Отсюда мы можем использовать уравнения движения для получения кривой времени таким же образом

Что касается других моделей

т(р, а)

=

1

a

√

Ada

Б(р, а)

(4.20)

Б(р, а)

=

e

ν

b

0

(r)ae

РА

+ ah(r, ˜

a) + M (r,

а)

(4.21)

и время, необходимое для того, чтобы оболочка r достигла R = 0, где пространство-время становится сингулярным, равно

Задается кривой сингулярности

51

t

s

(r) = t(r, 0) =

1

0

√

Ada

Б(р, а)

(4.22)

Для любого достаточно регулярного M (r, a) мы можем переписать это вблизи центра как

t

s

(r) = t

0

+ χ

1

r + χ

2

r

2

+...

(4.23)

Где t

0

= t(0, 0) - это время, в которое центральная оболочка становится сингулярной, и χ

i

=

1

я!

d

i

t

Д-р

i

|

r=0

. Как и прежде, χ

1

Исчезает из-за условий регулярности, поэтому касательная к

кривая сингулярности определяется χ

2

В окрестностях центра, что является термином

который отвечает за видимость сингулярности. Если χ

2

> 0, мы можем иметь исходящие

нулевые геодезические из сингулярности, и у нас есть локально голая сингулярность. Если χ

2

≤ 0, то

Сингулярность всегда покрыта горизонтом событий, и у нас есть черная дыра.

52

4.1

Коллапс Однородного Безмассового Скалярного поля

Классически коллапс однородного скалярного поля всегда приведет к одновременному

Сингулярность и черная дыра, как мы покажем ниже. Учитывая, что поле однородно,

мы знаем ρ = ρ (t). С ρ = e

− 2 ν

˙

φ

2

, у нас есть ν = ν (t), поэтому мы можем масштабировать t так, чтобы

e

2 ν

= 1. Сингулярность появляется, когда a = 0, т. е. когда физический радиус стремится к нулю, поэтому

Для однородной плотности, т

s

(r) не зависит от r. В общем случае кривая времени задается

t = t

s

+ ч

1

(r) =

1

0

√

Ada

(

a

r

2

(G − 1) + M)

1/2

+ ч

1

(r)

(4.24)

Где h

1

(r) является произвольной функцией. С тех пор, как т

s

Является функцией только от a, начального условия

t = t

i

⇒ a = 1 означает h

1

должно быть константой, и a может зависеть только от t ⇒ a = 0. Уравнение

(4.9) дает нам

e

− 2 ν

˙

φ

2

= −

М

,а

a

2

(4.25)

подразумевая M = M (a). (4,15) означает М =

M

0

a

3

. Если ν = ν (t) ⇒ A

,а

= 0, значит, A = A(r). От

(4.13)

G = −

2а

2

M

,а

(a + ra)

2

F (r)

2

,

(4.26)

и подставив в вместо M, получим G =

М

0

F (r)

2

Следовательно, поскольку t

s

(r) = 0, интеграл должен

имеют конечный результат при r = 0. Термин в знаменателе, который нам нужно рассмотреть, это

1

r

2

(G − 1) = f

1

(r),

(4.27)

Где f

1

(0) конечно.

⇒ f (r)

2

=

М

0

1 + f

1

(р)р

2

,

(4.28)

И с тех пор, как т

s

(r) является постоянной величиной, f

1

(r) также должно быть постоянным. Подставляя эти значения в

G = e

− 2 ψ

(R)

2

Вышесказанное дает

e

2 ψ

=

a

2

1 + чр

2

,

(4.29)

t =

−

√

a

(ca +

M

0

a

3

)

1/2

Da,

(4.30)

И метрика становится метрикой FRW

дс

2

= dt

2

− а

2

Д-р

2

1 + чр

2

+ r

2

d Ω

2

.

(4.31)

53

4.1.1

Классическая Скалярная Модель Поля

Для плоской модели FRW с c = 0 у нас есть модель коллапса, которая отражает идеальную жидкость

модель, за исключением жесткой жидкости с ρ = p. Из уравнения (4.30), используя начальное условие

a = 1 при t = 0, мы находим, что

⇒ a(t) = (1 − 3

M

0

т)

1/3

(4.32)

Сингулярность достигается при a = 0, что происходит при t = t

s

= 1/3

√

M

0

, Эта модель

Приводит нас к одновременной сингулярности со свойствами жидкости, как описано в разделе

2.

54

4.2

Коллапс неоднородного Безмассового Скалярного поля

Для неоднородного скалярного поля коллапс не обязательно заканчивается одновременным

Особенность. Любой реалистичный объект, подвергающийся разрушению, обязательно будет иметь неоднородности в

это плотность энергии, которая определяется ρ = ρ (r, t). Затем мы применяем некоторые условия реальности

Чтобы сделать процесс более физически обоснованным, и изучить полученную модель коллапса.

Эти условия реальности являются [38]:

Мы должны иметь

Лим

r → 0

(ra) = 0.

Это происходит потому, что при нарушении условия a становится расходящимся, когда r стремится к нулю

В центре.

2. Использование условия 1 в уравнении (4.15) дает нам 3M + rM

,р

+ aM

,а

= 0. Из-за

расхождения, обсуждаемые в [38], мы должны иметь

Лим

r → 0

(рМ

,р

) = 0.

Это говорит нам о том, что лим

r → 0

M (r, a) = M

0

/а

3

до тех пор, пока a = 0, и означает, что

M (0, a) =

M

0

a

3

,

для всех 1 ≥ a ≥ 0.

Учитывая эти условия, мы можем доказать некоторые общие результаты о гравитационном коллапсе

Скалярного поля и определить природу сингулярности. Первоначально рассматривая класс

из решений с ≤ 0 коллапс действительно заканчивается сингулярностью. Если мы возьмем a ≥ 0 для всех r ≥ 0,

Мы можем показать, что этот класс решений не допускает одновременных сценариев коллапса. Этот

это означало бы, что центральная оболочка r = 0 разрушается до сингулярности раньше внешних оболочек.

При соблюдении этих условий скалярное поле либо схлопнется до одновременной сингулярности