Еквівалентність множників нарощування простих та складних процентів

 

Згадаємо, що існує дві основних методики нарощу­вання процентів - правило простих та правило складних про­центів.

У відповідності з рівнянням простих відсотків множник наро­щування простих відсотків — це величина (1 + r * n).

А у відповідності з рівнянням складних відсотків множник нарощування складних відсотків — це величина (1 + r) ⁿ.

Позначимо ставку дохідності, яка розрахована за простими процентами як r_is, а ставку розраховану за складними процента­ми, як r_ic.

Тоді, відповідно введених позначень, умову еквівалентності простих та складних множників нарощування процентів можна записати у вигляді наступного рівняння:

 

                                                                                   (4.1)

 

Зауважимо, що формула (4.1) передбачає, що нарощування за простими та складними процентами здійснюють протягом одна­кового терміну часу, тобто .

З рівняння (4.1) можна виразити еквівалентні прості та склад­ні ставки дохідності, які застосовують для знаходження еквівален­тного множника нарощування при зміні методики нарахування процентів.

У разі, коли необхідно визначити просту ставку за відомої склад­ної ставки дохідності, вираз (4.1) необхідно перетворити так:

 

                                                                                            (4.2)

 

Якщо ж розв'язку потребує обернена задача - знаходження складної ставки за відомої простої ставки дохідності, доцільно скористатися наступним виразом:

 

                                                          (4.3)

 

Зазначимо, що вирази (4.2) і (4.3) можна отримати не лише за умови рівності множників нарощування, але й, абсолютно ана­логічно, за умови рівності відповідних множників дисконтуванняпростих та складних процентів.

Аналізуючи множники нарощування простих та складних про­центів, необхідно також розглянути питання порівняння темпів зростання вартості при застосуванні цих методик.

Графічна ілюстрація співвідношення множ­ників нарощування наведена на рис.4.1.

Зазначимо, що кут нахилу функцій, зображених на рис. 4.1, залежить від величини ставки дохідності r. Чим більша ця ставка, тим швидше зростає вартість у часі, і тим крутіший нахил відпо­відної функції.

 

                                                     (1+r)ⁿ

                                                                                       1+r*n

                                                                                      

 

                        1                      r

 

                                             1                                                t

Рис. 4. 1. Графік множників нарощування вартості за правилами простих та складних процентів

З рис. 4.1 неважко побачити, що на проміжку t є (0;1) більшими є значення функції множника нарощування простих процентів, а на проміжку t є (1;n ), навпаки — значення функції, що відповідає пра­вилу складних процентів. Графіки функцій множників нарощування перетинаються лише один раз при t = 1. Тобто, еквівалентність (рів­ність) множників нарощування простих та складних процентів, за умови однакових параметрів r та п, досягається лише за одно­разового нарощування коштів. Дійсно, за умов r _іс = r_is = r та t =1: , що відповідає множнику нарощування для одноразового нарощування коштів.

В цілому, порівнюючи множники нарощування простих та складних процентів можна зробити відповідні висновки.

Якщо взяти однакові за величиною, але різні за правилом на­рощування процентів річніставки нарощування, то:

· для строку меншогоза один рік вартість нарощується швидше за правилом простихпроцентів, тобто:

 

;

 

· для строку більшого,ніж один рік вартість нарощується швидше за правилом складнихпроцентів, тобто

 

;

 

· для строку t=1рік множники нарощування дорівнюють
один одному, тобто

 

 

Оскільки у комерційних розрахунках тип множників нарощування зазвичай вибирають відповідно з принципами максимізації прибутку, то існує правило — у короткострокових фінансових угодах (строк менший за 1 рік) нарощування краще здійснювати за простими процентами, а у довгострокових — за складними процентами.