Случайные ошибки. Ошибки разброса

По результатам многократных наблюдений определяются наилучшие значения измеряемой величины и оценивается погрешность измерения. Если проведено п наблюдений величины х и получен ряд значений х _изм.= х₁,х₂, …, х_п то ошибки +  и -  - равновероятны, даже, если мы ничего не знаем о природе ошибок.

В этом случае используется правило: при отсутствии информации о причинах наблюдаемого разброса за наиболее вероятное значение измеряемой величины следует принять среднее арифметическое измеряемых значений:

                                                                          (1)

В большинстве случаев x ₀ является лучшей оценкой истинного значения x, чем любое из значений x _изм. Это единственное правило, принятое без всяких гипотез о данном конкретном эксперименте. При выполнении гипотезы о том, что эксперимент «проведен хорошо», за ошибку, которую мы можем совершить, принимая для x ₀ по порядку величины не больше ширины разброса, будет:

 

                                              (2)

В простейшей методике обработки измерений величину r и принимают в качестве меры точности. Её называют абсолютной погрешностью по разбросу . Термин «абсолютная» отражает метод усреднения. Помимо средней арифметической ошибки используется и средняя квадратичная ошибка :

                                                                                              (3)

Средняя квадратичная ошибка входит в закон Гаусса:

                                                                               (4)

где (x) – вероятность появления погрешности величины х; е = 2, 71…, – средняя квадратичная ошибка, ² называется дисперсией измерений; х₀ – среднее значение, (х – х₀)= . Для распределения Гаусса r = 0,8 .

Средние ошибки складываются, также складываются и дисперсии независимых слагаемых:

Истинное значение измеряемой величины х, полученное в результате измерений х₀ при погрешности этой величины лежит в пределах:

x _о- .

Пусть  означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного значения на величину, не большую, чем , тогда:

                  .                                        (5)

Последнее выражение означает, что с вероятностью, равной , результат измерений не выходит за пределы доверительного интервала .  - доверительная вероятность или коэффициент надежности. Знание  позволяет оценить степень надежности полученного результата.

Для нахождения случайной ошибки, таким образом, определяются два числа – величина ошибки (погрешности) и доверительная вероятность. Средней квадратичной ошибке  соответствует доверительная вероятность 0,68; 2 - 0,95; 3 - 0,997. При числе наблюдений n = (4-5), но не меньше, доверительная вероятность интервала  равна 75 – 80 % или выше. При непосредственных измерениях значение интересующей нас величины получается непосредственно из отсчета по прибору. При косвенных измерениях оно вычисляется как функция одной или нескольких вычисляемых величин.

При оценке погрешности непосредственного измерения встречаются следующие возможные ошибки:

1. Ошибки разброса.

2. Ошибки отсчитывания.

3. Инструментальные ошибки (ошибки градуировки).

 

Ошибки разброса

В них проявляются ошибки наводки, ошибки, связанные с нестабильностью или неопределенностью измеряемой величины или условий эксперимента и т.п. Единственным способом уменьшения или оценки ошибок разброса являются многократные наблюдения. Вычисляется по формуле (2):

.

Ошибки отсчитывания

Ошибки отсчитывания  оцениваются наблюдателем субъективно. Необходимо, чтобы доверительная вероятность такой оценки была около 80%. Ошибка отсчитывания характеризуется предельной погрешностью отсчитывания. Если цена деления прибора или измерительного инструмента равна d, то наблюдатель может указать:

- при округлении до целых делений,

 - при отсчете целых делений и половины,

 - при отсчете десятых долей деления.

В учебной лаборатории считается обязательным отсчитывать все показания приборов с максимально возможной точностью и указывать достигнутую точность. Эту величину нельзя определить заранее для всех измерений. Её следует фиксировать при каждом отсчете. В большинстве случаев допускаемая инструментальная погрешность лежит в интервале от 0,5 d до 1 d.

 

Ошибки градуировки

 

Эти ошибки связаны с неточностью градуировки, не проявляются в разбросе, если измерения выполнены на одних и тех же приборах. Их возможная величина, характеризуемая предельной допускаемой погрешностью градуировки , указываются на шкале прибора или в паспорте. Если этого нет, то она отсчитывается равной цене деления шкалы прибора. Доверительная вероятность больше 80 %. Это гарантировано бюро поверки приборов.

Полная погрешность непосредственного измерения складывается из вышеперечисленных составляющих – ошибки отсчитывания , ошибки градуировки , ошибки по разбросу :

                                                                             (6)

 - общая погрешность или средняя абсолютная погрешность.

Если одна из складываемых величин больше, чем в 3 раза превышает каждую из двух других, то ими можно пренебречь и положить равной этой величине. Доверительная вероятность интервала  будет  75 – 80 %.

При выполнении и обработке результатов прямых измерений следует руководствоваться следующими правилами:

1. Проводится не менее 4-5 наблюдений и их результаты х _i (i = 1, 2,…, n) записываются вместе с погрешностью отсчитывания и градуировки:

                                 

2. Вычисляется наиболее вероятное значение величины:

                                  .

3. Погрешность по разбросу вычисляется как

                                    = r, если n  4,

                                = 1,5 r, если n = 3,

                                    = 3 r, если n = 2,

где .

4. Вычисляется полная погрешность по формуле:

                            

5. Записывается окончательный результат:

                                  .

Если необходимо, к значению  добавляется поправка, учитывающая, например, изменение величины с изменением температуры, т.е.

(  - поправка) и тогда .

 

Относительная погрешность

Средней относительной погрешностью измерений называется отношение средней абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины. Относительная ошибка является величиной безразмерной и выражается обычно в процентах:

                                    .                                                    (7)