Базовые соотношения систем массового обслуживания

Схема гибели и размножения

Граф состояний для схемы гибели и размножения имеет вид, показан на рисунке 3.5.

 

Рисунок 3.5 - Схема гибели и размножения

 

Особенность этого графа в том, что все состояния системы можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (S₁, S₂,...,S_n-1) связано прямой и обратной стрелкой с каждым из соседних состояний – правым и левым, а крайние состояния (S₀,S_n) – только с одним соседним состоянием. Термин «схема гибели и размножения» ведет начало от биологических задач, где подобной схемой описывается изменение численности популяции.

Пользуясь графом рисунка 3.5, составим и решим алгебраические уравнения Колмогорова для финальных вероятностей состояний.

Для состояния S₀:

P _{0 1}= P _{1 1}                                                         (3.10)

Для состояния S₁:

P ₁ ( ₁+ ₂)= P _{0 1} + P _{2 2}

Или, с учетом уравнения (3.10), для состояния S₁ окончательно:

P _{1 2}= P _{2 2}

Очевидно, для состояния S₂ получим:

P _{2 3}= P _{3 3}

Из уравнения для состояния S₀ выразим P₁ через P₀:

                                               (3.11)

C учетом (3.11), получим для вероятности Р₂:

                                          (3.12)

С учетом (3.12), для Р₃:

                                                  (3.13)

И вообще, для любого k (от 1 до n)

                                          (3.14)

Таким образом, все вероятности состояний выражаются через P_{0 .}

Подставив эти выражения в нормировочное условие (3.4) и вынеся P₀  за скобку, получим:

           (3.15)

Полученные формулы очень полезны при решении простейших задач теории массового обслуживания.

 

Формула Литтла

Теперь выведем одну важную формулу, связывающую среднее число заявок L_сист, находящихся в системе массового обслуживания, и среднее время пребывания заявки в системе W_сист.

Рассмотрим любую СМО и связанные с нею два потока событий:

X(t) – число заявок, прибывших в СМО до момента t;

Y(t) – число заявок, покинувших СМО до момента t.

И та, и другая функции являются случайными и меняются скачком (увеличиваются на единицу в моменты приходов и уходов заявок). Вид функции X(t) и Y(t) показан на рисунке 3.6; обе линии - ступенчатые, верхняя – X(t), нижняя – Y(t). Очевидно, что для любого момента t их разность Z(t)=X(t)-Y(t) есть не что иное, как число заявок, находящихся в СМО. Когда линии X(t) и Y(t) сливаются, в системе нет заявок.

 

Рисунок 3.6 – К выводу формулы Литтла

 

Рассмотрим очень большой промежуток времени Т и вычислим для него среднее число заявок, находящихся в СМО. Оно будет равно интегралу от функции Z(t) на этом промежутке, деленному на длину интервала Т:

                                                (3.16)

Интеграл  представляет собой не что иное, как площадь фигуры, заштрихованной на рисунке 3.6, состоящей из прямоугольников высотой, равной единице и основанием t_i. Поэтому, можно считать, что

,                                                  (3.17)

где сумма распространяется на все заявки, пришедшие за время Т.

Разделим правую и левую часть (3.17) на длину интервала Т, получим с учетом (3.16):

                                                       (3.18)

Разделим и умножим правую часть (3.18) на интенсивность :

                                                 (3.19)

Но величина есть не что иное, как среднее число заявок, пришедших за время Т. Если мы разделим сумму всех времен t_i на среднее число заявок, то получим среднее время пребывания заявки в системе W_сист. Итак,

 

,

откуда

                                                  (3.20)

Это и есть замечательная формула Литтла: для любой СМО, при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок.

Точно таким же образом выводим вторую формулу Литтла, связывающую среднее время пребывания заявки в очереди W_оч и среднее число заявок в очереди L_оч:

                                                       (3.21)