Коэффициент запаса при циклическом нагружении и его определение

В ре­зульта­те ис­пы­таний груп­пы об­разцов в ус­ло­ви­ях асим­метрич­ных цик­лов по­луча­ют пре­дельное зна­чение s _a, со­от­ветс­тву­ющее выб­ранно­му зна­чению s _m. Это да­ет од­ну точ­ку на ди­аг­рамме s _a —s _m (рис. 2.37, а). По ре­зульта­там ис­пы­таний дру­гой груп­пы об­разцов на­ходят вто­рую точ­ку и т. д. В ре­зульта­те по­луча­ют кри­вую пре­дельных нап­ря­жений при асим­метрич­ном цик­ле. Она на­зыва­ет­ся ди­аг­раммой пре­дельных ам­пли­туд. На этой ди­аг­рамме ре­зультат ис­пы­таний об­разцов при сим­метрич­ном цик­ле от­ме­чен точ­кой L. Точ­ка N для хруп­ких ма­тери­алов со­от­ветс­тву­ет пре­делу проч­ности об­разца. Ле­вая часть ди­аг­раммы мо­жет быть ап­прок­си­миро­вана пря­мой, име­ющей уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент y_s = tg a. Тог­да для ле­вой час­ти ди­аг­раммы мож­но за­писать

s _a = s_-1 - y_ss _m.

Рис. 2.37

Эк­спе­римен­ты по­казы­ва­ют, что для уг­ле­родис­тых ста­лей y_s = 0,1…0,2, для ле­гиро­ван­ных ста­лей y_s = 0,2…0,3; при кру­чении тех же об­разцов y_t = 0,05…0,1 и y_t = 0,1…0,5 со­от­ветс­твен­но.

При схе­мати­зации кри­вую на ди­аг­рамме пре­дельных ам­пли­туд за­меня­ют дву­мя пря­мыми (см. рис. 2.37, а); вто­рая пря­мая про­ходит под уг­лом 45° к оси аб­сцисс из точ­ки N.

На рис. 2.37, а пред­став­ле­на диа­грам­ма пре­дельных ам­пли­туд для об­разца. Пос­тро­ив ди­аг­рамму пре­дельных ам­пли­туд при асим­метрич­ном цик­ле для де­тали, по­лучим воз­можность про­водить рас­че­ты на проч­ность де­талей, ра­бота­ющих в ус­ло­ви­ях цик­ли­чес­ки ме­ня­ющих­ся нап­ря­жений. Для де­тали с уче­том вли­яния мес­тных нап­ря­жений, мас­штаб­но­го фак­то­ра и ка­чес­тва об­ра­бот­ки по­вер­хнос­ти пре­дельные ам­пли­туды нап­ря­жений s _a уменьшат­ся в К раз. Сле­дова­тельно, для ра­бочей точ­ки (р. т.) А (рис. 2.37, б) ам­пли­туда

где К = К _s/(К_{d s} K_F). В со­от­ветс­твии с ГОСТ 25.504—82 ко­эф­фи­ци­ент сни­жения пре­дела вы­нос­ли­вос­ти для 50%-ной ве­ро­ят­ности раз­ру­шения (Р = 0,5) бу­дет оп­ре­деляться сле­ду­ющей за­виси­мостью:

По­мимо рас­смот­ренных ра­нее ко­эф­фи­ци­ен­тов, вли­яющих на сни­жение пре­дела вы­нос­ли­вос­ти, в эту за­виси­мость вхо­дят ко­эф­фи­ци­ент ани­зот­ро­пии K_А и ко­эф­фи­ци­ент вли­яния по­вер­хностно­го уп­рочне­ния K_v (о по­вер­хностном уп­рочне­нии см. гла­ву 4).

Та­ким об­ра­зом, мы по­лучи­ли дан­ные для пос­тро­ения ди­аг­раммы пре­дельных ам­пли­туд де­тали (см. рис. 2.37, б). Ус­ло­вим­ся под ко­эф­фи­ци­ен­том за­паса цик­ли­чес­кой проч­ности по­нимать от­но­шение от­резков 0 В к 0 А:

n_R = 0 В /0 А.

Это со­от­но­шение ха­рак­те­ризу­ет сте­пень бли­зос­ти ра­бочих ус­ло­вий де­тали к пре­дельно­му сос­то­янию ма­тери­ала.

Для оп­ре­деле­ния за­паса проч­ности n_R вос­пользу­ем­ся ге­омет­ри­чес­ки­ми со­от­но­шени­ями от­резков на рис. 2.37, б BD /0 D = AC /0 C, сле­дова­тельно, s _aВ /s _mВ = s _a /s _m, от­ку­да s _aВ = s _mВ (s _a /s _m). Но s _aВ = (1/ К)(s_-1 - y_ss _mВ). При­рав­ни­вая пра­вые час­ти, по­луча­ем урав­не­ние, из ко­торо­го на­ходим s _mВ:

Зная, что 0 D /0 С = s _mВ /s _m (см. рис. 2.37, б) и 0 D /0 С = 0 В /0 А, по­луча­ем окон­ча­тельное вы­раже­ние для оп­ре­деле­ния ко­эф­фи­ци­ен­та за­паса цик­ли­чес­кой проч­ности:

Ес­ли точ­ка В ока­жет­ся на пра­вой ог­ра­ничи­ва­ющей пря­мой, s_max = s _m + s _a < s_в.р. В этом слу­чае конс­трук­тор, наз­на­чая раз­ме­ры де­тали, на­чина­ет рас­чет с вы­пол­не­ния обыч­ных ус­ло­вий по пре­делу те­кучес­ти или вре­мен­но­му соп­ро­тив­ле­нию раз­ры­ву, обес­пе­чивая не­об­хо­димый за­пас n _т = s_т/s_max или n _в = s_в.р/s_max, и только за­тем (ес­ли нуж­но) вы­чис­ля­ет n_R.

Ана­логич­ным об­ра­зом оп­ре­деля­ют ко­эф­фи­ци­ент за­паса для кру­чения.

 

 

Прочность при динамических нагрузках

Ес­ли на эле­мен­ты конс­трук­ции действу­ют ак­тивные внеш­ние си­лы и под действи­ем этих сил все эле­мен­ты рас­смат­ри­ва­емой конс­трук­ции на­ходят­ся в рав­но­весии, то име­ет мес­то ста­тичес­кое наг­ру­жение. Ес­ли же те­ло под действи­ем при­ложен­ных сил пе­реме­ща­ет­ся с ус­ко­рени­ем, то та­кое наг­ру­жение на­зыва­ет­ся ди­нами­чес­ким.

В том слу­чае, ког­да под действи­ем при­ложен­ных сил те­ло пе­реме­ща­ет­ся с пос­то­ян­ной ско­ростью, та­кое наг­ру­жение бу­дет ста­тичес­ким.

Нап­ри­мер, груз под­ни­ма­ет­ся с пос­то­ян­ной ско­ростью. Воз­действие гру­за на трос бу­дет ста­тичес­ким. Ес­ли тот же груз бу­дет под­ни­маться с ус­ко­рени­ем, то его действие на трос уже бу­дет ди­нами­чес­ким.

Еще при­мер ди­нами­чес­ко­го наг­ру­жения: воз­действие на фун­да­мент па­рово­го мо­лота при ков­ке. При рез­ком из­ме­нении ско­рос­ти дви­жения име­ет мес­то яв­ле­ние уда­ра. В та­ких слу­ча­ях мо­жет об­на­ружиться хруп­кость ма­тери­алов, ко­торые при ста­тичес­ком действии наг­ру­зок ве­ли се­бя как плас­тичные. По­это­му при про­вер­ке проч­ности де­талей конс­трук­ции, под­верга­ющих­ся действию ди­нами­чес­ких наг­ру­зок, при­ходит­ся учи­тывать вли­яние этих наг­ру­зок не только на ве­личи­ну вы­зыва­емых ими нап­ря­жений, но и на из­ме­нение свойств этих ма­тери­алов.

Та­ким об­ра­зом, при ус­ко­рен­ном дви­жении час­тей конс­трук­ции в них воз­ни­ка­ют до­бавоч­ные нап­ря­жения, выз­ванные си­лами инер­ции.

Сле­ду­ет раз­ли­чать три слу­чая ди­нами­чес­ко­го наг­ру­жения:

• ес­ли ве­личи­на и рас­по­ложе­ние внеш­них сил, при­ложен­ных к рас­смат­ри­ва­емо­му эле­мен­ту, не за­висят от его де­фор­ма­ций и ес­ли эти де­фор­ма­ции не из­ме­ня­ют ха­рак­те­ра дви­жения стер­жня, то ус­ко­рения его то­чек вы­чис­ля­ют­ся по пра­вилам ки­нема­тики твер­до­го те­ла; учет ди­нами­чес­ких воз­действий бу­дет сво­диться к оп­ре­деле­нию до­бавоч­ной наг­рузки, выз­ванной си­лами инер­ции. Это име­ет мес­то в большинс­тве слу­ча­ев (за ис­клю­чени­ем уда­ра);
• ес­ли воз­ни­ка­ют ко­леба­ния рас­смат­ри­ва­емой час­ти конс­трук­ции, то учет ди­нами­чес­кой наг­рузки бу­дет сво­диться так­же к оп­ре­деле­нию до­бавоч­ной наг­рузки, выз­ванной си­лами инер­ции. Кро­ме то­го, дол­жен быть про­веден рас­чет на­ибо­лее нап­ря­жен­ных эле­мен­тов на ус­та­лос­тную проч­ность;
• ес­ли зна­чение ус­ко­рений, а зна­чит, и со­от­ветс­тву­ющих сил инер­ции бу­дет за­висеть от де­фор­ми­ру­емос­ти рас­смат­ри­ва­емых эле­мен­тов (в слу­чае уда­ра), то при вы­чис­ле­нии сил инер­ции не­об­хо­димо бу­дет ис­пользо­вать дан­ные соп­ро­тив­ле­ния ма­тери­алов.

Про­вер­ка проч­ности для каж­до­го из ука­зан­ных слу­ча­ев име­ет свою спе­цифи­ку.

При­мер 2.18

Груз ве­сом G под­ни­ма­ет­ся рав­но­ус­ко­рен­но тро­сом, пло­щадь по­переч­но­го се­чения ко­торо­го S. Найти нап­ря­жение, воз­ни­ка­ющее в тро­се, ес­ли ус­ко­рение гру­за рав­но а. Ве­сом тро­са пре­неб­речь.

Ре­шение.

I спо­соб.

1. За­пишем урав­не­ние дви­жения гру­за, рас­смат­ри­вая его как ма­тери­альную точ­ку. Для это­го ос­во­бодим груз от свя­зи, за­менив ее действие си­лой на­тяже­ния Т (рис. 2.38, а):

Рис. 2.38

Спро­еци­ровав это урав­не­ние на вер­ти­кальную ось z, по­лучим

ma = - G + T,

от­ку­да

T = G + (G / g) a.

2. Оп­ре­деля­ем ди­нами­чес­кое нап­ря­жение в по­переч­ном се­чении тро­са:

II спо­соб.

1. Прик­ла­дыва­ем к гру­зу ак­тивные, пас­сивные и инер­ци­он­ные си­лы (рис. 2.38, б). Инер­ци­он­ная си­ла F _ин дол­жна быть рав­на ma и нап­равле­на в сто­рону, про­тиво­полож­ную нап­равле­нию ус­ко­рения a.

2. При­меняя прин­цип Д′Алам­бе­ра, за­пишем ус­ло­вия рав­но­весия при­ложен­ных сил:

- G - F _ин + T = 0,

от­ку­да оп­ре­деля­ем T = G + F _ин = G + (G / g) a.

3. Оп­ре­деля­ем ди­нами­чес­кое нап­ря­жение в по­переч­ном се­чении тро­са:

От­вет. Ди­нами­чес­кое нап­ря­жение, воз­ни­ка­ющее в по­переч­ном се­чении тро­са, рав­но

Ана­лизи­руя по­лучен­ный ре­зультат, от­ме­тим, что ди­нами­чес­кое нап­ря­жение рав­но ста­тичес­ко­му, ум­но­жен­но­му на ди­нами­чес­кий ко­эф­фи­ци­ент k_д = (1 + a / g):

 

 

Устойчивость при осевом нагружении стержня

• За­дача Эйле­ра
• За­виси­мость кри­тичес­кой си­лы от ус­ло­вий за­креп­ле­ния стер­жня
• Гиб­кость стер­жня
• Об­ласть при­мени­мос­ти фор­му­лы Эйле­ра
• Рас­чет сжа­тых стер­жней на ус­тойчи­вость
• Ко­эф­фи­ци­ент за­паса по ус­тойчи­вос­ти

Под ус­тойчи­востью по­нима­ет­ся свойство сис­те­мы са­мос­то­ятельно вос­ста­нав­ли­вать свое пер­во­начальное сос­то­яние пос­ле то­го, как ей бы­ло со­об­ще­но не­кото­рое от­кло­нение от по­ложе­ния рав­но­весия. Ес­ли сис­те­ма та­ким свойством не об­ла­да­ет, то она на­зыва­ет­ся не­ус­тойчи­вой (го­ворят, что про­изош­ла по­теря ус­тойчи­вос­ти).

Сис­те­ма, по­теряв­шая ус­тойчи­вость, мо­жет вес­ти се­бя по-раз­но­му, но пе­реход к но­вому по­ложе­нию рав­но­весия соп­ро­вож­да­ет­ся больши­ми пе­реме­щени­ями. Клас­си­чес­ким при­мером не­ус­тойчи­вого рав­но­весия яв­ля­ет­ся рав­но­весие ша­рика на вы­пук­лой по­вер­хнос­ти (рис. 2.39, а). Ма­лейшее от­кло­нение от это­го по­ложе­ния при­ведет к то­му, что ша­рик ска­тит­ся вниз (рис. 2.39, б, в). По­пав на вог­ну­тую по­вер­хность, ша­рик бу­дет на­ходиться в сос­то­янии ус­тойчи­вого рав­но­весия. Ес­ли те­перь его вы­вес­ти из это­го сос­то­яния, от­кло­нив вле­во или впра­во, он вер­нется в пер­во­начальное по­ложе­ние.

Рис. 2.39

Яв­ле­ние по­тери ус­тойчи­вос­ти уп­ру­гими те­лами мож­но наб­лю­дать на це­лом ря­де при­меров. На­ибо­лее прос­тым слу­ча­ем яв­ля­ет­ся по­теря ус­тойчи­вос­ти цен­трально сжа­того стер­жня (рис. 2.40). При не­кото­ром зна­чении си­лы стер­жень не смо­жет сох­ра­нить пря­моли­нейную фор­му и изог­нется. Про­изойдет по­теря ус­тойчи­вос­ти.

Рис. 2.40

Тон­костен­ная тру­ба, наг­ру­жен­ная внеш­ним дав­ле­ни­ем, так­же мо­жет по­терять ус­тойчи­вость. При этом круг­лое се­чение при­нима­ет фор­му эл­липса, и тру­ба сплю­щива­ет­ся.

Задача Эйлера

Впер­вые за­дача об ус­тойчи­вос­ти стер­жня бы­ла пос­тавле­на и ре­шена Л.Эйле­ром в се­реди­не XVIII в. По­это­му, ког­да речь идет об ус­тойчи­вос­ти сжа­того стер­жня, упот­ребля­ют вы­раже­ние «ус­тойчи­вость стер­жня по Эйле­ру». Эйлер оп­ре­делил зна­чение пер­вой кри­тичес­кой си­лы для про­дольно сжа­того стер­жня с шар­нирным опи­рани­ем (рис. 2.41).

Рис. 2.41

За­пишем диф­фе­рен­ци­альное урав­не­ние изог­ну­той оси бал­ки:

EJy ² = - M.

Из­ги­ба­ющий мо­мент М = Fy (см. рис. 2.41). Под­ста­вим в пра­вую часть диф­фе­рен­ци­ально­го урав­не­ния вмес­то из­ги­ба­юще­го мо­мен­та М его зна­чение Fy и пе­рене­сем все чле­ны в ле­вую часть. В ре­зульта­те по­лучим од­но­род­ное диф­фе­рен­ци­альное урав­не­ние

y ² + k ² y = 0,

где k ² = F /(EJ).

За­пишем ре­шение это­го од­но­род­но­го урав­не­ния: y = С  sin  kz + D  cos  kz. Оп­ре­делим про­из­вольные пос­то­ян­ные из гра­нич­ных ус­ло­вий: при z = 0 y = 0 и при z = l y = 0. Из пер­во­го ус­ло­вия вы­тека­ет, что D = 0, а из вто­рого — что С  sin  kl = 0. Это урав­не­ние име­ет два ре­шения: С = 0 и sin  kl = 0. Ког­да С = 0, пе­реме­щения y тож­дес­твен­но об­ра­ща­ют­ся в нуль; этот слу­чай нас не ин­те­ресу­ет. Рас­смот­рим вто­рой слу­чай. Ес­ли sin  kl = 0, то kl = p n, где n = 1, 2, 3 … При n = 1 kl = p и тог­да k ² l ² = p². Под­ста­вив в это ра­венс­тво вмес­то k ² = F /(EJ), по­лучим вы­раже­ние для оп­ре­деле­ния пер­вой кри­тичес­кой си­лы:

Та­ким об­ра­зом, кри­тичес­кая си­ла F _кр пред­став­ля­ет со­бой на­именьшую сжи­ма­ющую си­лу, при ко­торой на­ряду с пря­моли­нейной фор­мой рав­но­весия ста­новит­ся воз­можной дру­гая (из­гибная) фор­ма рав­но­весия. Ина­че го­воря, пря­моли­нейная фор­ма рав­но­весия ста­новит­ся не­ус­тойчи­вой.