Напряженное состояние в точке

По­ложим, что те­ло, на ко­торое действу­ет сис­те­ма сил, на­ходит­ся в рав­но­весии, сле­дова­тельно, каж­дая точ­ка это­го те­ла так­же на­ходит­ся в рав­но­весии, но в нап­ря­жен­ном сос­то­янии. При­меняя ме­тод се­чений, мож­но вы­резать эле­мен­тарный объем в ви­де ку­ба, приз­мы или тет­ра­эд­ра. С по­воро­том пло­щадок этих эле­мен­тарных объемов в оп­ре­делен­ной за­виси­мос­ти бу­дут ме­няться и нап­ря­жения.

Со­вокуп­ность нап­ря­жений, воз­ни­ка­ющих во мно­жес­тве пло­щадок, про­ходя­щих че­рез рас­смат­ри­ва­емую точ­ку, на­зыва­ет­ся нап­ря­жен­ным сос­то­яни­ем в точ­ке.

Бу­дем счи­тать, что при пе­рехо­де от точ­ки к точ­ке нап­ря­жен­ное сос­то­яние ме­ня­ет­ся дос­та­точ­но мед­ленно. Зна­чит, мож­но выб­рать в ок­рес­тнос­ти точ­ки та­кую дос­та­точ­но ма­лую об­ласть, для ко­торой нап­ря­жен­ное сос­то­яние мож­но рас­смат­ри­вать как од­но­род­ное (т. е. свойства ма­тери­ала не бу­дут за­висеть от вы­делен­но­го объема). В ка­чес­тве мо­дели точ­ки изоб­ра­зим эле­мен­тарный куб, сто­роны ко­торо­го со­от­ветс­твен­но рав­ны dx, dy и dz (рис. 2.29). Пол­ное нап­ря­жение, воз­ни­ка­ющее на се­кущей пло­щад­ке, мо­жет быть раз­ло­жено на три сос­тавля­ющие: по нор­ма­ли к пло­щад­ке и две сос­тавля­ющие в плос­кости се­чения. Нор­мальное нап­ря­жение обоз­на­ча­ем s с ин­дексом x, y или z. Ка­сательное нап­ря­жение обоз­на­чим бук­вой t с дву­мя ин­декса­ми: пер­вый со­от­ветс­тву­ет оси, пер­пенди­куляр­ной пло­щад­ке, а вто­рой — оси, вдоль ко­торой нап­равлен век­тор t.

Рис. 2.29

Сис­те­ма сил, при­ложен­ных к эле­мен­ту, дол­жна удов­летво­рять ус­ло­ви­ям рав­но­весия. Пос­кольку на про­тиво­полож­ных гра­нях эле­мен­тарно­го ку­ба воз­ни­ка­ют рав­ные по мо­дулю, но про­тиво­полож­но нап­равлен­ные си­лы, то пер­вые три ус­ло­вия рав­но­весия удов­летво­ря­ют­ся тож­дес­твен­но, и сум­мы про­ек­ций всех сил на оси x, y и z рав­ны ну­лю, не­зави­симо от ве­личи­ны воз­ни­ка­ющих нап­ря­жений. Ос­та­ет­ся про­верить, об­ра­ща­ют­ся ли в нуль сум­мы мо­мен­тов всех сил от­но­сительно осей x, у и z. При сос­тавле­нии урав­не­ний рав­но­весия лег­ко об­на­ружить, что мо­мент каж­дой нор­мальной си­лы урав­но­веши­ва­ет­ся мо­мен­том си­лы, при­ложен­ной к про­тиво­лежа­щей гра­ни. Рас­смот­рим мо­мен­ты ка­сательных сил. Нап­ри­мер, для оси х ус­ло­вие ра­венс­тва ну­лю сум­мы мо­мен­тов соб­лю­да­ет­ся в том слу­чае, ес­ли мо­мент си­лы t _yzdxdz ра­вен мо­мен­ту си­лы t _zydxdy, т. е.

t _yzdxdzdy = t _zydxdydz.

Ана­логич­но мо­гут быть за­писа­ны еще два урав­не­ния рав­но­весия. Тог­да по­луча­ем, что

t _yz = t _zy, t _zx = t _xz, t _xy = t _yx.

По­лучен­ные за­виси­мос­ти пред­став­ля­ют со­бой за­кон пар­ности ка­сательных нап­ря­жений: на двух вза­им­но пер­пенди­куляр­ных пло­щад­ках сос­тавля­ющие ка­сательных нап­ря­жений, пер­пенди­куляр­ные к об­ще­му реб­ру, рав­ны и нап­равле­ны обе ли­бо к реб­ру, ли­бо от реб­ра.

За­кон пар­ности спра­вед­лив для всех то­чек наг­ру­жен­но­го те­ла не­зави­симо от ви­да при­ложен­ных наг­ру­зок и свойств ма­тери­ала. Следс­тви­ем из за­кона пар­ности ка­сательных нап­ря­жений яв­ля­ет­ся то, что на гра­нях вы­делен­но­го эле­мен­та (см. рис. 2.29) име­ем не де­вять, а шесть не­зави­симых ком­по­нен­тов нап­ря­жений, пос­кольку ка­сательные нап­ря­жения по­пар­но рав­ны.

Нап­ря­жения в трех вза­им­но пер­пенди­куляр­ных се­чени­ях впол­не оп­ре­деля­ют нап­ря­жен­ное сос­то­яние точ­ки; по ним мож­но оп­ре­делить нап­ря­жение в лю­бой пло­щад­ке, про­ходя­щей че­рез дан­ную точ­ку.

Ес­ли от эле­мен­тарно­го ку­ба про­из­вольно нак­ло­нен­ной плос­костью от­сечь тет­ра­эдр, то, зная пло­щадь этой нак­лонной плос­кости S и ее про­ек­ции на от­се­чен­ные гра­ни ку­ба, мож­но оп­ре­делить нап­равля­ющие ко­сину­сы l, m и n нор­ма­ли этой нак­лонной плос­кости. Да­лее, про­еци­руя все си­лы, действу­ющие на эле­мен­тарную нак­лонную пло­щад­ку, по­лучим

где X, Y и Z — сос­тавля­ющие век­то­ра пол­но­го нап­ря­жения на эле­мен­тарной нак­лонной пло­щад­ке.

Та­ким об­ра­зом, для лю­бой пло­щад­ки, оп­ре­деля­емой нап­равля­ющи­ми ко­сину­сами l, m и n, про­ек­ции век­то­ра пол­но­го нап­ря­жения вы­ража­ют­ся че­рез шесть ис­ходных ком­по­нен­тов s _x, s _y, s _z, t _yx, t _zx и t _xy.