Річна рента з платежами в середині періодів

 

Аналіз фінансових потоків у різних сферах діяльності може суттєво різнитися. Так, орендні, податкові та митні платежі часто здійснюють на початку відповідного періоду, тому вони являють собою авансову ренту. Відсотки за депозитами та креди­тами, дивіденди за акціями зазвичай нараховують наприкінці пе­ріоду, тому вони є звичайною рентою. Однак, у цілому, рентні платежі можуть надходити в будь-які моменти часу, а не лише на початку чи в кінці періоду.

Наприклад, аналізуючи не фінансові, а виробничі інвестиції, мож­на побачити, що, за відсутності фактору сезонності, надходження і вилучення коштів на виробництві відбуваються майже рівномірно (а іноді — навіть постійно) протягом відповідного періоду (року, кварталу, місяця тощо). В такому разі доцільним є застосування рент з платежами, які здійснюють у середині періодів, оскільки обчислення саме за такою рентою дасть точніший результат.

Розглянемо основні вартісні характеристики ренти з платежа­ми, які здійснюють в середині періодів.

Постійну скінчену річну ренту з платежами в середині пері­одів з параметрами { R,п, r } з погляду розташування платежів у часі графічно відображено на рис. 5.5.

Рис. 5.5. Постійна скінчена річна рента з платежами в середині періодів

 

На рис. 5.5 показано, що розмір періодичних платежів R = со nst, платежі в початковий (нульовий) та в останній (n -ний) момент часу не здійснюють, платежі надходять в середині відповідних періодів.

Порівнявши графіки виплат, наведені на рис. 5.1, 5.4 та 5.5, можна зробити висновки, що фактично виплату для рент з пла­тежами в середині періодів здійснюють на півперіоду раніше, ніж для звичайних рент та на півперіоду пізніше, ніж для авансо­вих рент.

Отже, за аналогією з рівнянням (5.11) для ренти з платежами в середині періодів можна записати таку формулу:

 

                                                                                  (5.17)

 

де S_1/2 — нарощена сума ренти з платежами в середині періодів, S_post — нарощена сума ренти постнумерандо.

Рівняння (5.17) дозволяє визначити майбутню вартість ануїте­ту з платежами в середині періодів за відомої майбутньої вартості звичайного ануїтету.

Для визначення теперішньої вартості ануїтету з платежами в се­редині періодів, за відомої теперішньої вартості звичайного ануїте­ту, за аналогією з (5.15), можна записати співвідношення (5.18):

 

                                                                                      (5.18)

 

Таким чином, для обчислення початкової та кінцевої вартості скінченої ренти з платежами в середині періодів, спочатку зазви­чай обчислюють вартісні характеристики для ідентичної ренти постнумерандо, а потім перемножують відповідні вартісні харак­теристики ренти постнумерандо на множник нарощування за по­ловину періоду.

Для оцінювання вартісних характеристик одразу для ренти з платежами в середині періодів необхідно скористатися формулою:

 

                                                                         (5.19)

 

Рівняння (5.19) дозволяє визначити майбутню вартість ануїте­ту з платежами в середині періодів. Для оцінювання його теперіш­ньої вартості запишемо рівняння (5.20):

 

                                                            (5.20)

 

 

Інші види фінансових рент

Вище було висвітлено основні види річних рент (ануї­тетів), які найбільш широко застосовують на практиці. Проте у загальному випадку будь-яка рента може передбачати р платежів за рік, при цьому проценти на них нараховують т разів на рік. Причому періодичність та кількість платежів р не обов'язково збігається з періодичністю та кількістю нарахувань процентів т.

Зрозуміло, що у цьому разі питання оцінювання теперішньої та майбутньої величин таких рент значно ускладнюється. Розгля­немо це питання на прикладі рент постнумерандо.

Нехай скінчена рента постнумерандо передбачає р платежів за рік, при цьому проценти, нараховують т разів на рік. Поди­вимось, як видозміняться канонічні рівняння (5.4) та (5.6) за­лежно від кількості платежів та періодичності нарахувань про­центів.

Розглянемо наступні співвідношення.

Загальний випадок — т ≠р

У цьому випадку для нарощеної суми маємо:

 

                                                                   (5.21)

 

Знаючи нарощену величину такої ренти, можна знайти її тепе­рішню вартість з рівняння (5.22):

 

                                                                                 (5.22)

 

Розглянемо окремі випадки цієї ренти.

Річна рента (р = 1) з нарахуванням процентів т разів за рік.

  Якщо проценти нараховують т разів на рік, а платежі річні, то нарощена сума дорівнює:

 

                                                                             (5.23)

 

 

Теперішню величину такої ренти обчислюють за формулою (5.23).

р - термінова рента з нарахуванням процентів один раз за рік (т = 1)

Якщо платежі здійснюються декілька разів за рік, а проценти нараховують один раз за рік нарощена сума дорівнює:

 

                                                                       (5.24)

 

Теперішню величину такої ренти розраховують за формулою (5.5).

р — термінова рента з т =р

Досить часто у фінансових обчисленнях припускають, що кіль­кість платежів за рік та кількість нарахувань процентів збігаються (тобто т=р).

Майбутня сума такої ренти дорівнює:

 

                                                                        (5.25)

 

Теперішню величину цієї ренти обчислюють за формулою (5.23).

Підставивши вираз (5.25) у рівняння (5.22) отримаємо:

 

Аналогічні рівняння можна вивести не лише для рент з платежами наприкінці періоду, а й для рент з платежами в довільний момент часу.

Повертаючись до класифікації, наведеної в табл. 2.1, підкреслимо, що уточнюючи ще ряд параметрів, окрім періодичності платежів та нарахування процентів, можна отримати зовсім інші типи рент.

Наприклад, було розглянуто лише постійні ренти, в яких ве­личини всіх членів ренти однакові. Зрозуміло, що існують і змінні ренти з різними розмірами платежів. Причому в деяких випадках члени такої ренти змінюються за певними закономірно­стями. Наприклад, виокремлюють змінні ренти з постійним аб­солютним приростом платежів (розміри членів ренти зміню­ються за арифметичною прогресією) та постійним відносним приростом платежів (за геометричною прогресією).

Крім того, було розглянуто лише дискретні ренти, за якими платежі надходять через фіксовані проміжки часу. Але інколи потік платежів розглядають як неперервний процес.

Найскладнішими в математичному плані є фінансові ренти, що описують неперервним змінним потоком платежів. На сьогодні, вони майже не застосовні на практиці, проте є окремим напрямом наукових досліджень.

У фінансових обчисленнях, які стосуються таких потоків пла­тежів, вважають, що коли потік неперервний, то розміри плате­жів у часі описуються функцією , а для нарахування про­центів використовують процентну ставку у вигляді сили росту.

Тоді нарощену суму неперервного змінного потоку платежів, відповідно до введених раніше позначень, визначають так:

 

                                                                                  (5.26)

 

Відповідно, теперішня вартість такого потоку дорівнює:

 

 

Необхідно зазначити, що оскільки через потоки платежів опи­суються будь-які фінансові розрахунки в економіці, то розмаїття схем та механізмів фінансових операцій зумовлює появу безлічі інших видів фінансових рент.

 

 

ТЕМА 6

ОЦІНКА ТА ПЛАНУВАННЯ СХЕМ ФІНАНСОВО-КРЕДИТНИХ РОЗРАХУНКІВ

6.1. Застосування теорії рент у плануванні схем фінансово-кредитних розрахунків

 

Якщо фінансова операція передбачає не відокремлений (одноразовий) платіж, а певну послідовність платежів у часі, то для планування схеми таких розрахунків доцільно скористатися теорією фінансових рент.

Теорія фінансових рент — сучасна фінансова теорія, яка з'явилася порівняно недавно. Однак, можна стверджувати, що саме поява мето­дології математичного дисконтування потоків платежів, значно роз­ширило межі та можливості кількісного фінансового аналізу, зокрема дозволивши точніше враховувати вартість фінансових потоків у часі.

Основні види фінансових рент та обчислення їх вартісних ха­рактеристик було наведено в попередньому розділі. Тепер, на підґрунті розглянутого вище фінансово-математичного апарату, доцільно розглянути існуючі у практиці схеми фінансово-кредитних розрахунків.

Зазначимо, що фінансові обчислення щодо потоків платежів мають суто прикладний характер, визначаючи конкретні фінан­сові схеми розрахунків. Насамперед, у вигляді фінансових рент представляють різноманітні кредитні операції та відповідні схеми погашення заборгованостей.

Сучасні економічні відносини передбачають, що пере­важна більшість суб'єктів господарювання для свого розвитку засто­совують ті чи інші варіанти кредитування. Оптимізацію кредитних розрахунків, що полягає у пошуку зручних схем кредитних ви­плат, провадять на підґрунті аналізу відповідних потоків платежів.

Розглянемо основні умови кредитування, які аналізують у теорії фінансових рент:

— термін кредиту (позики);

— метод (схема) погашення основної суми боргу та процентів;

— рівень процентів за кредитом та метод нарахування про­центів;

— додаткові умови (пільговий період, можливості достроко­вого погашення, пролонгації, реструктуризації тощо).

Зрозуміло, що фінансове навантаження щодо обслуговування боргу залежатиме від розміру та періодичності виплат, розміру першої виплати, принципів нарахування процентів на суму боргу та багатьох інших чинників.

Визначення оптимальних умов кредитних розрахунків перед­бачає опис кредитних виплат у вигляді певного потоку платежів з подальшою оцінкою його вартісних характеристик. Причому, за­лежно від розподілу платежів у часі, буде відкориговано й інші параметри кредитної угоди. Таким чином, за допомогою операції математичного дисконтування можна знайти такий потік плате­жів, що забезпечуватиме оптимальне (прийнятне) фінансове на­вантаження для боржника відповідно до його виробничих циклів, оборотності коштів тощо.

Отже, кількісний аналіз фінансових потоків платежів - осно­ва проведення більшості кредитно-фінансових операцій, зокрема:

• лізингових операцій;

• споживчого кредитування;

• іпотечного кредитування;

• орендних платежів з подальшим викупом майна;

• амортизаційних відрахувань;

• створення фондів нагромадження коштів;

• в створення спеціальних фондів погашення боргу тощо.

Крім того, за допомогою теорії фінансових рент визначають вартісні характеристики різних видів цінних паперів. Наприклад, вартісна оцінка акцій ґрунтується на моделях дисконтування ди­відендів, а оцінка процентних облігацій передбачає дисконтуван­ня процентних (купонних) виплат.

У цій темі розглянемо лише основні схеми фінансових роз­рахунків та відповідні співвідношення, які, мають найбільше прикладне значення. В цілому ж, сфера застосування теорії рент настільки широка й універсальна, що можна навіть стверджувати, що без її використання неможливо побудувати ефективну систему фінансового менеджменту будь-якого суб'єк­та господарювання незалежно від напряму його діяльності.