Напряжения в брусе при прямом чистом изгибе

Чис­тый из­гиб в бру­се мо­жет иметь мес­то по всей дли­не бру­са ab (рис. 2.22, а) или только на его час­ти ab (рис. 2.22, б). Как уже ука­зыва­лось, под чис­тым из­ги­бом по­нима­ет­ся та­кой вид наг­ру­жения, при ко­тором в по­переч­ных се­чени­ях бру­са воз­ни­ка­ют только из­ги­ба­ющие мо­мен­ты, а Q = 0, сле­дова­тельно, из­ги­ба­ющий мо­мент ос­та­ет­ся пос­то­ян­ным (М _изг = const, см. рис. 2.22, а).

Рис. 2.22

На­несем на брус ор­то­гональную сет­ку, пос­ле че­го при­ложим мо­мен­ты М. Под действи­ем внеш­них мо­мен­тов М брус (рис. 2.23, а) изог­нется. В слу­чае од­но­род­но­го бру­са из­ме­нение кри­виз­ны для всех учас­тков бу­дет од­ним и тем же. Все се­чения (т. е. вер­ти­кальные ли­нии на­несен­ной сет­ки) од­но­род­но­го бру­са ос­та­лись плос­ки­ми и нор­мальны­ми к его оси пос­ле де­фор­ми­рова­ния. Го­ризон­тальные ли­нии на­несен­ной сет­ки, рас­по­ложен­ные на вы­пук­лой сто­роне бру­са, уд­ли­нились, а на вог­ну­той — ста­ли ко­роче. Оче­вид­но, су­щес­тву­ет слой, в ко­тором уд­ли­нение от­сутс­тву­ет; та­кой слой на­зыва­ют нейтральным.

Рис. 2.23

Пред­ста­вим, что брус сос­то­ит из бес­числен­но­го чис­ла «во­локон» и при­мем ги­поте­зу о не­надав­ли­вании во­локон друг на дру­га. Оп­ре­делим де­фор­ма­цию рас­тя­нуто­го во­лок­на, от­сто­яще­го от нейтрально­го слоя на рас­сто­янии y. Пусть ве­личи­на АС = dz, тог­да рас­тя­нутое во­лок­но ВD по­лучит уд­ли­нение D dz (рис. 2.23, б). Оп­ре­делим ли­нейную де­фор­ма­цию во­лок­на, от­сто­яще­го на рас­сто­янии y от нейтрально­го слоя, ес­ли его ра­ди­ус кри­виз­ны r = ОС:

Та­ким об­ра­зом, ли­нейная де­фор­ма­ция при чис­том из­ги­бе пря­мо про­пор­ци­ональна рас­сто­янию y от нейтрально­го слоя и об­ратно про­пор­ци­ональна ра­ди­усу кри­виз­ны.

По за­кону Гу­ка

Итак, при чис­том из­ги­бе нап­ря­жения в по­переч­ном се­чении из­ме­ня­ют­ся по ли­нейно­му за­кону. Ге­омет­ри­чес­кое мес­то то­чек в се­чении, удов­летво­ря­ющее ус­ло­вию s = 0, на­зыва­ет­ся нейтральной ли­ни­ей. Нейтральная ли­ния пер­пенди­куляр­на к плос­кости кри­виз­ны изог­ну­того бру­са, на рис. 2.23, б ее про­ек­ция от­ме­чена точ­кой С ′. Мак­си­мальное нап­ря­жение при из­ги­бе воз­ни­ка­ет в точ­ках по­переч­но­го се­чения, на­ибо­лее уда­лен­ных от нейтральной ли­нии: s_max = (Еy _max)/r (см. рис. 2.23, а).

По­кажем, что нейтральная ли­ния про­ходит че­рез центр тя­жес­ти се­чения. На­пом­ним, что нор­мальная си­ла N в по­переч­ном се­чении бру­са при чис­том из­ги­бе рав­на ну­лю:

Учи­тывая, что ра­ди­ус кри­виз­ны и мо­дуль уп­ру­гос­ти для дан­но­го по­переч­но­го се­чения — ве­личи­ны пос­то­ян­ные, име­ем от­ку­да

Этот ин­теграл пред­став­ля­ет со­бой ста­тичес­кий мо­мент се­чения от­но­сительно нейтральной ли­нии. Так как ста­тичес­кий мо­мент ра­вен ну­лю, то нейтральная ли­ния про­ходит че­рез центр тя­жес­ти се­чения.