 0,

⇒ 3F

≤ F r,

⇒ М

≥ 0.

(2.50)

Очевидно, что у нас есть противоречие, говорящее нам о том, что образование черной дыры и отсутствие пересечения оболочек