Дифференциальное уравнение изогнутой упругой линии балки

Пусть к кон­со­ли бру­са при­ложе­на си­ла F (рис. 2.25); фор­му его изог­ну­той оси (или уп­ру­гой ли­нии) мож­но оп­ре­делить при по­мощи вы­раже­ния для ра­ди­уса кри­виз­ны:

Рис. 2.25

Из­вес­тно, в не­под­вижной сис­те­ме ко­ор­ди­нат zy кри­виз­на кри­вой свя­зана с про­из­водны­ми фун­кции y сле­ду­ющей за­виси­мостью:

Мы рас­смат­ри­ва­ем весьма жес­ткие брусья, по­это­му y ′, рав­ная tg a, ве­личи­на не­большая. Нап­ри­мер, a = 5°, tg 5° = 0,0875, (tg 5°)² = 0,00765. Та­кая ве­личи­на пре­неб­ре­жимо ма­ла по срав­не­нию с 1. По­это­му мо­жем при­нять 1/ρ» y ².

Тог­да y ² — это кри­виз­на изог­ну­той оси бру­са, y ′ — тан­генс уг­ла нак­ло­на ка­сательной к уп­ру­гой ли­нии бру­са (в си­лу ма­лос­ти уг­ла мож­но счи­тать, что y ′ — это угол a, на ко­торый по­вер­нется се­чение), y = f (z) — про­гиб уп­ру­гой ли­нии.

Итак,

Пе­репи­шем по­лучен­ную за­виси­мость, уточ­нив, что из­ги­ба­ющий мо­мент М _изг при­ложен в плос­кости zy:

или

По­лучен­ное вы­раже­ние пред­став­ля­ет со­бой диф­фе­рен­ци­альное урав­не­ние изог­ну­той оси бал­ки (уп­ру­гой ли­нии бал­ки).

При­мер 2.14

Для бру­са, по­казан­но­го на рис. 2.26, тре­бу­ет­ся оп­ре­делить про­гиб в точ­ке В и уг­лы по­воро­та опор­ных се­чений. При­нять: l = 5 м, q = 800 Н/м, J_x = 166 см⁴, Е = 2·10⁵ Н/мм², АВ = l /2.

Рис. 2.26

Ре­шение.

1. Оп­ре­деля­ем ре­ак­ции опор

2. Про­водим оси ко­ор­ди­нат, выб­рав на­чало от­сче­та на ле­вой опо­ре А.

3. Оп­ре­деля­ем из­ги­ба­ющий мо­мент в про­из­вольном се­чении бру­са, от­сто­ящем на рас­сто­янии z от ле­вой опо­ры.

Весь про­лет бру­са пред­став­ля­ет со­бой один учас­ток. За­писы­ва­ем сум­му мо­мен­тов от­но­сительно цен­тра тя­жес­ти се­чения, рас­смат­ри­вая рав­но­весие ле­вой от­се­чен­ной час­ти:

M _изг = Y_Az - qz ²/2, 0 £ z £ l.

4. Сос­тавля­ем диф­фе­рен­ци­альное урав­не­ние уп­ру­гой ли­нии бал­ки:

5. Про­ин­тегри­ровав, найдем за­виси­мость для оп­ре­деле­ния уг­лов по­воро­та опор­ных се­чений:

При z = 0 y ′ = q _A: EJ_x q _A = 0 - 0 + D ₁; q _A = D ₁/(EJ_x);

при z = l y ′ = q _C: EJ_x q _C = ql ³/4 - ql ³/4 - ql ³/6 + D ₁; q _C = (ql ³/12 + D ₁)/(EJ_x).

Пос­то­ян­ная ин­тегри­рова­ния D ₁ пос­ле пер­во­го ин­тегри­рова­ния по­ка не­из­вес­тна.

6. Про­ин­тегри­ру­ем еще раз и найдем фун­кцию для оп­ре­деле­ния про­гибов:

EJ_xy = (1/12) qlz ³ - (1/24) qz ⁴ + D ₁ z + D ₂.

В по­лучен­ную за­виси­мость прос­тавля­ем гра­нич­ные ус­ло­вия для оп­ре­деле­ния пос­то­ян­ных ин­тегри­рова­ния D ₁ и D ₂.

При z = 0 y = 0: 0 = 0 - 0 + 0 + D ₂, от­сю­да D ₂ = 0;

при z = l y = 0: 0 = (1/12) ql ⁴ - (1/24) ql ⁴ + D ₁ l, от­сю­да D ₁ = -(1/24) ql ³.

7. За­пишем урав­не­ния для оп­ре­деле­ния уг­ло­вых пе­реме­щений и про­гибов се­чений бал­ки в окон­ча­тельном ви­де:

8. Оп­ре­деля­ем про­гиб в точ­ке В — f_B.

В урав­не­ние про­гибов под­став­ля­ем ко­ор­ди­нату точ­ки В (z = l /2):

от­ку­да

Под­став­ля­ем ис­ходные дан­ные: l = 5 м = 5000 мм, q = 800 Н/м = 0,8 Н/мм, J_x = = 166 см⁴ = 166·10⁴ мм⁴, Е = 2·10⁵ Н/мм²:

Знак «-» оз­на­ча­ет, что бал­ка прог­ну­лась вниз (по­ложи­тельное нап­равле­ние оси ко­ор­ди­нат y — вверх).

9. Оп­ре­деля­ем угол по­воро­та опор­но­го се­чения q _А.

В урав­не­ние уг­ло­вых пе­реме­щений под­став­ля­ем z = 0:

Под­став­ля­ем ис­ходные дан­ные: l = 5000 мм, q = 0,8 Н/мм, J_x = =166·10⁴ мм⁴, Е = 2·10⁵ Н/мм²:

Угол по­лучил­ся от­ри­цательный, так как на­ходит­ся в чет­вертом квад­ранте.

10. Оп­ре­деля­ем угол по­воро­та опор­но­го се­чения q _С.

В урав­не­ние уг­ло­вых пе­реме­щений под­став­ля­ем z = l:

Се­чение над опо­рой С по­вер­ну­лось на та­кой же угол, как и се­чение над опо­рой А, вследс­твие сим­метрии при­ложен­ных к бал­ке наг­ру­зок; знак — по­ложи­тельный, так как угол по от­но­шению к оси z ос­трый.