Зависимость между изгибающим моментом и кривизной бруса

Пос­кольку при чис­том из­ги­бе бру­са внеш­ний мо­мент М действу­ет в плос­кости yz, то в се­чени­ях бру­са внут­ренние из­ги­ба­ющие мо­мен­ты со­от­ветс­твен­но от­но­сительно осей x и y бу­дут рав­ны:

Под­ста­вив вмес­то s = (Е /r) y, по­луча­ем

Вто­рое вы­раже­ние при­водит­ся к ви­ду J_xy = 0. Это оз­на­ча­ет, что из­ме­нение кри­виз­ны бру­са про­ис­хо­дит в плос­кости действия внеш­не­го мо­мен­та М, ко­торая обя­зательно про­ходит че­рез од­ну из глав­ных осей се­чения. Та­кой из­гиб на­зыва­ет­ся пря­мым.

Ес­ли из­ме­нение кри­виз­ны бру­са про­ис­хо­дит в плос­кости, в ко­торой действу­ет из­ги­ба­ющий мо­мент, и эта плос­кость про­ходит че­рез глав­ные оси се­чения, то та­кой из­гиб на­зыва­ет­ся пря­мым.

Из пер­во­го вы­раже­ния по­луча­ем за­виси­мость кри­виз­ны бру­са 1/r от из­ги­ба­юще­го мо­мен­та М и мо­мен­та инер­ции се­чения J_x от­но­сительно глав­ной цен­тральной оси, пер­пенди­куляр­ной к плос­кости из­ги­ба­юще­го мо­мен­та:

Ве­личи­на ЕJ_x на­зыва­ет­ся жес­ткостью бру­са при из­ги­бе. Из этой за­виси­мос­ти по­луча­ем фор­му­лу для рас­че­та нап­ря­жений при из­ги­бе:

В точ­ках, на­ибо­лее уда­лен­ных от нейтральной ли­нии, воз­ни­ка­ет мак­си­мальное нап­ря­жение

От­но­шение J_x / y _max на­зыва­ет­ся мо­мен­том соп­ро­тив­ле­ния се­чения при из­ги­бе и обоз­на­ча­ет­ся W_x:

W_x = J_x / y _max.

Нап­ри­мер, для пря­мо­угольно­го се­чения

где b — ши­рина; h — вы­сота се­чения;

для круг­ло­го по­переч­но­го се­чения

где D — ди­аметр се­чения.

Итак, при пря­мом чис­том из­ги­бе

Ко­сым из­ги­бом на­зыва­ет­ся из­гиб, при ко­тором плос­кость из­ги­ба­юще­го мо­мен­та не сов­па­да­ет с глав­ной осью се­чения.

Рас­чет на проч­ность при пря­мом чис­том из­ги­бе по ме­тоди­ке ана­логи­чен рас­че­там на проч­ность при рас­тя­жении и кру­чении. Оп­ре­деля­ют нап­ря­жения в се­чени­ях по дли­не бру­са и из них (по эпю­ре нап­ря­жений) вы­бира­ют на­ибольшее, пос­ле че­го из ус­ло­вия

s_{max на­иб} ≤ [s]_р(сж)

оп­ре­деля­ют ге­омет­ри­чес­кие раз­ме­ры по­переч­но­го се­чения бру­са.

При­мер 2.11

Оп­ре­делить ди­аметр по­переч­но­го се­чения круг­ло­го бру­са, наг­ру­жен­но­го из­ги­ба­ющим мо­мен­том М = 60 кН·м (см. рис. 2.22, а), ес­ли до­пус­ка­емое нап­ря­жение [s]_р = 160 Н/мм².

Ре­шение.

1. Пос­кольку эпю­ра из­ги­ба­ющих мо­мен­тов уже из­вес­тна, а брус име­ет пос­то­ян­ное по­переч­ное се­чение, то оп­ре­деля­ем тре­бу­емый мо­мент соп­ро­тив­ле­ния:

2. Оп­ре­деля­ем ди­аметр круг­ло­го бру­са:

При­мер 2.12

Для бал­ки (cм. рис. 2.22, б) по­доб­рать се­чение про­филя швел­ле­ра, обес­пе­чив при этом двук­ратный за­пас проч­ности при F = 21000 Н, l = 1м, s_т.р = 30000 Н/см².

Ре­шение.

1. Стро­им эпю­ру из­ги­ба­ющих мо­мен­тов (см. рис. 2.22, б). На­ибольший из­ги­ба­ющий мо­мент воз­ни­ка­ет на учас­тке чис­то­го из­ги­ба и ра­вен Fl.

2. Вы­чис­ля­ем тре­бу­емый мо­мент соп­ро­тив­ле­ния W_x се­чения швел­ле­ра:

от­ку­да

3. В При­ложе­нии III при­веде­на таб­ли­ца стан­дар­тных про­филей (ГОСТ 8240—97), по ко­торой вы­бира­ем швел­лер № 20У, у ко­торо­го W_x = 152 см³.