Множество, определенное такой характеристической функцией, представляется формулой

{ Х ~ CAR TOP-SPEED(X)> 150}.

Эта формула утверждает, что элементами нового множества являются те элементы множества CAR, которые имеют максимальную скорость свыше 150 миль в час.

А что можно сказать о множестве (категории) "быстрых" автомобилей? Интуитивно кажется, что ситуация сходна с представленной на рис. 9.2, где границы множества размыты и принадлежность элементов множеству может быть каким-то образом ранжирована. В таком случае можно говорить о том, что отдельный объект (автомобиль) более или менее типичен для этого множества (категории). Можно с помощью некоторой функции/охарактеризовать степень принадлежности объектов X такому множеству. Функция /(X) определена на интервале [0,1]. Если для объекта X функция f (X) = 1, то объект определенно является членом множества, если ДА) = 0, то объект определенно не является членом множества. Все промежуточные значения означают степень членства объекта X в этом множестве. В примере с автомобилями нам понадобится функция, оперирующая с максимальной скоростью каждого претендента на членство. Можно определить ее таким образом, что f_FAST(80) = 0, f_FAST(180) = 1, а промежуточные значения представляются некоторой монотонной гистограммой, имеющей значения в интервале между нулем и единицей. Тогда множество "быстрых автомобилей" может быть охарактеризовано функцией

f_{FAST CAR} (X) =f_FAST(TOP-SPEED(X)),

которая определена на множестве всех автомобилей. Таким образом, членами множества становятся пары (объект, степень), например:

FAST-CAR = {(Porche-944, 0.9),

(BMW-316, 0.5), (Chevy-Nova, 0.1)}.

Рис. 9.2. Нечеткое множество "быстрых" автомобилей

Нечеткая логика

Ту роль, которую в классической теории множеств играет двузначная булева логика, в теории нечетких множеств играет многозначная нечеткая логика, в которой предположения о принадлежности объекта множеству, например FAST-CAR(Porche-944), могут принимать действительные значения в интервале от 0 до 1. Возникает вопрос, а как, используя концепцию неопределенности, вычислить значение истинности сложного выражения, такого как

FASTCAR(Chevy-Nova).

По аналогии с теорией вероятности, если F представляет собой нечеткий предикат, операция отрицания реализуется по формуле

F(X)=1-F(X).

Но аналоги операций конъюнкции и дизъюнкции в нечеткой логике не имеют никакой связи с теорией вероятностей. Рассмотрим следующее выражение:

"Porche 944 является быстрым (fast), представительским (pretentious) автомобилем". В классической логике предположение

FAST-CAR(Porche-944) ^ PRETENTIOUS-CAR(Porche-944)

является истинным в том и только в том случае, если истинны оба члена конъюнкции. В нечеткой логики существует соглашение: если F и G являются нечеткими предикатами, то

Таким образом, если

FAST-CAR(Porche-944) = 0.9

PRETENTIOUS-CAR(Porche-944) = 0.7,

то

FAST-CAR(Porche-944) ^ PRETENTIOUS-CAR(Porche-944) = 0.7.

А теперь рассмотрим выражение

FAST-CAR(Porche-944) ^ FAST-CAR(Porche-944).

Вероятность истинности этого утверждения равна 0, поскольку

P(FAST-CAR(Porche-944) | FAST-CAR(Porche-944)) = 0,

Но в нечеткой логике значение этого выражения будет равно 0.1. Какой смысл имеет это значение. Его можно считать показателем принадлежности автомобиля к нечеткому множеству среднескоростных автомобилей, которые в чем-то близки к быстрым, а в чем-то — к медленным.

Смысл выражения FAST-CAR(Porche-944) = 0.9 заключается в том, что мы только на 90% уверены в принадлежности этого автомобиля к быстрым именно из-за неопределенности самого понятия "быстрый автомобиль". Вполне резонно предположить, что существует некоторая уверенность в том, что Porche-944 не принадлежит к быстрым, например он медленнее автомобиля, принимающего участие в гонках "Формула-1".

Аналог операции дизъюнкции в нечеткой логике определяется следующим образом:

f (_{F v G} )(X) = max(f_F(X),f_G(X)).