Билет №4 .Системы линейных уравнений. Матричная запись систем линейных уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса. Решение матричных уравнений и линейных систем с помощью обратной матрицы.

Системы линейных уравнений

Система m линейных уравнений с n переменными в общем виде записывается следующим образом:

где x_j – переменные, a_ij, b_i – константы, .

При этом величины a_ij (те константы, которые умножаются на переменные) принято называть коэффициентами при переменных, а правые части уравнений b_i (те константы, которые не умножаются на переменные) - свободными членами.

Более кратко ту же систему можно записать в виде:

 Решением такой системы называют совокупность n числовых значений переменных x_j, при подстановке которых в систему каждое уравнение обращается в истинное равенство.

 

Систему уравнений называют совместной, если она имеет хотя бы одно решение (т.е. хотя бы один такой набор из n чисел), и несовместной, если она не имеет решений.

 

Совместную систему уравнений называют определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

 

Две системы уравнений называются равносильными, или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

 

Запишем систему линейных уравнений в общем виде в матричной форме. Обозначим:

 

 

Кроме того, для решения систем линейных уравнений используют также понятие расширенной матрицы системы, которую получают, приписав к матрице системы справа столбец свободных членов:

Элементарным преобразованиям строк матрицы:

· а) отбрасыванию нулевых строк;

· б) умножению всех элементов строки на число, отличное от нуля;

· в) изменению порядка строк;

· г) прибавлению к каждому элементу строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любое число.

Таким образом, применяя к системе уравнений элементарные преобразования строк, мы получим равносильную систему.

Методы решения систем линейных уравнений

Рассмотрим вначале случай, когда число уравнений равно числу переменных, т.е. m = n. Тогда матрица системы - квадратная, а ее определитель называют определителем системы.

 

Метод обратной матрицы

Рассмотрим в общем виде систему уравнений АХ = В с невырожденной квадратной матрицей А. В этом случае существует обратная матрица А^-1. Домножим слева обе части на А^-1. Получим А^-1АХ = А^-1В. Отсюда ЕХ = А^-1В и

Х = А^-1В.

Последнее равенство представляет собой матричную формулу для нахождения решения таких систем уравнений. Использование этой формулы получило название метода обратной матрицы

 

Например, решим этим методом следующую систему:

;

В конце решения системы можно сделать проверку, подставив найденные значения в уравнения системы. При этом они должны обратиться в верные равенства.

Для рассмотренного примера проведем проверку: