Иными словами, это не тот случай, когда некоторый Объект X находится в комнате А и, следовательно, переменная имеет экзистенциальную подстановку.

Теперь можно преобразовать фразовую форму, в которой позитивные литералы сгруппированы слева от знака стрелки, а негативные — справа. Если фраза в форме

P₁,..., Рт <— q₁,...qn содержит переменные х₁,..., хk, то правильная интерпретация имеет следующий вид:

для всех x₁,..., х_k

p₁ или... или p_m является истинным, если q₁ и... и q_n являются истинными.

Если п = 0, т.е. отсутствует хотя бы одно условие, то выражение будет интерпретироваться следующим образом:

для всех x1 ,..., x_k

p₁ или... или р_т является истинным.

Если т = 0, т.е. отсутствуют термы заключения, то выражение будет интерпретироваться следующим образом:

для всех x₁,..., x_k

не имеет значения, что q₁ и... и q_n являются истинными.

Если же т = п = 0, то мы имеем дело с пустой фразой, которая всегда интерпретируется как ложная.

Язык PROLOG

Фразы Хорна (Horn clause) представляют собой подмножество фраз, содержащих только один позитивный литерал. В общем виде фраза Хорна представляется выражением

В языке PROLOG эта же фраза записывается в таком виде (обратите внимание на символ точки в конце):

р:- q₁,...,q_n. Такая фраза интерпретируется следующим образом:

"Для всех значений переменных в фразе p истинно, если истинны q₁ и... и q_n",

т.е. пара символов ":-" читается как "если", а запятые читаются как "и".

PROLOG — это не совсем обычный язык программирования, в котором программа состоит в основном из логических формул, а процесс выполнения программы представляет собой доказательство теоремы определенного вида.

Фраза в форме

р:- q₁,...,q_n.

Может рассматриваться в качестве процедуры. Такая процедура предполагает следующий порядок выполнения операций.

(1) Литерал цели сопоставляется с литералом р (унифицируется с р), который называется головой фразы.

(2) Хвост фразы q_l,...,q_n конкретизируется подстановкой значений переменных (или унификаторов), сформированных в результате этого сопоставления.

(3) Конкретизированные термы хвостовой части образуют затем множество подцелей, которые могут быть использованы другими процедурами.

Таким образом, сопоставление (или унификация) играет ту же роль, что и передача параметров функции в других, более привычных языках программирования.

Например, рассмотрим набор фраз языка PROLOG, представленных в листинге 8.1. Предположим, что a, b и с — какие-то блоки в мире блоков. Две первые фразы утверждают, что а находится на (on) b, a b находится на (on) с. Третья фраза утверждает, что X находится выше (above) Y, если X находится на (on) Y. Четвертая фраза утверждает, что X находится выше (above) Y, если существует какой-то другой блок Z, размещенный на (on) Y, и X находится выше (above) Y.

Листинг 8.1. Простая программа на языке PROLOG, определяющая отношение on (на)

on(а, b).

On(b, с).

Above(X, Y):- on(X, Y).

Above(X, Y):- on(Z, Y),

Above(X, Z).

Очевидно, что от программы требуется вывести цель above (а, с) из этого множества фраз. Как это делается, мы увидим в разделе 8.3.2, но уже сейчас можно сказать, что процесс формулировки выражения цели включает обработку двух процедур above и использование двух фраз on.

Опровержение резолюций

В языке PROLOG используется "интерпретация фраз Хорна для решения проблем" (см. [Kowalski, 1979, р. 88-89]). Фундаментальный метод доказательства теорем, на котором базируется PROLOG, называется опровержением резолюций (resolution refutation). Полное описание этого метода читатель найдет в книге Робинсона [Robinson, 1979], а в этом разделе мы попытаемся кратко изложить только основные идеи.

Принцип резолюций

Ранее я уже вскользь упоминал о том, что мы стараемся упростить синтаксис исчисления таким образом, чтобы уменьшить количество правил влияния, необходимое для доказательства теорем. Вместо дюжины.или более правил, которые используются при доказательстве теорем вручную, системы автоматического доказательства для фразовых форм используют единственное правило вывода — принцип резолюций, — впервые описанное Робинсоном ([Robinson, 1965]).

Рассмотрим следующий пример из исчисления высказываний. В дальнейшем прописными буквами Р, Q, R,... будут обозначаться отдельные фразы, а строчными греческими U, ф и £ — пропозициональные переменные, как и раньше.