Определение модуля упругости

 

Цель работы: Получить зависимость между деформацией и напряжением при деформациях растяжения и сжатия. Определить модуль Юнга для стали.

Приборы и материалы: Прибор для изучения, деформации растяжения, состоящий из рамы, линейки, дисков известной массы, микрометр, индикаторы линейных перемещений, установка Ф3ПА, штангенциркуль.

 

Деформацией твердого тела называется изменение размеров и формы тела или его частей. Деформация может быть следствием теплового расширения, воздействия электрических или магнитных полей, внешних механических сил. Деформация называется упругой, если она исчезает полностью после снятия нагрузки и пластической, если после снятия нагрузки она не исчезает. Строго го­воря, абсолютно упругих тел не существует, но при определенных условиях величиной остаточных деформаций можно пренебречь. Твердые тела с хорошей точностью можно считать упругими, пока деформация не превышает некоторого предела, который называется пределом упругости.

При деформации твердого тела внутри него возникают силы, которые называются силами упругости. Мерой сил упругости слу­жит напряжение

 

s=dF/dS,

 

где dF — результирующая сила упругости, действующая на элементарную площадку dS. Если си­ла dF направлена перпендикулярно к площадке, то напряжение называется нормальным, если сила параллельна площадке, то на­пряжение называется касательным.

Простейшим видом деформации является растяжение или сжатие тела. Рассмотрим деформацию растяжения однородной прово­локи под действием внешней силы, направленной вдоль ее оси. Напряжение, которое возникает при такой деформаций, является нормальным и однородным, т. е. имеет одинаковое значение по все­му сечению проволоки. Поэтому

s=F/S.

 

Величина внутренних сил F при однородной деформации растя­жения (сжатия) равна приложенной внешней силе.

Пусть начальная длина проволоки l _о, а длина ее после деформации l, тогда удлинение проволоки D l = l – l ₀. Величина e=D l/l _о называется относительной деформацией растяжения.

Опытным путем установлено, что напряжение, возникающее в упруго деформируемом теле при однородной деформации, прямо пропорционально величине относительной деформации

s = Ee

Записанное соотношение выражает закон Гука.

Закон Гука выполняется только при малых деформациях, когда их величина не превышает предела упругости. При пластической деформации закон Гука не имеет места.

Коэффициент пропорциональности Е называется модулем про­дольной упругости или модулем Юнга.

Модуль Юнга является одной из важнейших механических характеристик твердого тела и определяет его способность сопротив­ляться внешним механическим воздействиям.

Измерение модуля Юнга можно проводить прямым методом, измеряя растяжение или сжатие тела, либо из измерения деформации изгиба.

 

 

 

Рис.4

 

Установка (рис. 4) состоит из осно­вания 1, двух вертикальных стоек 2, двух перекладин: верхней 3 и нижней 4. Иссле­дуемая проволока крепится к верхней перекладине и проходит через отверстие в нижней перекладине. К проволоке жест­ко прикреплены две горизонтальные площадки А и В. При растяжении проволоки площадки перемещаются вместе с ней. На перекладинах укреплены индикаторы ли­нейных перемещений 6 и 7, стержни ко­торых упираются в площадки А и В. При деформации проволоки индикаторы фик­сируют перемещение площадок А и В, поэтому разность их показаний равна удлинению участка проволоки АВ, который является рабочим участком. Использование двух индикаторов позволяет ис­ключить из результата измерений деформацию проволоки в месте ее закрепления.

Внизу к проволоке прикреплена платформа 8, которая нагружа­ется дисками известной массы. На приборе укреплена миллиметро­вая линейка, с помощью которой определяется длина проволоки.

Определение модуля Юнга методом растяжения

1. Микрометром несколько раз измерить диаметр проволоки d в различных местах. Результаты занести в таблицу 1.

 

Таблица 1

di, мм	< d >, мм	D di , мм	(D di)^2	Sd мм	ed	qd, мм	Dd, мм

 

 

2. Измерить длину рабочего участка проволоки l_o. Нагружая плат­форму дисками, снять показания индикаторов a₁ и a₂ и массу дис­ков т, те же измерения провести при разгружении платформы.

 

Результаты измерений занести в таблицу 2.

Таблица 2

 

S , мм

L 0, мм

m, кг

M, кг

s, H/м^2

Нагружение

Разгружение

a1

a2

D lн

eн

a1

a2

D l н

eн

 

 

3. Заполнить таблицу 1 в соответствии с правилами обработки результатов прямых измерений. Доверительную вероятность при­нять равной Р =0,67, в этом случае коэффициент Стьюдента t = l. Доверительный интервал D d рассчитать по формуле

где q _d — погрешность микрометра.

По среднему значению диаметра найти площадь сечения про­волоки S.

4. Для каждой строки таблицы 2 рассчитать суммарную массу дисков М, растягивающих проволоку; напряжение s = Mg/S; удли­нение проволоки при нагружении и разгружении D l =a_i—a_z; отно­сительную деформацию e= D 1 / 1 _о.

5. Построить на миллиметровой бумаге график зависимости s от e.

Найти модуль Юнга Е, как тангенс угла наклона графика к оси абсцисс

Е =D s /D e.

6. Определить относительную погрешность измерения модуля Юнга:

где S_e — среднее квадратическое отклонение модуля Юнга по случайному разбросу точек; q ₁ -погрешность линейки.