Основы сопротивления материалов

Закон Гука

Мно­гочис­ленные наб­лю­дения за по­веде­ни­ем твер­дых тел по­казы­ва­ют, что в по­дав­ля­ющем большинс­тве слу­ча­ев пе­реме­щения в оп­ре­делен­ных пре­делах про­пор­ци­ональны действу­ющим си­лам. Впер­вые в 1676 г. Р. Гуком был сфор­му­лиро­ван за­кон о том, что «ка­кова си­ла, та­кова и де­фор­ма­ция».

В сов­ре­мен­ной трак­товке за­кон Гу­ка оп­ре­деля­ет ли­нейную за­виси­мость меж­ду нап­ря­жени­ем и де­фор­ма­ци­ей:

s = E e.

Здесь ко­эф­фи­ци­ент про­пор­ци­ональнос­ти Е есть мо­дуль уп­ру­гос­ти пер­во­го ро­да, e — де­фор­ма­ция, ко­торую для од­но­род­но­го стер­жня мож­но оп­ре­делить как

Ве­личи­ну e иног­да на­зыва­ют от­но­сительным уд­ли­нени­ем стер­жня дли­ной l, уд­ли­нение ко­торо­го под действи­ем при­ложен­ной си­лы сос­та­вило D l.

Мо­дуль уп­ру­гос­ти пер­во­го ро­да яв­ля­ет­ся фи­зичес­кой кон­стан­той ма­тери­ала; он оп­ре­деля­ет­ся эк­спе­римен­тально. Для на­ибо­лее час­то встре­ча­ющих­ся ма­тери­алов его зна­чения при­веде­ны в табл. 2.1.

Таблица 2.1. Механические характеристики материалов [11]

Удлинение стержня

Ес­ли в за­кон Гу­ка вмес­то нап­ря­жения под­ста­вить s = N / S, а вмес­то де­фор­ма­ции e = D l / l, то по­лучим вы­раже­ние для оп­ре­деле­ния уд­ли­нения стер­жня, у ко­торо­го на дли­не  l внут­ренняя нор­мальная си­ла пос­то­ян­ная и по­переч­ное се­чение не из­ме­ня­ет­ся:

При ре­шении мно­гих прак­ти­чес­ких за­дач воз­ни­ка­ет не­об­хо­димость на­ряду с уд­ли­нени­ем, обус­ловлен­ным нап­ря­жени­ем s, учи­тывать так­же уд­ли­нения, свя­зан­ные с тем­пе­ратур­ным воз­действи­ем.

В этом слу­чае де­фор­ма­цию рас­смат­ри­ва­ют как сум­му си­ловой и тем­пе­ратур­ной де­фор­ма­ции:

где a — ко­эф­фи­ци­ент тем­пе­ратур­но­го рас­ши­рения ма­тери­ала. Для од­но­род­но­го стер­жня, наг­ру­жен­но­го на кон­цах и рав­но­мер­но наг­ре­того:

Построение эпюр

Гра­фик из­ме­нения нор­мальной си­лы, нап­ря­жений и пе­реме­щений стер­жня вдоль его оси на­зыва­ет­ся эпю­рой со­от­ветс­твен­но нор­мальных сил, нап­ря­жений и пе­реме­щений. Эпю­ры да­ют наг­лядное пред­став­ле­ние о за­конах из­ме­нения раз­личных ис­сле­ду­емых ве­личин. Пос­тро­ение эпюр рас­смот­рим на кон­крет­ном при­мере.

При­мер 2.1

Для бру­са, изоб­ра­жен­но­го на рис. 2.3, а, пос­тро­ить эпю­ры внут­ренних сил, нап­ря­жений и пе­реме­щений по дли­не бру­са.

Рис. 2.3

Ре­шение.

1. Вы­бира­ем на­чало от­сче­та в не­под­вижном се­чении (точ­ка O); по­ложи­тельное нап­равле­ние оси z нап­ра­вим по оси бру­са, т. е. вниз.

2. Оп­ре­делим ре­ак­цию, сос­та­вив од­но урав­не­ние рав­но­весия:

От­сю­да N_О = 2 F.

3. Пос­тро­им эпю­ру внут­ренних сил N. Для это­го на рас­сто­янии z ₁ рас­се­чем брус и рас­смот­рим рав­но­весие ниж­ней час­ти (рис. 2.3, б):

От­сю­да N ₁ = F, что спра­вед­ли­во для l £ z ₁ £ 3 l.

В этих пре­делах в бру­се воз­ни­ка­ет рас­тя­жение, так как N ₁ нап­равле­на от се­чения.

Те­перь вы­берем вто­рой учас­ток бру­са 0 ≤ z ₂ ≤ l и рас­смот­рим рав­но­весие вер­хней час­ти (рис. 2.3, в):

От­сю­да N ₂ = 2 F. Пос­кольку N ₂ нап­равле­на к се­чению, то брус под действи­ем сил N_O и N ₂ сжи­ма­ет­ся. Пос­ле то­го как оп­ре­дели­ли все внут­ренние нор­мальные си­лы, пе­рехо­дим к пос­тро­ению эпю­ры нор­мальных сил (рис. 2.3, г). Впра­во бу­дем от­кла­дывать по­ложи­тельные, а вле­во — от­ри­цательные зна­чения нор­мальных сил.

Ана­лизи­руя пос­тро­ен­ную эпю­ру N, за­метим, что внут­ренние си­лы не за­висят от раз­ме­ров по­переч­но­го се­чения, а за­висят только от при­ложен­ных внеш­них сил. По­это­му брус раз­би­ва­ют на учас­тки по чис­лу при­ложен­ных на его дли­не сос­ре­дото­чен­ных сил. В дан­ном слу­чае бы­ло два учас­тка.

При про­вер­ке пра­вильнос­ти пос­тро­ения эпю­ры N сле­ду­ет об­ра­тить вни­мание на то, что на эпю­ре внут­ренних сил в тех се­чени­ях, где бы­ли при­ложе­ны внеш­ние си­лы, дол­жны быть скач­ки, рав­ные при­ложен­ной внеш­ней си­ле.

4. Пос­тро­им эпю­ру нап­ря­жений s. Брус сле­ду­ет раз­бить на учас­тки. Пос­кольку s = N / S, то учас­тков на эпю­ре бу­дет столько, сколько раз ме­ня­ет­ся по­переч­ное се­чение; при этом сле­ду­ет об­ра­щать вни­мание, что­бы при пос­то­ян­ной пло­щади по­переч­но­го се­чения нор­мальная си­ла на эпю­ре N ос­та­валась не­из­менной. С уче­том это­го на эпю­ре s бу­дут три раз­личных зна­чения s (рис. 2.3, д): s₁ = N ₁/ S ₁ = F / S; s₂ = N ₁/ S ₂ = F /(2 S); s₃ = N ₂/ S ₂ = -2 F /(2 S) = - F / S.

5. Стро­им эпю­ру пе­реме­щений U. На­чинать сле­ду­ет от не­под­вижно­го се­чения, т. е. от се­чения O. Оп­ре­делим пе­реме­щение се­чения, на­ходя­щего­ся от не­под­вижно­го на рас­сто­янии z ₂:

Ес­ли 0 £ z ₂ £ l, то для z ₂ = l пе­реме­щение

Для l £ z £ 2 l

или

Для 2 l £ z ₁ £ 3 l

От­кла­дыва­ем вы­чис­ленные пе­реме­щения на эпю­ре U (рис. 2.3, е).

Диаграмма растяжения

На­ибо­лее наг­лядно осо­бен­ности ди­аг­раммы рас­тя­жения мож­но по­казать на при­мере ис­пы­тания об­разца из низ­ко­уг­ле­родис­той ста­ли (рис. 2.4). Диа­грам­ма вы­чер­че­на в ко­ор­ди­натах F —D l. На кри­вой мож­но вы­делить че­тыре зо­ны.

Зо­на ОА но­сит наз­ва­ние зо­ны уп­ру­гос­ти. Здесь уд­ли­нение об­разца под­чи­ня­ет­ся за­кону Гу­ка и На рис. 2.4 этот учас­ток для бо́льшей наг­ляднос­ти по­казан с от­ступ­ле­ни­ем от мас­шта­ба. Уд­ли­нения на учас­тке ОА очень ма­лы, и пря­мая ОА, бу­дучи вы­чер­ченной в мас­шта­бе, сов­па­дала бы в пре­делах ши­рины ли­нии с осью ор­ди­нат. Зна­чение си­лы, для ко­торой спра­вед­лив за­кон Гу­ка, за­висит от раз­ме­ров об­разца и фи­зичес­ких свойств ма­тери­ала, по­это­му при дальнейшем рас­смот­ре­нии ди­аг­раммы рас­тя­жения ее пе­рес­тра­ива­ют в ко­ор­ди­натах s—e.

Рис. 2.4

Зо­на АВ на­зыва­ет­ся зо­ной об­щей те­кучес­ти, а учас­ток АВ — пло­щад­кой те­кучес­ти. Здесь про­ис­хо­дит су­щес­твен­ное из­ме­нение дли­ны об­разца без за­мет­но­го уве­личе­ния наг­рузки. Не все ме­тал­лы име­ют пло­щад­ку те­кучес­ти. Нап­ри­мер, у алю­миния, отож­женной ме­ди, ле­гиро­ван­ных ста­лей пло­щад­ка те­кучес­ти не об­на­ружи­ва­ет­ся.

Зо­на ВС на­зыва­ет­ся зо­ной уп­рочне­ния. Здесь уд­ли­нение об­разца соп­ро­вож­да­ет­ся воз­раста­ни­ем наг­рузки. В ста­дии уп­рочне­ния на об­разце на­меча­ет­ся мес­то бу­дуще­го раз­ры­ва и на­чина­ет об­ра­зовы­ваться так на­зыва­емая шейка — мес­тное су­жение об­разца. При дальнейшем рас­тя­жении об­разца шейка быс­тро прог­ресси­ру­ет. На­чиная с точ­ки С, уд­ли­нение об­разца про­ис­хо­дит с уменьше­ни­ем си­лы, но сред­нее нап­ря­жение в по­переч­ном се­чении шейки воз­раста­ет. Уд­ли­нение об­разца но­сит в этом слу­чае мес­тный ха­рак­тер, по­это­му учас­ток СD на­зыва­ет­ся зо­ной мес­тной те­кучес­ти. Точ­ка D со­от­ветс­тву­ет раз­ру­шению об­разца.

Смятие

При сжа­тии двух тел воз­ни­ка­ет опас­ность смя­тия кон­такти­ру­ющих по­вер­хнос­тей. Нап­ря­жения, воз­ни­ка­ющие на кон­такти­ру­ющих по­вер­хнос­тях, на­зыва­ют­ся нап­ря­жени­ями смя­тия. Смя­тие име­ет мес­то, нап­ри­мер, в кле­паных и бол­то­вых со­еди­нени­ях. Нап­ря­жение смя­тия оп­ре­деля­ют по фор­му­ле

где F — си­ла, с ко­торой сдав­ли­ва­ют­ся кон­такти­ру­ющие по­вер­хнос­ти; S _см — пло­щадь смя­тия.

Ес­ли по­вер­хность смя­тия яв­ля­ет­ся кри­воли­нейной, то пло­щадь смя­тия вы­чис­ля­ет­ся как пло­щадь про­ек­ции этой по­вер­хнос­ти на плос­кость, пер­пенди­куляр­ную к ли­нии действия сми­на­ющей си­лы.

При­мер 2.4

Про­верить проч­ность кле­пано­го со­еди­нения (см. рис. 2.8), ес­ли [t]_ср = = 100 Н/мм²; [s]_см = 240 Н/мм²; [s]_р = 140 Н/мм².

Ре­шение.

1. Про­веря­ем проч­ность зак­лепки на срез (ме­тоди­ка рас­че­та при­веде­на в при­мере 2.3).

2. Про­веря­ем на смя­тие стен­ки от­вер­стий в со­еди­ня­емых лис­тах:

По­лучен­ное зна­чение фак­ти­чес­ко­го нап­ря­жения смя­тия меньше до­пус­ка­емо­го, так как по ус­ло­вию [s]_см = 240 Н/мм². Сле­дова­тельно, смя­тия сте­нок от­вер­стий не про­изойдет.

3. Про­веря­ем проч­ность лис­тов на рас­тя­жение по фор­му­ле

Для оп­ре­деле­ния опас­но­го се­чения в слож­ных слу­ча­ях обыч­но стро­ят эпю­ры N, а за­тем s. В дан­ном слу­чае за­дача бо­лее прос­тая. Яс­но, что опас­ным се­чени­ем яв­ля­ет­ся се­чение А — А. Пло­щадь по­переч­но­го се­чения каж­до­го лис­та

S = 10·(120 - 2·20) = 800 мм²,

а фак­ти­чес­кое нап­ря­жение

что меньше до­пус­ка­емо­го: 62,5 < 140.

От­вет. Мож­но счи­тать, что проч­ность кле­пано­го со­еди­нения дос­та­точ­на.

 

 

Кручение

• Пос­тро­ение эпюр

Под кру­чени­ем по­нима­ет­ся та­кой вид наг­ру­жения, при ко­тором в по­переч­ных се­чени­ях воз­ни­ка­ет только кру­тящий мо­мент. Про­чие внут­ренние си­ловые фак­то­ры (нор­мальная и по­переч­ные си­лы, из­ги­ба­ющие мо­мен­ты) рав­ны ну­лю. Рас­смот­рим кру­чение круг­ло­го бру­са (рис. 2.9). К круг­ло­му бру­су, жес­тко за­делан­но­му в стен­ку, на сво­бод­ном тор­це при­ложен кру­тящий мо­мент М. В ре­зульта­те это­го брус де­фор­ми­ру­ет­ся: смеж­ные се­чения по­вора­чива­ют­ся от­но­сительно друг дру­га, об­ра­зу­ющая ОВ ис­крив­ля­ет­ся и за­нима­ет по­ложе­ние ОС.

При рас­смот­ре­нии кру­чения при­нима­ют­ся сле­ду­ющие до­пуще­ния и пра­вила:

• ось бру­са не де­фор­ми­ру­ет­ся;
• по­переч­ные се­чения, плос­кие до де­фор­ма­ции, пос­ле де­фор­ма­ции так­же ос­та­ют­ся плос­ки­ми;
• про­дольные во­лок­на не из­ме­ня­ют сво­ей дли­ны (угол g нас­только мал, что из­ме­нени­ем дли­ны мож­но пре­неб­речь);
• ра­ди­усы r по­переч­ных се­чений ос­та­ют­ся пря­мыми пос­ле де­фор­ма­ции, по­вора­чива­ясь на не­кото­рый угол j;
• для кру­тящих мо­мен­тов при­нято сле­ду­ющее пра­вило зна­ков: ес­ли смот­реть на по­переч­ное се­чение со сто­роны внеш­ней нор­ма­ли и ви­деть внут­ренний кру­тящий мо­мент М _кр нап­равлен­ным про­тив хо­да ча­совой стрел­ки, то мо­мент счи­та­ет­ся по­ложи­тельным.

Рис. 2.9

При кру­чении в по­переч­ном се­чении бру­са воз­ни­ка­ют ка­сательные нап­ря­жения (чис­тый сдвиг).

Угол зак­ру­чива­ния j и от­но­сительный угол зак­ру­чива­ния θ свя­зыва­ет сле­ду­ющая за­виси­мость:

q = j/ l.

Ка­сательные нап­ря­жения t при кру­чении рас­пре­деля­ют­ся в се­чении по ли­нейной за­виси­мос­ти: в цен­тре они рав­ны ну­лю, а на мак­си­мальном ра­ди­усе по­переч­но­го се­чения — мак­си­мально­му зна­чению t_max, по ко­торо­му ве­дет­ся рас­чет. Зна­чение ка­сательно­го нап­ря­жения за­висит от внут­ренне­го кру­тяще­го мо­мен­та и ге­омет­ри­чес­кой ха­рак­те­рис­ти­ки по­переч­но­го се­чения:

t_max = M _кр/ W_р,

где W_p — по­ляр­ный мо­мент соп­ро­тив­ле­ния.

Для сплош­но­го по­переч­но­го се­чения ди­амет­ром D W_p = 0,2 D ³; для кольце­вого се­чения (по­лый вал) W_p = 0,2 D ³(1 -  d ⁴/ D ⁴), где d — внут­ренний ди­аметр (ди­аметр от­вер­стия); D — внеш­ний ди­аметр ва­ла. По­кажем, что ва­лы сплош­но­го по­переч­но­го се­чения ис­пользо­вать не­эко­номич­но.

При­мер 2.5

Вал пе­реда­ет мо­мент M = 10000 Н·м. Тре­бу­ет­ся по­доб­рать раз­ме­ры по­переч­но­го се­чения ва­ла для слу­ча­ев: а) сплош­но­го кру­гово­го се­чения и б) кру­гово­го се­чения с от­вер­сти­ем d = (7/8) D. Срав­нить оба се­чения по рас­хо­ду ме­тал­ла. До­пус­ка­емое нап­ря­жение [t] = 6000 Н/см².

Ре­шение.

1. Оп­ре­деля­ем тре­бу­емый мо­мент соп­ро­тив­ле­ния для обо­их по­переч­ных се­чений:

2. Оп­ре­деля­ем ди­аметр ва­ла сплош­но­го се­чения:

3. Оп­ре­деля­ем ди­аметр ва­ла по­лого по­переч­но­го се­чения:

4. Оп­ре­деля­ем рас­ход ме­тал­ла. Для это­го вы­чис­лим пло­щади по­переч­ных се­чений сплош­но­го и по­лого ва­лов:

для сплош­но­го ва­ла

для по­лого ва­ла

Пос­кольку рас­ход ме­тал­ла бу­дет про­пор­ци­она­лен пло­щади по­переч­но­го се­чения, то по­лое се­чение яв­ля­ет­ся бо­лее эко­номич­ным и в дан­ном слу­чае да­ет бо­лее чем двук­ратное сни­жение ве­са ва­ла.

Построение эпюр

При кру­чении, как и при рас­тя­жении, стро­ят эпю­ры внут­ренних си­ловых фак­то­ров (кру­тящих мо­мен­тов), нап­ря­жений (t_max) и пе­реме­щений (уг­лов зак­ру­чива­ния j).

Пос­тро­ение эпю­ры М _кр. Всю дли­ну бру­са (рис. 2.10) ра­зобьем на два учас­тка. На эпю­ре внут­ренних си­ловых фак­то­ров в се­чени­ях, где при­ложе­ны внеш­ние си­лы, бу­дут скач­ки, рав­ные при­ложен­ным наг­рузкам (в дан­ном слу­чае — внеш­ним скру­чива­ющим мо­мен­там). При­меняя ме­тод се­чений с уче­том пра­вила зна­ков для кру­тящих мо­мен­тов, стро­им эпю­ры М _кр. На рис. 2.10 для изоб­ра­жения внеш­них мо­мен­тов при­мене­но ус­ловное обоз­на­чение в ви­де круж­ков: кру­жок с точ­кой обоз­на­ча­ет си­лу, нап­равлен­ную «на се­бя», а кру­жок с крес­ти­ком — си­лу, нап­равлен­ную «от се­бя».

Рис. 2.10

Пос­тро­ение эпю­ры t_max. Всю дли­ну бру­са раз­би­ва­ем на три учас­тка; на каж­дом из них М _кр и Wр сох­ра­ня­ют пос­то­ян­ное зна­чение. За­тем под­став­ля­ем в фор­му­лу t_max = = М _кр/ W_р со­от­ветс­тву­ющие зна­чения М _кр и W_р:

на I учас­тке

на II учас­тке

на III учас­тке

Пос­кольку все внут­ренние кру­тящие мо­мен­ты по­ложи­тельны, то и все ка­сательные нап­ря­жения на эпю­ре t_max бу­дут так­же по­ложи­тельны.

Пос­тро­ение эпю­ры j. Преж­де все­го не­об­хо­димо ус­та­новить за­виси­мость, по ко­торой бу­дем оп­ре­делять уг­лы зак­ру­чива­ния j. На ос­но­вании за­кона Гу­ка для сдви­га за­пишем вы­раже­ние для мак­си­мально­го ка­сательно­го нап­ря­жения в по­переч­ном се­чении круг­ло­го бру­са:

t_max = G g.

Из рис. 2.9 вид­но, что при кру­чении об­ра­зу­ющая ци­лин­дра ОВ по­вора­чива­ет­ся на угол g и за­нима­ет по­ложе­ние ОС. При этом ду­га ВС рав­на g l; с дру­гой сто­роны, та же ду­га ВС рав­на j r. Сле­дова­тельно,

g l = j r,

от­ку­да g = j r / l.

Под­став­ляя найден­ное зна­чение g в за­кон Гу­ка, по­лучим

С дру­гой сто­роны, t = M _кр/ W_р. Сле­дова­тельно,

Вы­разим от­сю­да угол зак­ру­чива­ния

Ве­личи­ну W_pr (или W_pD /2) на­зыва­ют по­ляр­ным мо­мен­том инер­ции се­чения и обоз­на­ча­ют J_p.

Та­ким об­ра­зом, меж­ду мо­мен­том соп­ро­тив­ле­ния и по­ляр­ным мо­мен­том инер­ции бру­са круг­ло­го по­переч­но­го се­чения ди­амет­ром D су­щес­тву­ет сле­ду­ющая за­виси­мость:

По­ляр­ный мо­мент инер­ции:

для сплош­но­го круг­ло­го бру­са

J_p @ 0,1 D ⁴;

для по­лого круг­ло­го бру­са

За­пишем вы­раже­ние для уг­ла зак­ру­чива­ния j в ви­де

Про­из­ве­дение GJ_p на­зыва­ют жес­ткостью бру­са при кру­чении.

Итак, по­луче­на за­виси­мость, по ко­торой мож­но оп­ре­делять уг­лы зак­ру­чива­ния бру­са. Оп­ре­делять угол зак­ру­чива­ния по этой за­виси­мос­ти мож­но только при ус­ло­вии, что на дли­не l все вхо­дящие в эту фор­му­лу ве­личи­ны М _кр, J_p и G — пос­то­ян­ные.

Пе­рехо­дим к пос­тро­ению эпю­ры уг­ло­вых пе­реме­щений. Вал по дли­не раз­би­ва­ем на че­тыре учас­тка. Так же, как и при пос­тро­ении эпю­ры пе­реме­щений при рас­тя­жении, на­чина­ем стро­ить эпю­ру от не­под­вижно­го се­чения, т. е. от жес­ткой за­дел­ки. В кон­це I учас­тка угол зак­ру­чива­ния

В кон­це II учас­тка угол зак­ру­чива­ния

В кон­це III учас­тка

На IV учас­тке угол зак­ру­чива­ния бу­дет ра­вен уг­лу зак­ру­чива­ния j_III, так как на этом учас­тке от­сутс­тву­ют внут­ренние кру­тящие мо­мен­ты.

Вы­чис­ленные уг­ло­вые пе­реме­щения от­кла­дыва­ем на эпю­ре j.

 

 

Прямой поперечный изгиб

• Ге­омет­ри­чес­кие ха­рак­те­рис­ти­ки по­переч­ных се­чений бру­са
• Пря­мой по­переч­ный из­гиб
• Нап­ря­жения в бру­се при пря­мом чис­том из­ги­бе
• За­виси­мость меж­ду из­ги­ба­ющим мо­мен­том и кри­виз­ной бру­са
• Ана­лиз вы­год­ности фор­мы по­переч­но­го се­чения брусьев при из­ги­бе
• Нап­ря­жения при пря­мом по­переч­ном из­ги­бе

Прямой поперечный изгиб

Под из­ги­бом по­нима­ет­ся та­кой вид наг­ру­жения, при ко­тором в по­переч­ных се­чени­ях бру­са воз­ни­ка­ют из­ги­ба­ющие мо­мен­ты (см. под­разд. 2.1). Ес­ли из­ги­ба­ющий мо­мент яв­ля­ет­ся единс­твен­ным си­ловым фак­то­ром, а по­переч­ные и нор­мальные си­лы от­сутс­тву­ют, то та­кой из­гиб на­зыва­ет­ся чис­тым. В большинс­тве слу­ча­ев в по­переч­ных се­чени­ях бру­са на­ряду с из­ги­ба­ющи­ми мо­мен­та­ми воз­ни­ка­ют по­переч­ные си­лы. В этом слу­чае из­гиб на­зыва­ют по­переч­ным. Брус, ра­бота­ющий в ос­новном на из­гиб, на­зыва­ет­ся бал­кой.

На бал­ку мо­гут действо­вать сос­ре­дото­чен­ные си­лы и мо­мен­ты, а так­же рас­пре­делен­ные по дли­не. Нап­ри­мер, на рис. 2.17 F — сос­ре­дото­чен­ная си­ла, М — сос­ре­дото­чен­ный мо­мент; на учас­тке а при­ложе­на рас­пре­делен­ная наг­рузка от ну­ля до q _max.

Рис. 2.17

Ана­лиз внут­ренних си­ловых фак­то­ров на­чина­ют с оп­ре­деле­ния пол­ной сис­те­мы внеш­них сил. Рас­смот­рим не­кото­рые ха­рак­терные при­меры и ус­та­новим пра­вила оп­ре­деле­ния из­ги­ба­ющих мо­мен­тов и по­переч­ных сил.

На рис. 2.18, а по­каза­на прос­тейшая дву­хопор­ная бал­ка, наг­ру­жен­ная си­лой F. Ос­во­бож­да­ем бал­ку от свя­зей и за­меня­ем их действие ре­ак­ци­ями. Опо­ра А пред­став­ля­ет со­бой не­весо­мый стер­жень, по­это­му ре­ак­ция RA пойдет вдоль не­го. В шар­ни­ре В ре­ак­цию рас­кла­дыва­ем на две сос­тавля­ющие. Нес­мотря на то, что вы­бор сис­те­мы ко­ор­ди­нат, бе­зус­ловно, про­из­во­лен, в соп­ро­тив­ле­нии ма­тери­алов при­нято ось z нап­равлять вдоль бру­са; оси х и у дол­жны ле­жать в плос­кости, пер­пенди­куляр­ной этой оси, при­чем по­ворот от оси х к оси у дол­жен про­ис­хо­дить про­тив хо­да ча­совой стрел­ки, ес­ли смот­реть с кон­ца оси z (рис. 2.18, б). На­чало от­сче­та рас­по­лага­ют в цен­тре тя­жес­ти по­переч­но­го се­чения. В этом слу­чае оси х и у бу­дут глав­ны­ми цен­тральны­ми ося­ми по­переч­но­го се­чения.

Рис. 2.18

Сос­та­вим урав­не­ния рав­но­весия для плос­кой сис­те­мы сил и оп­ре­делим не­из­вес­тные ре­ак­ции свя­зей. Не­из­вес­тных ве­личин три — R_A, Y_B, Z_B. Урав­не­ний ста­тики то­же три, сле­дова­тельно, за­дача ста­тичес­ки оп­ре­дели­мая:

От­сю­да на­ходим ре­ак­ции опор

Те­перь прис­ту­пим к вы­яв­ле­нию внут­ренних си­ловых фак­то­ров в по­переч­ных се­чени­ях бру­са. Для это­го меж­ду точ­ка­ми при­ложе­ния внеш­них сил и мо­мен­тов, при­меняя ме­тод се­чений, мыс­ленно раз­ре­за­ют бал­ку на час­ти (рис. 2.18, в и г) и сос­тавля­ют урав­не­ния рав­но­весия си­ловых фак­то­ров, при­ложен­ных к от­се­чен­ным час­тям. Так, в рас­смат­ри­ва­емом при­мере не­об­хо­димо де­лать се­чения дваж­ды: на рас­сто­янии z ₁ и z ₂ от ле­вой опо­ры. На рис. 2.18, в по­каза­но се­чение бру­са на рас­сто­янии z ₁ от ле­вой опо­ры и прос­тавле­ны внут­ренние си­ловые фак­то­ры: из­ги­ба­ющий мо­мент М _изг и по­переч­ная си­ла Q. Сле­ду­ет об­ра­тить вни­мание на то, что­бы внут­ренние си­ловые фак­то­ры в по­переч­ном се­чении в ле­вой и пра­вой (см. рис. 2.18, г) час­тях бы­ли обя­зательно про­тиво­полож­ны по нап­равле­нию.

Как уже из­вес­тно, внут­ренние си­ловые фак­то­ры оп­ре­деля­ют из урав­не­ний рав­но­весия сил, при­ложен­ных к от­се­чен­ным час­тям. Сле­ду­ет ус­ло­виться о зна­ках по­переч­ных сил и мо­мен­тов. Су­щес­тву­ет нес­колько спо­собов оп­ре­деле­ния зна­ка из­ги­ба­юще­го мо­мен­та в по­переч­ном се­чении.

1. По зна­ку кри­виз­ны изог­ну­того бру­са (рис. 2.19, а). Оче­вид­но, знак бу­дет за­висеть от выб­ранной сис­те­мы ко­ор­ди­нат. Ес­ли ось у нап­ра­вить в про­тиво­полож­ную сто­рону, то зна­ки М _изг из­ме­нят­ся на про­тиво­полож­ные.

Рис. 2.19

2. Ча­ще все­го при пос­тро­ении эпюр из­ги­ба­ющих мо­мен­тов знак мо­мен­та не за­висит от выб­ранной сис­те­мы от­сче­та, а ор­ди­ната от­кла­дыва­ет­ся на сжа­том во­лок­не, т. е. в сто­рону вог­ну­тос­ти изог­ну­той оси бру­са (рис. 2.19, б).

3. Ес­ли труд­но пред­ста­вить, как бу­дет выг­ля­деть изог­ну­тая ось бру­са, то сос­тавля­ют сум­му мо­мен­тов наг­ру­зок, действу­ющих на ле­вую от­се­чен­ную часть бру­са.

Ес­ли рав­но­действу­ющий мо­мент всех наг­ру­зок, действу­ющих на ле­вую часть, бу­дет нап­равлен по ча­совой стрел­ке, то ор­ди­ната из­ги­ба­юще­го мо­мен­та от­кла­дыва­ет­ся на эпю­ре вверх

(т. е. из­ги­ба­ющий мо­мент М _изг в по­переч­ном се­чении действу­ет про­тив ча­совой стрел­ки и, сле­дова­тельно, брус из­ги­ба­ет­ся вог­ну­тостью вверх — ор­ди­ната бу­дет от­ло­жена на сжа­том во­лок­не).

Ес­ли же сум­ма мо­мен­тов, действу­ющих сле­ва от се­чения, нап­равле­на про­тив ча­совой стрел­ки, то из­ги­ба­ющий мо­мент на эпю­ре от­кла­дыва­ет­ся вниз (рис. 2.19, б).

Для сил, ле­жащих спра­ва от се­чения, име­ет мес­то об­ратная за­виси­мость.

Пра­вило оп­ре­деле­ния зна­ка для по­переч­ных сил:

ес­ли рав­но­действу­ющая внеш­них сил, ле­жащих по ле­вую сто­рону от се­чения, нап­равле­на вверх, то по­переч­ная си­ла в се­чении счи­та­ет­ся по­ложи­тельной, а ес­ли вниз, то по­переч­ная си­ла от­ри­цательна.

В се­чении на рас­сто­янии z ₁ от на­чала ко­ор­ди­нат, т. е. в ле­вой час­ти бру­са от се­чения (см. рис. 2.18, в), по­переч­ная си­ла Q име­ет по­ложи­тельный знак и на эпю­ре бу­дет от­кла­дываться вверх. При рас­смот­ре­нии рав­но­весия пра­вой от­се­чен­ной час­ти для сил, ле­жащих спра­ва от се­чения, име­ет мес­то об­ратная за­виси­мость. Что­бы лег­че ус­во­ить пра­вила оп­ре­деле­ния зна­ков, же­лательно рас­смат­ри­вать рав­но­весие, нап­ри­мер, всег­да ле­вой час­ти бру­са.

Диф­фе­рен­ци­альная за­виси­мость меж­ду из­ги­ба­ющим мо­мен­том, по­переч­ной си­лой и ин­тенсив­ностью рас­пре­делен­ной наг­рузки. Пра­вильность вы­бора зна­ков по­переч­ных сил мож­но про­верить, зная диф­фе­рен­ци­альную за­виси­мость меж­ду из­ги­ба­ющим мо­мен­том и по­переч­ной си­лой.

Пусть брус, за­креп­ленный про­из­вольным об­ра­зом, наг­ру­жен в об­щем слу­чае рас­пре­делен­ной наг­рузкой ин­тенсив­ности q = f (z) и на­ходит­ся в рав­но­весии (рис. 2.20, а). За­дан­ное нап­равле­ние для q — по­ложи­тельное. Вы­делим эле­мент бру­са дли­ной dz и в се­чени­ях при­ложим из­ги­ба­ющие мо­мен­ты М и M +  dM, а так­же по­переч­ные си­лы Q и Q +  dQ (рис. 2.20, б). Нап­равле­ния для этих си­ловых фак­то­ров при­няты по­ложи­тельны­ми в со­от­ветс­твии с обус­ловлен­ным ра­нее пра­вилом зна­ков. В пре­делах ма­лого от­резка dz наг­рузку q мож­но счи­тать рас­пре­делен­ной рав­но­мер­но. Пос­кольку рас­смат­ри­ва­ем эле­мент бру­са, на­ходя­щего­ся в рав­но­весии, то сос­та­вим ус­ло­вия рав­но­весия плос­кой сис­те­мы сил: при­рав­ни­ва­ем к ну­лю сум­му про­ек­ций всех сил на вер­ти­кальную ось и сум­му мо­мен­тов от­но­сительно точ­ки С:

Рис. 2.20

От­ку­да, от­бро­сив ве­личи­ну выс­ше­го по­ряд­ка ма­лос­ти qdz (dz /2), по­лучим

Та­ким об­ра­зом, по­переч­ная си­ла пред­став­ля­ет со­бой про­из­водную от из­ги­ба­юще­го мо­мен­та по дли­не бру­са.

Про­из­водная от по­переч­ной си­лы да­ет ин­тенсив­ность внеш­ней рас­пре­делен­ной наг­рузки q.

Из по­лучен­ных диф­фе­рен­ци­альных за­виси­мос­тей мож­но сде­лать не­кото­рые об­щие вы­воды о ха­рак­те­ре эпюр из­ги­ба­ющих мо­мен­тов и по­переч­ных сил для пря­мого бру­са.

Ес­ли брус наг­ру­жен рав­но­мер­но рас­пре­делен­ной наг­рузкой ин­тенсив­ности q = const, оче­вид­но, фун­кция Q бу­дет ли­нейной, а М — квад­ра­тич­ной.

Ес­ли брус наг­ру­жен сос­ре­дото­чен­ны­ми си­лами или мо­мен­та­ми, а меж­ду точ­ка­ми их при­ложе­ния ин­тенсив­ность q = 0, то Q = const, a M яв­ля­ет­ся ли­нейной фун­кци­ей z. В точ­ках при­ложе­ния сос­ре­дото­чен­ных сил эпю­ра Q пре­тер­пе­ва­ет ска­чок на ве­личи­ну внеш­ней си­лы, а в эпю­ре М воз­ни­ка­ет со­от­ветс­тву­ющий из­лом (раз­рыв в про­из­водной).

Пос­тро­ение эпюр из­ги­ба­ющих мо­мен­тов и по­переч­ных сил осу­щест­вля­ет­ся в сле­ду­ющей пос­ле­дова­тельнос­ти: 1) оп­ре­деля­ют ре­ак­ции опор; 2) вы­яв­ля­ют в по­переч­ных се­чени­ях бру­са все внут­ренние си­ловые фак­то­ры (их зна­чение и знак); 3) стро­ят эпю­ры. Пос­тро­им эпю­ры для бал­ки, пред­став­ленной на рис. 2.18.

1. Оп­ре­деля­ем ре­ак­ции опор.

Сос­тавля­ем урав­не­ния рав­но­весия плос­кой сис­те­мы сил:

2. Оп­ре­деля­ем внут­ренние из­ги­ба­ющие мо­мен­ты в по­переч­ных се­чени­ях бал­ки. Для это­го рас­смат­ри­ва­ем рав­но­весие от­се­чен­ной ле­вой час­ти (см. рис. 2.18, в):

в се­чении z ₁

в се­чении z ₂

3. Оп­ре­деля­ем по­переч­ные си­лы:

в се­чении z ₁

От­сю­да Q = RA = F (l - a)/ l;

в се­чении z ₂

От­сю­да Q = Fa / l.

4. Стро­им эпю­ры из­ги­ба­ющих мо­мен­тов.

Эпю­ра М _изг в пре­делах 0 £ z ₁ £ а име­ет ли­нейную за­виси­мость. За­да­ем­ся z ₁ = 0, при этом М _изг = 0. От­кла­дыва­ем эту точ­ку на эпю­ре (рис. 2.21). Да­лее при z ₁ = а M _изг = = F (l - a) a / l.

Рис. 2.21

В пре­делах а £ z ₂ £ l по­луча­ем: при z ₂ = а M _изг = F (l - a) a / l; при z ₂ = l М _изг = 0. От­кла­дыва­ем эти ор­ди­наты (они пос­тро­ены на сжа­том во­лок­не) и со­еди­ня­ем ли­ни­ями. Сле­ду­ет за­метить, что на вто­ром учас­тке мож­но бы­ло ор­ди­наты не вы­чис­лять, так как в шар­нирной опо­ре В мо­мент не мо­жет воз­ни­кать, и по­это­му на эпю­ре нуж­но сра­зу от­ло­жить 0.

5. Стро­им эпю­ры по­переч­ных сил.

Как бы­ло оп­ре­деле­но в п. 3, по­переч­ные си­лы пос­то­ян­ны на каж­дом из двух учас­тков, по­это­му от­кла­дыва­ем под­счи­тан­ные зна­чения с уче­том зна­ков. Нуж­но об­ра­тить вни­мание, что в точ­ке при­ложе­ния внеш­ней си­лы дол­жен быть ска­чок, рав­ный при­ложен­ной си­ле.

Кро­ме то­го, мож­но про­верить пра­вильность ус­та­нов­ленных зна­ков по­переч­ных сил. Тан­генс уг­ла нак­ло­на ли­нии М _изг на эпю­ре из­ги­ба­ющих мо­мен­тов по­казы­ва­ет на знак по­переч­ной си­лы. Ес­ли угол ос­трый, то тан­генс по­ложи­тельный (про­из­водная dM / dt > 0), а сле­дова­тельно, и по­переч­ная си­ла име­ет знак «+». Ес­ли угол нак­ло­на ли­нии с осью z ту­пой, то по­переч­ная си­ла от­ри­цательная. Со­пос­тавьте пос­тро­ен­ные эпю­ры М _изг и Q (см. рис. 2.21).

Задача Эйлера

Впер­вые за­дача об ус­тойчи­вос­ти стер­жня бы­ла пос­тавле­на и ре­шена Л.Эйле­ром в се­реди­не XVIII в. По­это­му, ког­да речь идет об ус­тойчи­вос­ти сжа­того стер­жня, упот­ребля­ют вы­раже­ние «ус­тойчи­вость стер­жня по Эйле­ру». Эйлер оп­ре­делил зна­чение пер­вой кри­тичес­кой си­лы для про­дольно сжа­того стер­жня с шар­нирным опи­рани­ем (рис. 2.41).

Рис. 2.41

За­пишем диф­фе­рен­ци­альное урав­не­ние изог­ну­той оси бал­ки:

EJy ² = - M.

Из­ги­ба­ющий мо­мент М = Fy (см. рис. 2.41). Под­ста­вим в пра­вую часть диф­фе­рен­ци­ально­го урав­не­ния вмес­то из­ги­ба­юще­го мо­мен­та М его зна­чение Fy и пе­рене­сем все чле­ны в ле­вую часть. В ре­зульта­те по­лучим од­но­род­ное диф­фе­рен­ци­альное урав­не­ние

y ² + k ² y = 0,

где k ² = F /(EJ).

За­пишем ре­шение это­го од­но­род­но­го урав­не­ния: y = С  sin  kz + D  cos  kz. Оп­ре­делим про­из­вольные пос­то­ян­ные из гра­нич­ных ус­ло­вий: при z = 0 y = 0 и при z = l y = 0. Из пер­во­го ус­ло­вия вы­тека­ет, что D = 0, а из вто­рого — что С  sin  kl = 0. Это урав­не­ние име­ет два ре­шения: С = 0 и sin  kl = 0. Ког­да С = 0, пе­реме­щения y тож­дес­твен­но об­ра­ща­ют­ся в нуль; этот слу­чай нас не ин­те­ресу­ет. Рас­смот­рим вто­рой слу­чай. Ес­ли sin  kl = 0, то kl = p n, где n = 1, 2, 3 … При n = 1 kl = p и тог­да k ² l ² = p². Под­ста­вив в это ра­венс­тво вмес­то k ² = F /(EJ), по­лучим вы­раже­ние для оп­ре­деле­ния пер­вой кри­тичес­кой си­лы:

Та­ким об­ра­зом, кри­тичес­кая си­ла F _кр пред­став­ля­ет со­бой на­именьшую сжи­ма­ющую си­лу, при ко­торой на­ряду с пря­моли­нейной фор­мой рав­но­весия ста­новит­ся воз­можной дру­гая (из­гибная) фор­ма рав­но­весия. Ина­че го­воря, пря­моли­нейная фор­ма рав­но­весия ста­новит­ся не­ус­тойчи­вой.

Гибкость стержня

Найдем кри­тичес­кое нап­ря­жение

Вве­дем в фор­му­лу ра­ди­ус инер­ции

Тог­да вы­раже­ние для кри­тичес­ко­го нап­ря­жения пе­репи­шем в ви­де

Ве­личи­ну m l / i обоз­на­чим че­рез l и бу­дем на­зывать гиб­костью стер­жня. При этом вы­раже­ние для кри­тичес­ко­го нап­ря­жения при­нима­ет вид

Основы сопротивления материалов

 

Основные понятия

В дан­ной гла­ве бу­дем рас­смат­ри­вать те­ла, ко­торые под действи­ем внеш­них сил ме­ня­ют свою фор­му и раз­ме­ры, т. е. де­фор­ми­ру­ют­ся.

Де­фор­ма­ции мо­гут быть уп­ру­гими, ес­ли те­ло пос­ле ус­тра­нения наг­рузки, т. е. внеш­них сил, вос­ста­нав­ли­ва­ет свои раз­ме­ры и фор­му. Ес­ли же пос­ле сня­тия наг­рузки те­ло не вос­ста­нав­ли­ва­ет преж­ней фор­мы, то воз­ни­ка­ющие при этом де­фор­ма­ции на­зыва­ют­ся ос­та­точ­ны­ми. Мы бу­дем изу­чать только од­но­род­ные изот­ропные те­ла, у ко­торых по всем нап­равле­ни­ям свойства оди­нако­вые.

В соп­ро­тив­ле­нии ма­тери­алов те­ла клас­си­фици­ру­ют сле­ду­ющим об­ра­зом:

• плас­ти­на — те­ло, у ко­торо­го дли­на и ши­рина нам­но­го больше тол­щи­ны;
• обо­лоч­ка — в от­ли­чие от плас­ти­ны ог­ра­ниче­на кри­воли­нейны­ми по­вер­хнос­тя­ми;
• брус — те­ло, у ко­торо­го раз­ме­ры по­переч­но­го се­чения ма­лы по срав­не­нию с его дли­ной. Ес­ли ли­ния, со­еди­ня­ющая цен­тры тя­жес­ти от­дельных по­переч­ных се­чений бру­са, пря­мая, то та­кой брус на­зыва­ют пря­мым;
• стер­жень — брус, ра­бота­ющий на рас­тя­жение или сжа­тие;
• бал­ка — брус, к ко­торо­му си­лы при­ложе­ны под уг­лом. В этом слу­чае брус под действи­ем та­ких сил бу­дет ра­ботать не только на сжа­тие (рас­тя­жение), но и на из­гиб, т. е. бу­дет из­ги­баться.

В за­виси­мос­ти от то­го, ка­кие си­лы при­ложе­ны к бру­су, он бу­дет по-раз­но­му де­фор­ми­роваться. Что­бы оп­ре­делить нап­ря­жен­ное сос­то­яние, при­меня­ют ме­тод се­чений. Ме­тод се­чений поз­во­ля­ет вы­явить внут­ренние си­лы и зак­лю­ча­ет­ся в том, что те­ло мыс­ленно рас­се­ка­ют плос­костью на две час­ти (рис. 2.1, а) и рас­смат­ри­ва­ют рав­но­весие од­ной из от­се­чен­ных час­тей. Счи­та­ют, что внут­ренние си­лы рас­пре­деле­ны рав­но­мер­но, их рав­но­действу­ющая рав­на N (рис. 2.1, б). Сос­та­вим урав­не­ние рав­но­весия сил, действу­ющих на от­се­чен­ную часть бру­са:

От­сю­да

N = F.

Рис. 2.1