Номінальна та ефективна ставка складних процентів. Поняття неперервного складного проценту та сили росту

У фінансових обчисленнях за правилом складних про­центів, для врахування ефекту реінвестування, у випадках, коли протягом одного періоду часу відбувається декілька нарахувань процентів, вводять поняття ефективної та номінальної ставки до­хідності.

Ставку складних процентів r, що входить у рівняння (3.1) та (3.14) називають номінальною ставкою. Так у прикладі 3.3 заде­кларована ставка 16 % є номінальною ставкою, а отримана фак­тична дохідність 17% є ефективною ставкою.

Ефективна ставка r _е визначає, яку річну ставку складних про­центів належить встановити, щоб отримати такий самий фінансо­вий результат, як і за m-разового нарахування процентів за рік за ставкою r /т.

Отже, за однакових початкових та кінцевих сум, для визна­чення залежностей між номінальною та ефективною ставками складних процентів, прирівнявши відповідні множники нарощу­вання, можна записати такий вираз:

 

 

звідси ефективна ставка складних процентів:

 

                                                                                   (3.15)

 

Зауважимо, що коли т > 1, то ефективна ставка більша за но­мінальну, причому, чим більша величина т (чим частіше нараховують проценти) тим вищою є ефективна ставка дохідності, отже, й тим швидше відбувається процес нарощування.

Якщо при нарощуванні коштів за формулою (3.14) часовий ін­тервал між виплатами процентів наближається до нуля, тобто проценти виплачують та реінвестують безперервно, то можна об­числити граничне значення ефективної ставки дохідності за ві­домої номінальної ставки дохідності.

З метою таких обчислень вводять поняття неперервного склад­ного проценту.

Неперервна складна ставка дохідності — це така ефективна ставка дохідності, за якою проценти виплачують та реінвестують неперервно, тобто кількість періодів нарахувань процентів прямує до нескінченості.

У деяких виданнях з фінансової математики в разі неперер­вного нарощування процентів застосовують інший термін для опису неперервних складних ставок дохідності — силу росту.

Сила росту характеризує відносний приріст нарощеної суми за нескінченно малий проміжок часу. Вона може бути постійною або змінюватись в часі.

Аналізуючи граничний випадок рівняння (3.14) за умови, що кількість нарахувань т прямує до нескінченності, можна записа­ти такий вираз стосовно множника нарощування складних про­центів:

 

                                                                                   (3.16)

 

де е — експонента, основа натурального логарифма: е = 2,718281... Врахувавши у рівнянні (3.15) отриманий вираз (3.16), запи­шемо граничне значення складної неперервної ставки дохідності:

 

 

Таким чином, ефективна ставка дохідності складних процен­тів ніколи не перевищує величину .

У практичних розрахунках такі ставки майже не застосовують, але їх дослідження — один зі шляхів розвитку наукової складової фінансової математики.

Зазначимо також, що з урахуванням властивості (3.16), для неперервних складних процентів формула (3.14) набуде вигляду:

 

                                                                                     (3.17)

 

Отже, незалежно від тривалості фінансової угоди п, частоти нарахувань процентів т та номінальної ставки дохідності r, множ­ник нарощування складних процентів ніколи не перевищуватиме величину ℓ ^{r * n}. Причому, у разі неперервного способу нарахуван­ня складних процентів рівняння оцінки майбутньої вартості є експоненціальною функцією, а величина майбутньої вартості не залежить від частоти нарахувань т.

Розглянувши номінальні, ефективні та неперервні ставки склад­них процентів, зробимо висновки стосовно їх практичного вико­ристання.

Оскільки у практиці фінансових розрахунків тривалість угод доволі часто не співпадає з цілим числом періодів (років, кварта­лів, місяців тощо), то задача визначення реальних (ефективних) ставок дохідності за відомих задекларованих (номінальних) ста­вок є одним з ключових питань фінансової математики.

Проте, більшість сучасних фінансових угод передбачає дис­кретне нарахування процентів, тому неперервні ставки дохідності поки що мають дуже обмежене коло застосування.

Згодом, за поступового ускладнення науково-практичних завдань, що стоять перед фінансовим менедж­ментом, сфера практичного застосування неперервних ставок та сил росту буде розширюватися, оскільки при цьому з'являти­меться можливість використання більш потужного математично­го апарату.

Криві прибутковості

Будь-яка позичкова або кредитна операція припускає використання процентної ставки, з якою погодилися обидві сторони, що брати участь в операції. Як уже зазначалося вище, значення ставки залежить від багатьох факторів. Для практика важливо уявити собі закономірність зміни розміру ставок залежно від певного фундаментального фактору. Імовірно, найбільш важливим з таких факторів є ризик неповернення позички. Очевидно, що подібного роду ризик залежить від ряду факторів, серед яких, в свою чергу, важливим є строк операції. Так, при всіх інших рівних умовах позичка на п'ять років є більш ризикованою, ніж, скажімо, на два роки. Компенсувати ризик власникові грошей може підвищення прибутковості. Таким чином, залежність „прибутковість — ризик” приблизно можна охарактеризувати за допомогою залежності „прибутковість — строк”, одержати яку для практичних цілей суттєво простіше. Таку залежність, представлену у вигляді графіка, називають кривої прибутковості (рис.3.2).

Y                                                            A

 

                                                                   Б

 

 

Рис. 3.2. Криві прибутковості                                 t

 

На графіку по вертикалі відкладають прибутковість (Y), по горизонталі — строк (t). Якщо графік охоплює широкий діапазон строків (як короткострокові, так і довгострокові операції), то для виміру строку застосовують логарифмічну шкалу. Спостережувані значення прибутковості звичайно перебувають близько кривої або безпосередньо на ній.

Отже, крива прибутковості характеризує зміну прибутковості однорідних кредитно-позичкових операцій або фінансових інструментів (наприклад, довгострокових облігацій, акцій компаній і т.д.) залежно від їхнього строку. Конкретна крива прибутковості відповідає реальної ситуації, що склалася на грошово-кредитному ринку, і характерна для короткого тимчасового періоду. Зміна ситуації змінює форму кривої та її положення на графіку.

 Для нормальних економічних умов крива прибутковості має форму кривої Ана рис. 3.2. Прибутковість зростає в міру збільшення строку інвестицій. Причому кожна наступна одиниця приросту строку дає все менше збільшення прибутковості. Таку криву називають позитивною, або нормальною, кривою прибутковості. Нормальна форма кривої спостерігається в умовах, коли інвестори враховують такі фактори, як скорочення ступеня ліквідності й зростання невизначеності фінансових результатів при збільшенні строку.

Крива прибутковості, близька до горизонтальної прямої (крива Б на рис. 3.2), вказує на те, що інвестори не беруть до уваги або в малому ступені враховують ризик, пов'язаний зі строком.

Іноді зустрічаються „негативні” і „згорблені” криві прибутковості. Перша відповідає зменшенню прибутковості в міру збільшення строку (нестабільність фінансового ринку), друга — падінню прибутковості після періоду деякого її росту.

Існують дві конкуруючі (а іноді доповнюючі) теорії, що пояснюють „поведінку” прибутковості — теорія ліквідності й теорія очікувань. Перша зміну прибутковості пов'язує зі збільшенням ризику ліквідності в міру збільшення строку. Саме із цієї позиції пояснюються вище позитивна й горизонтальна криві прибутковості. Згідно із другою теорією стверджується, що форма кривої може розглядатися і як узагальнена характеристика очікувань інвесторів, вірніше, їхньої поведінки в теперішній момент у зв'язку з очікуваннями змін процентних ставок у майбутньому. Однак інтерпретація форми кривої у цьому плані неоднозначна, та й не може бути іншою, оскільки доводиться брати до уваги принаймні дію двох факторів — ризику й очікування змін ставок. Наприклад, позитивна крива іноді може інтерпретуватися як вказівка на те, що інвестори очікують зростання ставок у майбутньому. Однак частіше ця ж форма кривої вважається симптомом відносної стабільності грошово-кредитного ринку.

Криві прибутковості одержали поширення як інструмент, що допомагає при розв'язку ряду інвестиційних проблем. Зокрема, при порівнянні прибутковості різних фінансових інструментів (сполучення на одному графіку декількох кривих прибутковості), корегуванню портфеля активів тощо.

Приклад 3.4.

  Розглянемо на прикладі один із простих способів застосування кривої прибутковості. Припустимо, необхідно інвестувати деяку суму грошей на чотири роки. Причому, у інвестора є тільки два варіанти для цього: розмістити цю суму на депозиті відразу на весь строк або спершу на три роки, а потім на один рік. Нехай рівні процентних ставок відносяться до нормальної кривої прибутковості: по трирічних депозитах — 10%, по чотирирічним — 10,5% складних річних. Розмір ставки для депозиту на один рік (тобто на четвертий рік) у момент ухвалення рішення, невідомий. Який варіант розміщення коштів повинен вибрати інвестор?

  Рішення.

Очевидно, що при виборі другого варіанта інвестор повинен мати результат не гірше, ніж при першому варіанті. Завдання, отже, зводиться до визначення того значення ставки для четвертого року, при якому обидва варіанти будуть рівноцінними (еквівалентними) у фінансовім відношенні. Назвемо таку ставку критичною, або бар'єрною.

Позначимо як i₃ і і₄ рівні процентних ставок для депозитів на три й чотири роки, а через і₀ — невідому критичну ставку для річного депозиту. В силу фінансової еквівалентності результатів розміщення коштів множники нарощення для обох варіантів повинні бути рівними один одному. Звідси:

 

а, відповідно,

 

За даними прикладу знайдемо критичну ставку:

Таким чином, для того щоб інвестор зупинився на другому варіанті, він повинен очікувати, що через три роки ставка за однорідними депозитами буде не менш 12,014 %, тобто рівень ставок підвищиться. Відповідно, якщо він очікує, що ставка не досягне цього рівня, слід обрати перший варіант.