Коэффициент запаса по устойчивости

При рас­че­те про­дольно сжа­того стер­жня не­об­хо­димо пом­нить, что нап­ря­жение сжа­тия не дол­жно пре­вышать кри­тичес­ко­го

s = F / S _бр £ s_кр = F _кр/ S _бр.

От­сю­да s £ s_кр/ n _у, или j[s]_сж = s_кр/ n _у. Та­ким об­ра­зом, ко­эф­фи­ци­ент за­паса по ус­тойчи­вос­ти

При­мер 2.22

Для ус­ло­вий при­мера 2.21 оп­ре­делить ко­эф­фи­ци­ент за­паса по ус­тойчи­вос­ти сжа­той стойки, ес­ли мо­дуль уп­ру­гос­ти уг­ле­родис­той ста­ли Е = 2·10⁵ МПа, а s_пц = = 200 МПа.

Ре­шение.

1. Оп­ре­деля­ем l_пред.

Преж­де все­го не­об­хо­димо оп­ре­делить, по ка­кой фор­му­ле счи­тать s_кр. Для это­го вы­чис­ля­ем l_пред:

В рас­смот­ренном при­мере 2.21 гиб­кость стойки бы­ла рав­на 156, по­это­му при­мени­ма фор­му­ла Эйле­ра.

2. Вы­чис­ля­ем кри­тичес­кую си­лу

3. Вы­чис­ля­ем ко­эф­фи­ци­ент за­паса по ус­тойчи­вос­ти

 

 

Раскрытие статической неопределимости стержневых систем

Ста­тичес­ки не­оп­ре­дели­мой сис­те­мой на­зыва­ет­ся та­кая, у ко­торой чис­ло на­ложен­ных свя­зей больше, чем те­оре­тичес­ки не­об­хо­димо для обес­пе­чения ге­омет­ри­чес­кой не­из­ме­ня­емос­ти этой сис­те­мы.

В ре­альных конс­трук­ци­ях, нес­мотря на вы­пол­не­ние ус­ло­вий рав­но­весия сил, действу­ющих на дан­ную конс­трук­цию, при­ходит­ся иног­да для обес­пе­чения проч­ности от­дельных ее эле­мен­тов вво­дить до­пол­ни­тельные свя­зи.

Сте­пень ста­тичес­кой не­оп­ре­дели­мос­ти со­от­ветс­тву­ет раз­ности меж­ду чис­лом не­из­вес­тных (ре­ак­ций опор и внут­ренних си­ловых фак­то­ров) и чис­лом не­зави­симых урав­не­ний ста­тики.

Из­ло­жим ме­тоди­ку рас­кры­тия ста­тичес­кой не­оп­ре­дели­мос­ти ме­хани­чес­ких сис­тем, сос­тавлен­ных из пря­мых брусьев, ра­бота­ющих только на рас­тя­жение (сжа­тие).

При рас­кры­тии ста­тичес­кой не­оп­ре­дели­мос­ти при­дер­жи­ва­ют­ся сле­ду­юще­го по­ряд­ка ре­шения за­дачи.

1. Вы­чер­чи­ва­ют за­дан­ную стер­жне­вую сис­те­му, прос­та­вив на ней все наг­рузки (рис. 2.45, а).

Рис. 2.45

2. Вы­чер­чи­ва­ют вспо­мога­тельную сис­те­му, ос­во­бож­денную от свя­зей. На мес­то от­бро­шен­ных свя­зей прос­тавля­ют в за­виси­мос­ти от ти­па и ха­рак­те­ра свя­зи ре­ак­ции (рис. 2.45, б).

3. Сос­тавля­ют не­об­хо­димое и дос­та­точ­ное чис­ло урав­не­ний рав­но­весия. Со­пос­тавляя чис­ло не­из­вес­тных с чис­лом урав­не­ний, оп­ре­деля­ют сте­пень ста­тичес­кой не­оп­ре­дели­мос­ти. Пос­кольку на пред­став­ленную на рис. 2.45, а стер­жне­вую сис­те­му действу­ет про­из­вольная плос­кая сис­те­ма сил, то мож­но сос­та­вить только три не­зави­симых урав­не­ния рав­но­весия, а не­из­вес­тных ре­ак­ций — че­тыре. Сле­дова­тельно, дан­ная стер­жне­вая сис­те­ма один раз ста­тичес­ки не­оп­ре­дели­ма.

4. Вы­бира­ют ос­новную сис­те­му, т. е. сис­те­му, по­доб­ную за­дан­ной, но ос­во­бож­денную от до­пол­ни­тельных свя­зей. Ос­новная сис­те­ма дол­жна быть ге­омет­ри­чес­ки не­из­ме­ня­емой. Для дан­но­го при­мера ос­новны­ми сис­те­мами мо­гут быть только три, по­казан­ные на рис. 2.45, в, г, д.

5. Вы­чер­чи­ва­ют эк­ви­вален­тную сис­те­му, т. е. ос­новную сис­те­му с при­ложен­ны­ми к ней за­дан­ны­ми и ис­ко­мыми си­лами (рис. 2.45, е).

6. Из рас­смот­ре­ния пе­реме­щений в за­дан­ной и эк­ви­вален­тной сис­те­мах сос­тавля­ют столько урав­не­ний пе­реме­щений, сколько раз сис­те­ма ста­тичес­ки не­оп­ре­дели­ма.

7. Урав­не­ния пе­реме­щений пре­об­ра­зу­ют в урав­не­ния сил.

8. По­лучен­ную в пп. 3 и 7 сис­те­му урав­не­ний ре­ша­ют сов­мес­тно и оп­ре­деля­ют не­из­вес­тные си­ловые фак­то­ры.

Рас­смот­рим ме­тоди­ку сос­тавле­ния урав­не­ний пе­реме­щений на прос­тейших при­мерах рас­кры­тия ста­тичес­кой не­оп­ре­дели­мос­ти стер­жне­вых сис­тем.

При­мер 2.23

Пря­мой од­но­род­ный стер­жень (рис. 2.46, а) жес­тко за­креп­лен по кон­цам и наг­ру­жен вдоль оси сим­метрии про­дольны­ми си­лами, раз­ме­ры стер­жня ука­заны на чер­те­же. Оп­ре­делить ре­ак­ции опор, пос­тро­ить эпю­ры внут­ренних сил, нап­ря­жений и пе­реме­щений по вы­соте стер­жня.

Рис. 2.46

Pеше­ние.

Пос­кольку брус под действи­ем при­ложен­ных сил на­ходит­ся в рав­но­весии, то по пя­той ак­си­оме ста­тики рав­но­весие не на­рушит­ся, ес­ли сис­те­ма ста­нет аб­со­лют­но твер­дой.

При­меняя прин­цип ос­во­бож­да­емос­ти от свя­зей, за­меним ус­ловно от­бро­шен­ные опо­ры А и В ре­ак­ци­ями и вы­чер­тим вспо­мога­тельную сис­те­му (рис. 2.46, б).

Сос­та­вим урав­не­ние рав­но­весия, спро­еци­ровав все си­лы на вер­ти­кальную ось, при­рав­няв их сум­му к ну­лю:

N_A - F + 2 F - N_B = 0.

Пос­кольку име­ем од­но не­зави­симое урав­не­ние рав­но­весия, а не­из­вес­тных ре­ак­ций две (N_A и N_В), то сис­те­ма один раз ста­тичес­ки не­оп­ре­дели­ма. Дан­ную за­дачу урав­не­ни­ями ста­тики ре­шить нельзя. Для рас­кры­тия ста­тичес­кой не­оп­ре­дели­мос­ти преж­де все­го вы­бира­ем ос­новную и вы­чер­чи­ва­ем эк­ви­вален­тную сис­те­му (рис. 2.46, в), пос­ле че­го сос­тавля­ем урав­не­ние пе­реме­щений для тор­ца В, имея в ви­ду, что под действи­ем сил F, 2 F и N_B пе­реме­щение это­го се­чения дол­жно быть рав­но ну­лю, так как на­ложен­ные свя­зи (жес­ткие за­дел­ки) не до­пус­ка­ют ни­каких пе­реме­щений опор­ных се­чений:

U_B (F, 2 F, N_B) = 0.

Вос­пользу­ем­ся прин­ци­пом не­зави­симос­ти действия сил, тог­да

U_B (F, 2 F, N_B) = U_B (F) + U_B (2 F) + U_B (N_B).

Оп­ре­делим пе­реме­щения се­чения В от си­лы F, для че­го к ос­новной сис­те­ме прик­ла­дыва­ем только си­лу F (рис. 2.47, а). Да­лее стро­им эпю­ру внут­ренних сил по вы­соте бру­са — эпю­ра N, а за­тем эпю­ру пе­реме­щений U. При пос­тро­ении эпю­ры пе­реме­щений не­об­хо­димо раз­бить дли­ну стер­жня на два учас­тка. Гра­ницей учас­тков слу­жат се­чения, про­ходя­щие че­рез точ­ки при­ложе­ния внеш­них сил. Ну­мера­ция учас­тков про­из­во­дит­ся от не­под­вижно­го се­чения бру­са, от ко­торо­го на­чина­ют стро­ить эпю­ру пе­реме­щений. На учас­тке I осе­вое пе­реме­щение лю­бого по­переч­но­го се­чения оп­ре­деля­ет­ся из за­виси­мос­ти

что спра­вед­ли­во для 0 £ z _I £ l.

Рис. 2.47

В си­лу ли­нейнос­ти фун­кции U _I(z _I) дос­та­точ­но оп­ре­делить два ее зна­чения и, от­ме­тив эти точ­ки на эпю­ре пе­реме­щений U, со­еди­нить их пря­мой ли­ни­ей. При z _I = 0 U = 0, а при z _I = l Та­ким об­ра­зом, эпю­ра на учас­тке I пос­тро­ена.

На учас­тке II пе­реме­щение лю­бого се­чения оп­ре­делит­ся так:

что спра­вед­ли­во для l £ z _II £ 3 l.

Пос­кольку на учас­тке II внут­ренние си­лы в по­переч­ном се­чении рав­ны ну­лю, то

и бу­дет пос­то­ян­но по всей дли­не стер­жня.

Те­перь к ос­новной сис­те­ме прик­ла­дыва­ем си­лу 2 F (рис. 2.47, б) и стро­им эпю­ру внут­ренних сил N. От действия си­лы 2 F стер­жень сжи­ма­ет­ся.

Для пос­тро­ения эпю­ры пе­реме­щений U раз­би­ва­ем дли­ну стер­жня на три учас­тка. На учас­тке I

для 0 £ z _I £ 2 l.

При z _I = 0 U = 0, а при z _I = 2 l

На учас­тке II пе­реме­щения оп­ре­деля­ют­ся из за­виси­мос­ти

для 2 l £ z _II £ 3 l.

На гра­нице это­го учас­тка аб­со­лют­ное пе­реме­щение се­чения (при z _II = 3 l)

На учас­тке III

для 3 l £ z _III £ 4 l.

Пос­кольку на учас­тке III нор­мальная си­ла N _III = 0, то пе­реме­щение се­чения В

Сле­дова­тельно, пе­реме­щение

На­конец, стро­им эпю­ры внут­ренних сил и пе­реме­щений от си­лы NB (рис. 2.47, в).

При пос­тро­ении эпю­ры пе­реме­щений име­ем два учас­тка: I и II.

На учас­тке I

для 0 £ z _I £ 2 l.

При z _I = 0 U _I = 0 и при z _I = 2 l по двум точ­кам стро­им эпю­ру пе­реме­щений на учас­тке I.

На учас­тке II

для 2 l £ z _II £ 4 l.

При z _II = 4 l

Итак, от си­лы N_B се­чение В по­лучит осе­вое пе­реме­щение

В ре­зульта­те мы по­лучи­ли:

и

Вы­пол­няя ус­ло­вие U_B (F, 2 F, N_B) = U_B (F) + U_B (2 F) + U_B (N_B), сло­жим по­лучен­ные зна­чения пе­реме­щений се­чения В и при­рав­ня­ем их сум­му к ну­лю, так как это се­чение не мо­жет пе­реме­щаться:

Из дан­но­го урав­не­ния оп­ре­деля­ем

По­лучен­ный по­ложи­тельный знак оз­на­ча­ет, что про­из­вольно выб­ранное нап­равле­ние ре­ак­ции NB бы­ло вер­ным.

Ста­тичес­кая не­оп­ре­дели­мость рас­кры­та, по­это­му мож­но пос­тро­ить эпю­ры внут­ренних сил, нап­ря­жений и пе­реме­щений по вы­соте бру­са для за­дан­ной схе­мы наг­ру­жения (см. рис. 2.46, г, д, е) пу­тем пос­ле­дова­тельно­го сло­жения эпюр на рис. 2.47, а, б, в.

На эпю­ре внут­ренних нор­мальных сил скач­ки дол­жны со­от­ветс­тво­вать зна­чени­ям при­ложен­ных сос­ре­дото­чен­ных сил, а пе­реме­щение се­чения В дол­жно об­ра­титься в нуль.

При­мер 2.24

Для за­дан­ной сис­те­мы наг­ру­жения стально­го сту­пен­ча­того бру­са (рис. 2.48, 2.49, а):

1) оп­ре­делить ми­нимальное зна­чение наг­рузки F = F ₁, при ко­торой пе­рек­ро­ет­ся за­зор;

2) пос­тро­ить эпю­ры внут­ренних сил, нап­ря­жений и пе­реме­щений для наг­рузки F = 2 F ₁;

3) про­вес­ти про­вероч­ный рас­чет на проч­ность, ес­ли [s]_р = [s]_сж = 160 Н/мм², а = 1 мм, l = 1,2 м, Е = 2·10⁵ Н/мм².

Рис. 2.48 Рис. 2.49

Ре­шение.

Сис­те­ма ос­та­ет­ся ста­тичес­ки оп­ре­дели­мой до тех пор, по­ка уд­ли­нение от за­дан­ной си­лы не пре­вос­хо­дит за­зора:

По­лагая F = F ₁, пос­ле­дова­тельно стро­им эпю­ры N, s и U, тем са­мым оп­ре­деля­ем осе­вое пе­реме­щение сво­бод­но­го тор­ца:

От­сю­да на­ходим ми­нимальное зна­чение си­лы F ₁, при ко­торой пе­рек­ро­ет­ся за­зор:

При дальнейшем уве­личе­нии си­лы за­дача ста­новит­ся ста­тичес­ки не­оп­ре­дели­мой.

При­ложим си­лу F = 2 F ₁. Под действи­ем этой си­лы за­зор пе­рек­ры­ва­ет­ся (рис. 2.49, б) и воз­ни­ка­ют опор­ные ре­ак­ции N_А и N_В. Пос­кольку име­ем од­но не­зави­симое урав­не­ние рав­но­весия

N_А + 2 F ₁ - N_В = 0,

а не­из­вес­тных ве­личин две — N_А и N_В, то за­дача один раз ста­тичес­ки не­оп­ре­дели­ма.

Для рас­кры­тия ста­тичес­кой не­оп­ре­дели­мос­ти из ус­ло­вий де­фор­ма­ции бру­са сос­тавля­ем до­пол­ни­тельное урав­не­ние пе­реме­щений се­чения В в эк­ви­вален­тной сис­те­ме (рис. 2.49, в):

U (2 F ₁, N_B) = а.

При­меняя прин­цип не­зави­симос­ти действия сил, вы­чис­лим пе­реме­щение опор­но­го се­чения В:

от действия си­лы 2 F ₁

от действия си­лы N_B

Сле­дова­тельно,

За­менив F ₁ на оп­ре­делим опор­ную ре­ак­цию N_B:

Опор­ная ре­ак­ция N_B по­лучи­лась с по­ложи­тельным зна­ком, сле­дова­тельно, пер­во­начально выб­ранное нап­равле­ние этой ре­ак­ции бы­ло вер­ным.

Вы­разим опор­ную ре­ак­цию N_B че­рез си­лу F ₁, рав­ную В ре­зульта­те име­ем

Те­перь мож­но пе­рейти к пос­тро­ению эпюр внут­ренних сил (рис. 2.49, г), на­чиная от ниж­не­го кон­ца бру­са на эк­ви­вален­тной схе­ме.

При пос­тро­ении эпю­ры нор­мальных нап­ря­жений для вы­чис­ле­ния вы­соту бру­са раз­би­ва­ем на три учас­тка (I, II, III), на каж­дом из ко­торых внут­ренние си­лы и пло­щадь по­переч­но­го се­чения ос­та­ют­ся пос­то­ян­ны­ми (рис. 2.49, д).

Эпю­ру пе­реме­щений U стро­им от не­под­вижно­го се­чения А эк­ви­вален­тной схе­мы; чис­ло учас­тков так­же бу­дет три. Пос­тро­ение эпю­ры пе­реме­щений (рис. 2.49, е) ана­логич­но рас­смот­ренно­му в при­мере 2.23.

Пос­ле пос­тро­ения всех эпюр осу­щест­вля­ем про­вер­ки. На эпю­ре внут­ренних сил ска­чок дол­жен быть ра­вен при­ложен­ной сос­ре­дото­чен­ной си­ле 2 F ₁:

Под­счет по­казал, что эпю­ра внут­ренних сил пос­тро­ена вер­но.

На эпю­ре U пе­реме­щение ниж­не­го тор­ца В дол­жно быть рав­но за­зору а. Про­веря­ем, под­ста­вив вмес­то си­лы F ₁ ее зна­чение:

Сле­дова­тельно, все эпю­ры пос­тро­ены вер­но.

Те­перь пе­рехо­дим к вы­пол­не­нию третьего пун­кта за­дания — осу­щест­вля­ем про­вероч­ный рас­чет на проч­ность.

Ана­лизи­руя эпю­ру нор­мальных нап­ря­жений (см. рис. 2.49, д), при­ходим к вы­воду, что на­ибольшее нап­ря­жение воз­ни­ка­ет в по­переч­ных се­чени­ях бру­са на учас­тке II. Сле­дова­тельно, про­вероч­ный рас­чет на проч­ность не­об­хо­димо вы­пол­нять по нап­ря­жению из ус­ло­вия проч­ности

s_на­иб £ [s].

Вос­пользо­вав­шись ис­ходны­ми дан­ны­ми, вы­чис­лим на­ибольшее нап­ря­жение, воз­ни­ка­ющее в по­переч­ных се­чени­ях бру­са на учас­тке II:

Так как до­пус­ка­емое нап­ря­жение по ус­ло­вию за­дачи [s] = 160 Н/мм², то удов­летво­ря­ет­ся не­равенс­тво s_факт ≤ [s], т. е. 154,3 < 160. Сле­дова­тельно, брус ра­бота­ет с не­дог­рузкой.

Про­цент не­дог­рузки мож­но вы­чис­лить:

Ме­тоди­ка рас­кры­тия ста­тичес­кой не­оп­ре­дели­мос­ти в за­дачах та­кого ти­па ос­та­ет­ся не­из­менной для лю­бого зна­чения си­лы F. Воп­рос о рас­кры­тии ста­тичес­кой не­оп­ре­дели­мос­ти в слу­чае, ког­да брус, жес­тко за­делан­ный од­ним кон­цом, име­ет не­большой за­зор меж­ду сво­бод­ным тор­цом и не­кото­рой плос­костью (рис. 2.49, а), воз­ни­ка­ет только тог­да, ког­да все сум­марные наг­рузки F_i вы­зыва­ют та­кое уд­ли­нение стер­жня, ко­торое пре­вос­хо­дит ве­личи­ну это­го за­зора. По­это­му преж­де чем прис­ту­пить к рас­кры­тию ста­тичес­кой не­оп­ре­дели­мос­ти, не­об­хо­димо оп­ре­делить пе­реме­щение сво­бод­но­го тор­ца бру­са под действи­ем всех за­дан­ных сил и со­пос­та­вить с ве­личи­ной за­зора.

Эти за­меча­ния в рав­ной сте­пени мож­но от­нести и к за­дачам, где ста­тичес­кая не­оп­ре­дели­мость воз­ни­ка­ет в ре­зульта­те наг­ре­ва стер­жня, у ко­торо­го сво­бод­ный ко­нец име­ет не­большой за­зор по от­но­шению к не­под­вижной плос­кости или к тор­цу дру­гого стер­жня.