Билет 10. Геометрические векторы в трехмерном пространстве. Проекции вектора и его координаты. Линейные операции над векторами и их свойства.

Определение. Вектором AB называется направленный отрезок с началом в точке А и с концом в точке В.

Длиной вектора AB называется длина отрезка АВ. Длина вектора называется также модулем вектора.

Если точки А и В совпадают, то вектор называется нулевым. Если модуль вектора равен единице, он называется единичным вектором.

Два вектора a и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельны одной прямой.

Два вектора называются одинаково направленными (противоположно направленными), если они коллинеарны и располагаются по одну сторону (по разные стороны) прямой, проходящей через начала этих векторов.

Определение. Два вектора a и b называются равными, если они:

Определение. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.

Определение №1Проекции точки M на прямую L пр_L^M=M`-это основание перпендикуляра, опушенного на данную прямую

 

Координаты вектора -это скалярные проекции на соответствующие оси

Упорядоченная тройка векторов - это три пронумерованных вектора, то есть указано, какой вектор мы считаем первым, какой вторым и какой третьим.

Правая и левая тройки векторов

Упорядоченная тройка векторов называется правой, если из конца третьего вектора поворот от вектора к вектору по наименьшему углу происходит против часовой стрелки (рис. 1), и левой – если поворот по наименьшему углу происходит по ходу часовой стрелки (рис. 2).

Упорядоченная тройка векторов { a, b, c } называется правой, если из конца третьего вектора c поворот от вектора a к вектору b по наименьшему углу происходит против часовой стрелки (рис.1) и левой, если поворот по наименьшему углу происходит по ходу часовой стрелки (рис.2).

 

Замечание. Правая тройка векторов также называется положительно ориентированной, а левая – отрицательно ориентированной.

Билет№11. Скалярное произведение векторов, его свойства. Выражение скалярного произведения в координатах. Приложения скалярного произведения.

 

 

Смешанное произведение векторов

 

Билет№ 12. Векторное и смешанное произведения векторов, их свойства. Координатное выражение векторного и смешанного произведения. Геометрические приложения. Двойное векторное произведение.

5) a * a =0

Выражение векторного произведения через координаты

Тройное векторное произведение (другое название: двойное векторное произведение) [ a, b, c ] векторов a, b, c — векторное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c